Punto 1

Para una variable con distribución normal estandar determine el valor de z tal que:

  1. P(−z<Z<z)=0.90

  2. P(z<Z<1)=0.40

  3. P(z<Z)=0.05

  4. P(Z>z)=0.80

    En cada caso represente la situación gráficamente:

-a.

qnorm(0.05)
## [1] -1.644854
curve(dnorm(x), from = -4, to = 4)

lb <- -1.6448 
ub <- 1.6448

x2 <- seq(lb, ub, length= 100)
y <- dnorm(x2)

polygon(c(lb, x2, ub), c(0, y, 0), col = rgb(0, 0, 1, alpha = 0.5))

-b.

pnorm(q = 1, lower.tail = F) #P(Z>1) ENTONCES 
## [1] 0.1586553
qnorm (0.6-0.1586) #z
## [1] -0.1474207
curve(dnorm(x), from = -4, to = 4)

lb<- -0.1474
ub<- 1

x2<-seq(lb, ub, length = 100)
y<- dnorm (x2)

polygon(c(lb, x2, ub), c(0, y, 0), col = rgb (0, 0, 1, alpha= 0.5))

-c.

qnorm(0.05)
## [1] -1.644854
curve(dnorm(x), from = -4, to = 4)

lb<- -4
ub<- -1.6448

x2<- seq(lb, ub, length = 100)
y<- dnorm(x2)

polygon(c(lb, x2, ub), c(0, y, 0), col = rgb(0, 0, 1, alpha = 0.5))

-d.

qnorm (0.8, lower.tail = FALSE)
## [1] -0.8416212
curve(dnorm(x), from = -4, to= 4)

lb<- -0.8416
ub<- 4 

x2<- seq(lb, ub, length = 100)
y<- dnorm(x2)

polygon(c(lb, x2, ub), c(0, y, 0), col = rgb (0, 0, 1, alpha=0.5))

Punto 2

Sea X∼N(50,10), Determine las siguientes probabilidades:

-a. P(X<40)

-b. P(X<65)

-c. P(X>55)

-d. P(X>35)

-e. P(40<X<45)

-f. P(38<X<62) En cada caso represente la situación gráficamente

-a.

pnorm (40, mean=50, sd = 10, lower.tail = T)
## [1] 0.1586553
curve(dnorm(x, mean = 50, sd = 10), from = 0, to = 100)

lb<- -10
ub<- 40

x2<- seq(lb, ub, length = 100)
y<- dnorm (x2, mean = 50, sd =10)

polygon (c(lb, x2, ub), c(0, y, 0), col = rgb(0, 0, 1, alpha = 0.5))

-b.

pnorm(65, mean = 50, sd = 10, lower.tail = T)
## [1] 0.9331928
curve( dnorm(x, mean = 50, sd=10), from = 0, to = 100)

lb<- -10
ub<- 65

x2<- seq (lb, ub, length = 100)
y<- dnorm (x2, mean = 50, sd = 10)

polygon(c(lb, x2, ub), c(0, y, 0), col = rgb(0, 0, 1, alpha = 0.5))

-c.

pnorm(55, mean = 50, sd = 10, lower.tail = F)
## [1] 0.3085375
curve(dnorm(x, mean = 50, sd = 10), from = 0, to = 100)

lb<- 55
ub<- 100

x2<- seq(lb, ub, length = 100)
y<- dnorm(x2, mean = 50, sd = 10)

polygon(c(lb, x2, ub), c(0, y, 0), col = rgb(0, 0, 1, alpha = 0.5))

-d.

pnorm (35, mean = 50, sd = 10, lower.tail = F)
## [1] 0.9331928
curve(dnorm(x, mean = 50, sd = 10), from = 0, to = 100)

lb<-35 
ub<-100

x2<- seq(lb, ub, length = 100)
y<- dnorm(x2, mean = 50, sd = 10)

polygon(c(lb, x2, ub), c(0, y, 0), col = rgb(0, 0, 1, alpha=0.5))

-e.

pnorm(45, mean=50, sd=10)-pnorm(40, mean=50, sd=10)
## [1] 0.1498823
curve(dnorm(x, mean = 50, sd = 10), from = 0, to= 100)

lb<-40
ub<-45

x2<- seq(lb, ub, length = 100)
y <- dnorm(x2, mean = 50, sd = 10)

polygon(c(lb, x2, ub), c(0, y, 0), col = rgb(0, 0, 1, alpha=0.5))

-f.

pnorm(62, mean = 50, sd = 10)-pnorm(38, mean = 50, sd = 10)
## [1] 0.7698607
curve(dnorm(x, mean = 50, sd = 10), from = 0, to = 100)

lb<-38
ub<-62

x2<- seq(lb, ub, length = 100)
y<- dnorm(x2, mean = 50, sd = 10)

polygon(c(lb, x2, ub), c(0, y, 0), col = rgb(0, 0, 1, alpha=0.5))

Punto 3

Sea X∼N(10,5), Encontrar los valores de x que corresponden a las siguientes probabilidades:

-a. P(X<x)=0.05

-b. P(X<x)=0.95

-c. P(X<x)=0.99

-d. P(X<x)=0.01

-f. P(X<x)=0.025

-g. P(X<x)=0.975

En cada caso represente la situación gráficamente

-a.

qnorm(0.05, mean = 10, sd = 5)
## [1] 1.775732
curve(dnorm(x, mean = 10, sd = 5), from = -10, to = 30)

lb<- -10
ub<- 1.775

x2<- seq(lb, ub, length = 100)
y<- dnorm(x2, mean = 10, sd = 5)

polygon(c(lb, x2, ub), c(0, y, 0), col = rgb(0, 0, 1, alpha = 0.5))

-b.

qnorm(0.95, mean = 10, sd = 5)
## [1] 18.22427
curve(dnorm(x, mean = 10, sd = 5), from = -10, to = 30)

lb<- -10
ub<- 18.2242

x2<- seq(lb, ub, length = 100)
y<- dnorm (x2, mean = 10, sd = 5)

polygon(c(lb, x2, ub), c(0, y, 0), col = rgb(0, 0, 1, alpha=0.5))

-c.

qnorm(0.99, mean = 10, sd = 5)
## [1] 21.63174
curve(dnorm(x, mean = 10, sd = 5), from = -10, to = 30)

lb<- -10
ub<- 21.6317

x2<- seq(lb, ub, length = 100)
y<- dnorm (x2, mean = 10, sd = 5)

polygon(c(lb, x2, ub), c(0, y, 0), col = rgb(0, 0, 1, alpha = 0.5))

-d.

qnorm(0.01, mean = 10, sd = 5)
## [1] -1.631739
curve(dnorm(x, mean = 10, sd = 5), from = -10, to = 30)

lb<- -10
ub<- -1.631739

x2<- seq(lb, ub, length = 100)
y<- dnorm(x2, mean = 10, sd = 5)

polygon(c(lb, x2, ub), c(0, y, 0), col = rgb(0, 0, 1, alpha = 0.5))

-e.

qnorm(0.025, mean = 10, sd = 5)
## [1] 0.2001801
curve(dnorm(x, mean = 10, sd = 5), from = -10, to = 30)

lb<- -10
ub<- 0.2001801

x2<- seq(lb, ub, length = 100)
y<- dnorm(x2, mean = 10, sd = 5)

polygon(c(lb, x2, ub), c(0, y, 0), col = rgb(0, 0, 1, alpha = 0.5))

-f.

qnorm(0.975, mean = 10, sd = 5)
## [1] 19.79982
curve(dnorm(x, mean = 10, sd = 5), from = -10, to = 30)

lb<- -10
ub<- 19.79982

x2<- seq(lb, ub, length = 100)
y<- dnorm(x2, mean = 10, sd = 5)

polygon(c(lb, x2, ub), c(0, y, 0), col = rgb(0, 0, 1, alpha = 0.5))

Punto 4

El tiempo en que un cajero de un banco con servicio en el automovil atiende a un cliente es una variable aleatoria con una media \(\mu\)=3.2 minutos y una desviación estandar de \(\sigma\)=1.6 minutos. Si se obtiene una muestra de n=64 clientes, encuentre la probabilidad de que el tiempo medio con el cajero sea:

-a. a lo más de 2.7 minutos

-b. más de 3.5 minutos

-c. al menos 3.2 minutos, pero menos de 3.4 minutos

-a.

pnorm(2.7, mean = 3.2, sd = 1.6/sqrt(64))
## [1] 0.006209665
curve(dnorm(x, mean = 3.2, sd = 1.6/sqrt(64)), from = 2.3, to = 4)

lb<- 2.3
ub<- 2.7

x2<- seq(lb, ub, length = 100)
y<- dnorm(x2, mean = 3.2, sd = 1.6/sqrt(64))

polygon(c(lb, x2, ub), c(0, y, 0), col = rgb(0, 0, 1, alpha= 0.5))

-b.

1-pnorm(3.5, mean = 3.2, sd = 1.6/sqrt(64))
## [1] 0.0668072
curve(dnorm(x, mean = 3.2, sd = 1.6/sqrt(64)), from = 2.3, to = 4)

lb<- 3.5
ub<- 4

x2<- seq(lb, ub, length = 100)
y<- dnorm(x2, mean = 3.2, sd = 1.6/sqrt(64))

polygon(c(lb, x2, ub), c(0, y, 0), col = rgb(0, 0, 1, alpha= 0.5))

-c.

pnorm(3.4, mean = 3.2, sd = 1.6/sqrt(64))-pnorm(3.2, mean = 3.2, sd = 1.6/sqrt(64))
## [1] 0.3413447
curve(dnorm(x, mean = 3.2, sd = 1.6/sqrt(64)), from = 2.3, to = 4)

lb<- 3.2
ub<- 3.4

x2<- seq(lb, ub, length = 100)
y<- dnorm(x2, mean = 3.2, sd = 1.6/sqrt(64))

polygon(c(lb, x2, ub), c(0, y, 0), col = rgb(0, 0, 1, alpha= 0.5))

Punto 5

Use la tabla t-student para encontrar:

-a. t0.05(v=8)

-b. t0.975(v=12)

-c. t0.25(v=10)

-d. t0.95(v=10)

-e. El punto t tal que P(−t<Tv=25<t)=0.90

-f. El punto t tal que P(−t<Tv=25<t)=0.95

-g. El punto t tal que P(Tv=15>t)=0.05

-h. El punto t tal que P(T20>t)=0.10

-i. El punto t tal que P(T30<−t)=0.10

En cada caso represente la situación gráficamente

-a.

r5.a=qt(0.05,8)
r5.a
## [1] -1.859548
curve(dnorm(x), from = -5, to = 5)
lb = -5
ub = -1.85
x =  seq(lb, ub, length = 100)
y  = dnorm(x)
polygon(c(lb,x,ub),c(0,y,0), col = rgb(0,0,1,alpha=0.5))

-b.

r5.b=qt(0.975,12)
r5.b
## [1] 2.178813
curve(dnorm(x), from = -5, to = 5)
lb = -5
ub = -2.17
x =  seq(lb, ub, length = 100)
y  = dnorm(x)
polygon(c(lb,x,ub),c(0,y,0), col = rgb(0,0,1,alpha=0.5))

-c.

r5.c=qt(0.25, 10)
r5.c
## [1] -0.6998121
curve(dnorm(x), from = -5, to = 5)
lb = -5
ub = -0.69
x =  seq(lb, ub, length = 100)
y  = dnorm(x)
polygon(c(lb,x,ub),c(0,y,0), col = rgb(0,0,1,alpha=0.5))

-d. 

r5.d=qt(0.95, 10)
r5.d
## [1] 1.812461
curve(dnorm(x), from = -5, to = 5)
lb = -5
ub = -1.82
x =  seq(lb, ub, length = 100)
y  = dnorm(x)
polygon(c(lb,x,ub),c(0,y,0), col = rgb(0,0,1,alpha=0.5))

-e.

t_90 <- qt(0.95, df = 25)
t_90
## [1] 1.708141
curve(dnorm(x), from = -5, to = 5)
lb = -5
ub = -1.70
x =  seq(lb, ub, length = 100)
y  = dnorm(x)
polygon(c(lb,x,ub),c(0,y,0), col = rgb(0,0,1,alpha=0.5))

-f. 

t_95 <- qt(0.975, df = 25)
t_95
## [1] 2.059539
curve(dnorm(x), from = -5, to = 5)
lb = -5
ub = -2.05
x =  seq(lb, ub, length = 100)
y  = dnorm(x)
polygon(c(lb,x,ub),c(0,y,0), col = rgb(0,0,1,alpha=0.5))

-g.

t_015 <- qt(0.05, df = 15)
t_015
## [1] -1.75305
curve(dnorm(x), from = -5, to = 5)
lb = -5
ub = -1.75
x =  seq(lb, ub, length = 100)
y  = dnorm(x)
polygon(c(lb,x,ub),c(0,y,0), col = rgb(0,0,1,alpha=0.5))

-h.

t_010 <- qt(0.10, df = 20)
t_010
## [1] -1.325341
curve(dnorm(x), from = -5, to = 5)
lb = -5
ub = -1.37
x =  seq(lb, ub, length = 100)
y  = dnorm(x)
polygon(c(lb,x,ub),c(0,y,0), col = rgb(0,0,1,alpha=0.5))

-i.

t_030 <- -qt(0.10, df = 30)
t_030
## [1] 1.310415
curve(dnorm(x), from = -5, to = 5)
lb = -5
ub = -1.31
x =  seq(lb, ub, length = 100)
y  = dnorm(x)
polygon(c(lb,x,ub),c(0,y,0), col = rgb(0,0,1,alpha=0.5))

Punto 6

Una empresa manufacturera afirma que las baterías que utiliza en sus juegos electrónicos duran un periodo de 30 horas. Para mantener este promedio, se prueban 16 baterías cada mes. Si el valor T=(x¯−30)/(s/n−−√) cae entre t0.025;v=15 y t0.975;v=15, la empresa queda satisfecha con su afirmación?. Qué conclusión deberia tomar la empresa si una muestra presenta una media x¯=27.5 horas y una desviación estandar de s=5 horas?. Suponga que la duración de las baterías tiene una distribución normal.

n<- 16
mean<- 27.5
s<- 5 

T<- (mean-30)/(s/sqrt(n))

t_975 <- qt(0.05, 25, lower.tail = F)
t_025 <- -t_975

CONCLUSION: El valor de T no cae dentro del intervalo de confianza. La empresa debe reconsiderar su afirmación.



Punto 7



Un fabricante de barras de cereal bajos en grasas afirma que su cantenido promedio de grasas saturadas es de 0.5 gramos. En una muestra aleatoria de 8 barras del cereal, el contenidio de grasas saturadas fue de : 0.6, 0.7, 0.7, 0.3, 0.4, 0.5, 0.4 y 0.2 gramos. ¿Estaría de acuerdo con la afirmación realizada por el fabricante?. Suponga que el contenido de grasas saturadas en la barra es una variable aleatoria que se distribuye de manera normal.

contenido_grasas <- c(0.6, 0.7, 0.7, 0.3, 0.4, 0.5, 0.4, 0.2) 
media_afirmada <- 0.5  

resultado <- t.test(contenido_grasas, mu = media_afirmada)

print(resultado)
## 
##  One Sample t-test
## 
## data:  contenido_grasas
## t = -0.38592, df = 7, p-value = 0.711
## alternative hypothesis: true mean is not equal to 0.5
## 95 percent confidence interval:
##  0.32182 0.62818
## sample estimates:
## mean of x 
##     0.475

Puedo concluir que, Con un nivel de significancia del 5%, no tenemos suficiente evidencia para rechazar la afirmación del fabricante de que el contenido promedio de grasas saturadas es de 0.5 gramos.

Punto 8



Para una distribución chi-cuadrado encuentre:

-a.χ20.025(v=15)

-b. χ20.01(v=17)

-c. χ20.05(v=24)

-d. P(X2>χ2)=0.99, (v=4)

-e. P(X2>χ2)=0.025, (v=19)

-f. P(χ2<X2<23.209)=0.015, (v=10)

-g.P(37.652<X2<χ2)=0.045, (v=25)

En cada caso represente la situación gráficamente

-a.

chi_1 <- qchisq(0.025, df = 15)
chi_1
## [1] 6.262138
curve(dchisq(x,15), from = 0, to = 50)
lb = 0
ub = chi_1
x =  seq(lb, ub, length = 100)
y  = dchisq(x,15)
polygon(c(lb,x,ub),c(0,y,0), col = rgb(0,0,1,alpha=0.5))

-b.

chi_2 <- qchisq(0.01, df = 17)
chi_2
## [1] 6.40776
curve(dchisq(x,15), from = 0, to = 50)
lb = 0
ub = chi_2
x =  seq(lb, ub, length = 100)
y  = dchisq(x,15)
polygon(c(lb,x,ub),c(0,y,0), col = rgb(0,0,1,alpha=0.5))

-c. 

chi_3 <- qchisq(0.05, df = 24)
chi_3
## [1] 13.84843
curve(dchisq(x,15), from = 0, to = 50)
lb = 0
ub = chi_3
x =  seq(lb, ub, length = 100)
y  = dchisq(x,15)
polygon(c(lb,x,ub),c(0,y,0), col = rgb(0,0,1,alpha=0.5))

-d. 

chi_4 <- qchisq(0.99, df = 4, lower.tail = FALSE)
chi_4
## [1] 0.2971095
curve(dchisq(x,15), from = 0, to = 50)
lb = 0
ub = chi_4
x =  seq(lb, ub, length = 100)
y  = dchisq(x,15)
polygon(c(lb,x,ub),c(0,y,0), col = rgb(0,0,1,alpha=0.5))

-e.

chi_5 <- qchisq(0.025, df = 19, lower.tail = FALSE)
chi_5
## [1] 32.85233
curve(dchisq(x,15), from = 0, to = 50)
lb = 0
ub = chi_5
x =  seq(lb, ub, length = 100)
y  = dchisq(x,15)
polygon(c(lb,x,ub),c(0,y,0), col = rgb(0,0,1,alpha=0.5))

-f. 

chi_6_lower <- qchisq(0.015, df = 10)
chi_6_upper <- qchisq(1 - 0.015, df = 10)
chi_6_interval <- c(chi_6_lower, 23.209, chi_6_upper)
chi_6_interval
## [1]  2.83719 23.20900 22.02060
curve(dchisq(x,15), from = 0, to = 50)
lb = 0
ub = chi_6_upper
x =  seq(lb, ub, length = 100)
y  = dchisq(x,15)
polygon(c(lb,x,ub),c(0,y,0), col = rgb(0,0,1,alpha=0.5))

-g.

chi_7_lower <- qchisq(0.045/2, df = 25)
chi_7_upper <- qchisq(1 - 0.045/2, df = 25)
chi_7_interval <- c(37.652, chi_7_lower, chi_7_upper)
chi_7_interval
## [1] 37.65200 12.91720 41.08304
curve(dchisq(x,15), from = 0, to = 50)
lb = 0
ub = chi_7_upper
x =  seq(lb, ub, length = 100)
y  = dchisq(x,15)
polygon(c(lb,x,ub),c(0,y,0), col = rgb(0,0,1,alpha=0.5))

Punto 9

La calificación de un examen de admisión a la universidad que se aplica a estudiantes durante los últimos cinco años está distribuido normal con media $=74 y varianza $$2=8. En una muestra de n=20 estudiantes,se encontro un valor de s2=20. Se considera que el valor de 8 para la varianza puede ser aceptado, si el valor de la variable X2=(n−1)S2/8, esta entre χ20.05;v=19 y χ20.95;v=19?Que conclusión debe tomar?, en caso contrario se rechaza esta afirmación.

qchisq(0.05, 19, lower.tail = T)
## [1] 10.11701
qchisq(0.95, df=19, lower.tail = T)
## [1] 30.14353
((19)*20)/8
## [1] 47.5

Punto 10



Para la distribución F encuentre:

-a. f0.05(v1=7;v2=15)

-b. f0.05(v1=15;v2=7)

-c. f0.95(v1=19;v2=24)

-d. f0.95(v1=7;v2=15)

En cada caso represente la situación gráficamente

-a.

f_005_1 <- qf(0.05, df1 = 7, df2 = 15)
f_005_1
## [1] 0.2848402
curve(dnorm(x), from = 0, to = 5)
lb = 0
ub = -1.85
x =  seq(lb, ub, length = 100)
y  = dnorm(x)
polygon(c(lb,x,ub),c(0,y,0), col = rgb(0,0,1,alpha=0.5))

-b.

f_005_2 <- qf(0.05, df1 = 15, df2 = 7)
f_005_2
## [1] 0.3694636
curve(dnorm(x), from = 0, to = 5)
lb = 0
ub = -2.13
x =  seq(lb, ub, length = 100)
y  = dnorm(x)
polygon(c(lb,x,ub),c(0,y,0), col = rgb(0,0,1,alpha=0.5))

-c. 

f_095_1 <- qf(0.95, df1 = 19, df2 = 24)
f_095_1
## [1] 2.039858
curve(dnorm(x), from = 0, to = 5)
lb = 0
ub = -0.77
x =  seq(lb, ub, length = 100)
y  = dnorm(x)
polygon(c(lb,x,ub),c(0,y,0), col = rgb(0,0,1,alpha=0.5))

-d. 

f_095_2 <- qf(0.95, df1 = 7, df2 = 15)
f_095_2
## [1] 2.706627
curve(dnorm(x), from = 0, to = 5)
lb = 0
ub = -1.39
x =  seq(lb, ub, length = 100)
y  = dnorm(x)
polygon(c(lb,x,ub),c(0,y,0), col = rgb(0,0,1,alpha=0.5))

PARTE 2

Verificacion del teorema central del limite El siguiente código verifica el Teorema del Límita Central en el caso de una variable con distribución exponencial. A partir de el, realice la validación para las siguientes distribuciones :

- uniforme

normal

Binomial

lognormal

Weibull

Con los resultados obtenidos concluya:

par(cex=0.5, cex.axis=.5, cex.lab=.5, cex.main=.5, cex.sub=.5,  mfrow=c(3,2), mai = c(.5, .5, .5, .5))
# Teorema Central del Límite-----------------------------
n=1000   #  numero de columnas (tamaño máximo de muestra)
m=1000*n
# Caso --------------------------------------------------
# distribución exponencial-------------------------------
X=matrix(rexp(m,1),ncol=n)

# generación de muestras---------------------------------
X1=X[ ,1]            # n=1
X2=X[ ,1:2]          # n=2
X20=X[ ,1:20]        # n=20
X30=X[ ,1:30]        # n=30
X50=X[ ,1:50]        # n=50
X100=X[ ,1:100]      # n=100
X200=X[ ,1:200]      # n=200
X1000=X[ ,1:1000]    # n=1000

# generacion de medias-----------------------------------
Mx2=apply(X2,1,mean)        # medias de muestras de tamaño n=2
Mx20=apply(X20,1,mean)      # medias de muestras de tamaño n=20
Mx30=apply(X30,1,mean)      # medias de muestras de tamaño n=30
Mx50=apply(X50,1,mean)      # medias de muestras de tamaño n=50
Mx100=apply(X100,1,mean)    # medias de muestras de tamaño n=100
Mx200=apply(X200,1,mean)    # medias de muestras de tamaño n=200
Mx1000=apply(X1000,1,mean)  # medias de muestras de tamaño n=1000

# generación de densidad empírica ------------------------
d=density(X1)
d2=density(Mx2)
d20=density(Mx20)
d30=density(Mx30)
d50=density(Mx50)
d100=density(Mx100)
d200=density(Mx200)
d1000=density(Mx1000)

# Gráficos 
# grafico de densidad -----------------------------------
plot(d, main=" ", xlab = "n=1")
plot(d2,main=" ", xlab = "n=2")
plot(d20, main="", xlab = "n=20")
plot(d30, main=" ", xlab = "n=30")
plot(d50, main=" ", xlab = "n=50")
plot(d100, main=" ", xlab = "n=100")

plot(d200, main=" ", xlab = "n=200")
plot(d1000,main=" ", xlab="n=1000")

# histogramas  de comparacion----------------------------
hist(X1,  main = "n=1", freq=FALSE)
hist(Mx2, main ="n=2", freq=FALSE) 
hist(Mx20, main = "n=20",freq=FALSE)
hist(Mx30, main = "n=30",freq=FALSE) 

hist(Mx50, main = "n=50",freq=FALSE) 
hist(Mx100, main = "n=100", freq=FALSE)
 hist(Mx200, main = "n=200",freq=FALSE)
hist(Mx1000, main = "n=1000", freq = FALSE) 

# histogramas  de comparacion----------------------------
qqnorm(X1) ; qqline(X1, col="red")
qqnorm(Mx2) ; qqline(Mx2, col="red")

qqnorm(Mx20) ; qqline(Mx20, col="red")
qqnorm(Mx30) ; qqline(Mx30, col="red")
qqnorm(Mx50) ; qqline(Mx50, col="red")
qqnorm(Mx100) ; qqline(Mx100, col="red")
qqnorm(Mx200) ; qqline(Mx200, col="red")
qqnorm(Mx1000) ; qqline(Mx1000, col="red")

par(cex=0.5,       # tamaño general de las letras
    cex.axis=.5,   # tamaño de las etiquetas de los ejes
    cex.lab=.5,    # tamaño de las etiquetes de los puntos
    cex.main=.5,   # tamaño del titulo
    cex.sub=.5,    # tamaño del subtitulo
    mfrow=c(3,2),  # genera una matriz de graficos 3 x 2 
    mai = c(.5, .5, .5, .5)) # define los margenes del grafico

# Teorema Central del Límite---------------------------------
n=1000   #  numero de columnas (tamaño máximo de muestra)
m=1000*n
# Caso ------------------------------------------------------
# distribución exponencial-----------------------------------
X=matrix(rexp(m,1),ncol=n)

# generación de muestras-------------------------------------
X1=X[ ,1]            # n=1
X2=X[ ,1:2]          # n=2
X20=X[ ,1:20]        # n=20
X30=X[ ,1:30]        # n=30
X50=X[ ,1:50]        # n=50
X100=X[ ,1:100]      # n=100
X200=X[ ,1:200]      # n=200
X1000=X[ ,1:1000]    # n=1000

# generacion de medias-------------------------------------
Mx2=apply(X2,1,mean)        # medias de muestras de tamaño n=2
Mx20=apply(X20,1,mean)      # medias de muestras de tamaño n=20
Mx30=apply(X30,1,mean)      # medias de muestras de tamaño n=30
Mx50=apply(X50,1,mean)      # medias de muestras de tamaño n=50
Mx100=apply(X100,1,mean)    # medias de muestras de tamaño n=100
Mx100=apply(X200,1,mean)    # medias de muestras de tamaño n=200
Mx1000=apply(X1000,1,mean)  # medias de muestras de tamaño n=1000

# generación de densidad empírica ---------------------------
d=density(X1)
d2=density(Mx2)
d20=density(Mx20)
d30=density(Mx30)
d50=density(Mx50)
d100=density(Mx100)
d100=density(Mx200)
d1000=density(Mx1000)

# Gráficos 
# grafico de densidad --------------------------------------
plot(d, main=" ", xlab = "n=1")
plot(d2,main=" ", xlab = "n=2")
plot(d20, main="", xlab = "n=20")
plot(d30, main=" ", xlab = "n=30")
plot(d50, main=" ", xlab = "n=50")
plot(d100, main=" ", xlab = "n=100")

plot(d200, main=" ", xlab = "n=200")
plot(d1000,main=" ", xlab="n=1000")

# histogramas  de comparacion------------------------------
hist(X1,  main = "n=1", freq=FALSE)
hist(Mx2, main ="n=2", freq=FALSE) 
hist(Mx20, main = "n=20",freq=FALSE)
hist(Mx30, main = "n=30",freq=FALSE) 

hist(Mx50, main = "n=50",freq=FALSE) 
hist(Mx100, main = "n=100", freq=FALSE)
 hist(Mx200, main = "n=200",freq=FALSE)
hist(Mx1000, main = "n=1000", freq = FALSE) 

# histogramas  de comparacion-----------------------------
qqnorm(X1) ; qqline(X1, col="red")
qqnorm(Mx2) ; qqline(Mx2, col="red")

qqnorm(Mx20) ; qqline(Mx20, col="red")
qqnorm(Mx30) ; qqline(Mx30, col="red")
qqnorm(Mx50) ; qqline(Mx50, col="red")
qqnorm(Mx100) ; qqline(Mx100, col="red")
qqnorm(Mx200) ; qqline(Mx200, col="red")
qqnorm(Mx1000) ; qqline(Mx1000, col="red")

# --------------------------------------------------------
par(cex=0.5, cex.axis=.5, cex.lab=.5, cex.main=.5, cex.sub=.5,  mfrow=c(3,2), mai = c(.5, .5, .5, .5))
# Teorema Central del Límite-----------------------------
n=1000   #  numero de columnas (tamaño máximo de muestra)
m=1000*n
# Caso --------------------------------------------------
# distribución exponencial-------------------------------
X=matrix(runif(m,1),ncol=n)

# generación de muestras---------------------------------
X1=X[ ,1]            # n=1
X2=X[ ,1:2]          # n=2
X20=X[ ,1:20]        # n=20
X30=X[ ,1:30]        # n=30
X50=X[ ,1:50]        # n=50
X100=X[ ,1:100]      # n=100
X200=X[ ,1:200]      # n=200
X1000=X[ ,1:1000]    # n=1000

# generacion de medias-----------------------------------
Mx2=apply(X2,1,mean)        # medias de muestras de tamaño n=2
Mx20=apply(X20,1,mean)      # medias de muestras de tamaño n=20
Mx30=apply(X30,1,mean)      # medias de muestras de tamaño n=30
Mx50=apply(X50,1,mean)      # medias de muestras de tamaño n=50
Mx100=apply(X100,1,mean)    # medias de muestras de tamaño n=100
Mx200=apply(X200,1,mean)    # medias de muestras de tamaño n=200
Mx1000=apply(X1000,1,mean)  # medias de muestras de tamaño n=1000

# generación de densidad empírica ------------------------
d=density(X1)
d2=density(Mx2)
d20=density(Mx20)
d30=density(Mx30)
d50=density(Mx50)
d100=density(Mx100)
d200=density(Mx200)
d1000=density(Mx1000)

# Gráficos 
# grafico de densidad -----------------------------------
plot(d, main=" ", xlab = "n=1")
plot(d2,main=" ", xlab = "n=2")
plot(d20, main="", xlab = "n=20")
plot(d30, main=" ", xlab = "n=30")
plot(d50, main=" ", xlab = "n=50")
plot(d100, main=" ", xlab = "n=100")

plot(d200, main=" ", xlab = "n=200")
plot(d1000,main=" ", xlab="n=1000")

# histogramas  de comparacion----------------------------
hist(X1,  main = "n=1", freq=FALSE)
hist(Mx2, main ="n=2", freq=FALSE) 
hist(Mx20, main = "n=20",freq=FALSE)
hist(Mx30, main = "n=30",freq=FALSE) 

hist(Mx50, main = "n=50",freq=FALSE) 
hist(Mx100, main = "n=100", freq=FALSE)
 hist(Mx200, main = "n=200",freq=FALSE)
hist(Mx1000, main = "n=1000", freq = FALSE) 

# histogramas  de comparacion----------------------------
qqnorm(X1) ; qqline(X1, col="red")
qqnorm(Mx2) ; qqline(Mx2, col="red")

qqnorm(Mx20) ; qqline(Mx20, col="red")
qqnorm(Mx30) ; qqline(Mx30, col="red")
qqnorm(Mx50) ; qqline(Mx50, col="red")
qqnorm(Mx100) ; qqline(Mx100, col="red")
qqnorm(Mx200) ; qqline(Mx200, col="red")
qqnorm(Mx1000) ; qqline(Mx1000, col="red")

par(cex=0.5,       # tamaño general de las letras
    cex.axis=.5,   # tamaño de las etiquetas de los ejes
    cex.lab=.5,    # tamaño de las etiquetes de los puntos
    cex.main=.5,   # tamaño del titulo
    cex.sub=.5,    # tamaño del subtitulo
    mfrow=c(3,2),  # genera una matriz de graficos 3 x 2 
    mai = c(.5, .5, .5, .5)) # define los margenes del grafico

# Teorema Central del Límite---------------------------------
n=1000   #  numero de columnas (tamaño máximo de muestra)
m=1000*n
# Caso ------------------------------------------------------
# distribución exponencial-----------------------------------
X=matrix(rexp(m,1),ncol=n)

# generación de muestras-------------------------------------
X1=X[ ,1]            # n=1
X2=X[ ,1:2]          # n=2
X20=X[ ,1:20]        # n=20
X30=X[ ,1:30]        # n=30
X50=X[ ,1:50]        # n=50
X100=X[ ,1:100]      # n=100
X200=X[ ,1:200]      # n=200
X1000=X[ ,1:1000]    # n=1000

# generacion de medias-------------------------------------
Mx2=apply(X2,1,mean)        # medias de muestras de tamaño n=2
Mx20=apply(X20,1,mean)      # medias de muestras de tamaño n=20
Mx30=apply(X30,1,mean)      # medias de muestras de tamaño n=30
Mx50=apply(X50,1,mean)      # medias de muestras de tamaño n=50
Mx100=apply(X100,1,mean)    # medias de muestras de tamaño n=100
Mx100=apply(X200,1,mean)    # medias de muestras de tamaño n=200
Mx1000=apply(X1000,1,mean)  # medias de muestras de tamaño n=1000

# generación de densidad empírica ---------------------------
d=density(X1)
d2=density(Mx2)
d20=density(Mx20)
d30=density(Mx30)
d50=density(Mx50)
d100=density(Mx100)
d100=density(Mx200)
d1000=density(Mx1000)

# Gráficos 
# grafico de densidad --------------------------------------
plot(d, main=" ", xlab = "n=1")
plot(d2,main=" ", xlab = "n=2")
plot(d20, main="", xlab = "n=20")
plot(d30, main=" ", xlab = "n=30")
plot(d50, main=" ", xlab = "n=50")
plot(d100, main=" ", xlab = "n=100")

plot(d200, main=" ", xlab = "n=200")
plot(d1000,main=" ", xlab="n=1000")

# histogramas  de comparacion------------------------------
hist(X1,  main = "n=1", freq=FALSE)
hist(Mx2, main ="n=2", freq=FALSE) 
hist(Mx20, main = "n=20",freq=FALSE)
hist(Mx30, main = "n=30",freq=FALSE) 

hist(Mx50, main = "n=50",freq=FALSE) 
hist(Mx100, main = "n=100", freq=FALSE)
 hist(Mx200, main = "n=200",freq=FALSE)
hist(Mx1000, main = "n=1000", freq = FALSE) 

# histogramas  de comparacion-----------------------------
qqnorm(X1) ; qqline(X1, col="red")
qqnorm(Mx2) ; qqline(Mx2, col="red")

qqnorm(Mx20) ; qqline(Mx20, col="red")
qqnorm(Mx30) ; qqline(Mx30, col="red")
qqnorm(Mx50) ; qqline(Mx50, col="red")
qqnorm(Mx100) ; qqline(Mx100, col="red")
qqnorm(Mx200) ; qqline(Mx200, col="red")
qqnorm(Mx1000) ; qqline(Mx1000, col="red")

# --------------------------------------------------------
par(cex=0.5, cex.axis=.5, cex.lab=.5, cex.main=.5, cex.sub=.5,  mfrow=c(3,2), mai = c(.5, .5, .5, .5))
# Teorema Central del Límite-----------------------------
n=1000   #  numero de columnas (tamaño máximo de muestra)
m=1000*n
# Caso --------------------------------------------------
# distribución exponencial-------------------------------
X=matrix(rlogis(m,1),ncol=n)

# generación de muestras---------------------------------
X1=X[ ,1]            # n=1
X2=X[ ,1:2]          # n=2
X20=X[ ,1:20]        # n=20
X30=X[ ,1:30]        # n=30
X50=X[ ,1:50]        # n=50
X100=X[ ,1:100]      # n=100
X200=X[ ,1:200]      # n=200
X1000=X[ ,1:1000]    # n=1000

# generacion de medias-----------------------------------
Mx2=apply(X2,1,mean)        # medias de muestras de tamaño n=2
Mx20=apply(X20,1,mean)      # medias de muestras de tamaño n=20
Mx30=apply(X30,1,mean)      # medias de muestras de tamaño n=30
Mx50=apply(X50,1,mean)      # medias de muestras de tamaño n=50
Mx100=apply(X100,1,mean)    # medias de muestras de tamaño n=100
Mx200=apply(X200,1,mean)    # medias de muestras de tamaño n=200
Mx1000=apply(X1000,1,mean)  # medias de muestras de tamaño n=1000

# generación de densidad empírica ------------------------
d=density(X1)
d2=density(Mx2)
d20=density(Mx20)
d30=density(Mx30)
d50=density(Mx50)
d100=density(Mx100)
d200=density(Mx200)
d1000=density(Mx1000)

# Gráficos 
# grafico de densidad -----------------------------------
plot(d, main=" ", xlab = "n=1")
plot(d2,main=" ", xlab = "n=2")
plot(d20, main="", xlab = "n=20")
plot(d30, main=" ", xlab = "n=30")
plot(d50, main=" ", xlab = "n=50")
plot(d100, main=" ", xlab = "n=100")

plot(d200, main=" ", xlab = "n=200")
plot(d1000,main=" ", xlab="n=1000")

# histogramas  de comparacion----------------------------
hist(X1,  main = "n=1", freq=FALSE)
hist(Mx2, main ="n=2", freq=FALSE) 
hist(Mx20, main = "n=20",freq=FALSE)
hist(Mx30, main = "n=30",freq=FALSE) 

hist(Mx50, main = "n=50",freq=FALSE) 
hist(Mx100, main = "n=100", freq=FALSE)
 hist(Mx200, main = "n=200",freq=FALSE)
hist(Mx1000, main = "n=1000", freq = FALSE) 

# histogramas  de comparacion----------------------------
qqnorm(X1) ; qqline(X1, col="red")
qqnorm(Mx2) ; qqline(Mx2, col="red")

qqnorm(Mx20) ; qqline(Mx20, col="red")
qqnorm(Mx30) ; qqline(Mx30, col="red")
qqnorm(Mx50) ; qqline(Mx50, col="red")
qqnorm(Mx100) ; qqline(Mx100, col="red")
qqnorm(Mx200) ; qqline(Mx200, col="red")
qqnorm(Mx1000) ; qqline(Mx1000, col="red")

par(cex=0.5,       # tamaño general de las letras
    cex.axis=.5,   # tamaño de las etiquetas de los ejes
    cex.lab=.5,    # tamaño de las etiquetes de los puntos
    cex.main=.5,   # tamaño del titulo
    cex.sub=.5,    # tamaño del subtitulo
    mfrow=c(3,2),  # genera una matriz de graficos 3 x 2 
    mai = c(.5, .5, .5, .5)) # define los margenes del grafico

# Teorema Central del Límite---------------------------------
n=1000   #  numero de columnas (tamaño máximo de muestra)
m=1000*n
# Caso ------------------------------------------------------
# distribución exponencial-----------------------------------
X=matrix(rexp(m,1),ncol=n)

# generación de muestras-------------------------------------
X1=X[ ,1]            # n=1
X2=X[ ,1:2]          # n=2
X20=X[ ,1:20]        # n=20
X30=X[ ,1:30]        # n=30
X50=X[ ,1:50]        # n=50
X100=X[ ,1:100]      # n=100
X200=X[ ,1:200]      # n=200
X1000=X[ ,1:1000]    # n=1000

# generacion de medias-------------------------------------
Mx2=apply(X2,1,mean)        # medias de muestras de tamaño n=2
Mx20=apply(X20,1,mean)      # medias de muestras de tamaño n=20
Mx30=apply(X30,1,mean)      # medias de muestras de tamaño n=30
Mx50=apply(X50,1,mean)      # medias de muestras de tamaño n=50
Mx100=apply(X100,1,mean)    # medias de muestras de tamaño n=100
Mx100=apply(X200,1,mean)    # medias de muestras de tamaño n=200
Mx1000=apply(X1000,1,mean)  # medias de muestras de tamaño n=1000

# generación de densidad empírica ---------------------------
d=density(X1)
d2=density(Mx2)
d20=density(Mx20)
d30=density(Mx30)
d50=density(Mx50)
d100=density(Mx100)
d100=density(Mx200)
d1000=density(Mx1000)

# Gráficos 
# grafico de densidad --------------------------------------
plot(d, main=" ", xlab = "n=1")
plot(d2,main=" ", xlab = "n=2")
plot(d20, main="", xlab = "n=20")
plot(d30, main=" ", xlab = "n=30")
plot(d50, main=" ", xlab = "n=50")
plot(d100, main=" ", xlab = "n=100")

plot(d200, main=" ", xlab = "n=200")
plot(d1000,main=" ", xlab="n=1000")

# histogramas  de comparacion------------------------------
hist(X1,  main = "n=1", freq=FALSE)
hist(Mx2, main ="n=2", freq=FALSE) 
hist(Mx20, main = "n=20",freq=FALSE)
hist(Mx30, main = "n=30",freq=FALSE) 

hist(Mx50, main = "n=50",freq=FALSE) 
hist(Mx100, main = "n=100", freq=FALSE)
 hist(Mx200, main = "n=200",freq=FALSE)
hist(Mx1000, main = "n=1000", freq = FALSE) 

# histogramas  de comparacion-----------------------------
qqnorm(X1) ; qqline(X1, col="red")
qqnorm(Mx2) ; qqline(Mx2, col="red")

qqnorm(Mx20) ; qqline(Mx20, col="red")
qqnorm(Mx30) ; qqline(Mx30, col="red")
qqnorm(Mx50) ; qqline(Mx50, col="red")
qqnorm(Mx100) ; qqline(Mx100, col="red")
qqnorm(Mx200) ; qqline(Mx200, col="red")
qqnorm(Mx1000) ; qqline(Mx1000, col="red")

# --------------------------------------------------------
par(cex=0.5, cex.axis=.5, cex.lab=.5, cex.main=.5, cex.sub=.5,  mfrow=c(3,2), mai = c(.5, .5, .5, .5))
# Teorema Central del Límite-----------------------------
n=1000   #  numero de columnas (tamaño máximo de muestra)
m=1000*n
# Caso --------------------------------------------------
# distribución exponencial-------------------------------
X=matrix(rweibull(m,1),ncol=n)

# generación de muestras---------------------------------
X1=X[ ,1]            # n=1
X2=X[ ,1:2]          # n=2
X20=X[ ,1:20]        # n=20
X30=X[ ,1:30]        # n=30
X50=X[ ,1:50]        # n=50
X100=X[ ,1:100]      # n=100
X200=X[ ,1:200]      # n=200
X1000=X[ ,1:1000]    # n=1000

# generacion de medias-----------------------------------
Mx2=apply(X2,1,mean)        # medias de muestras de tamaño n=2
Mx20=apply(X20,1,mean)      # medias de muestras de tamaño n=20
Mx30=apply(X30,1,mean)      # medias de muestras de tamaño n=30
Mx50=apply(X50,1,mean)      # medias de muestras de tamaño n=50
Mx100=apply(X100,1,mean)    # medias de muestras de tamaño n=100
Mx200=apply(X200,1,mean)    # medias de muestras de tamaño n=200
Mx1000=apply(X1000,1,mean)  # medias de muestras de tamaño n=1000

# generación de densidad empírica ------------------------
d=density(X1)
d2=density(Mx2)
d20=density(Mx20)
d30=density(Mx30)
d50=density(Mx50)
d100=density(Mx100)
d200=density(Mx200)
d1000=density(Mx1000)

# Gráficos 
# grafico de densidad -----------------------------------
plot(d, main=" ", xlab = "n=1")
plot(d2,main=" ", xlab = "n=2")
plot(d20, main="", xlab = "n=20")
plot(d30, main=" ", xlab = "n=30")
plot(d50, main=" ", xlab = "n=50")
plot(d100, main=" ", xlab = "n=100")

plot(d200, main=" ", xlab = "n=200")
plot(d1000,main=" ", xlab="n=1000")

# histogramas  de comparacion----------------------------
hist(X1,  main = "n=1", freq=FALSE)
hist(Mx2, main ="n=2", freq=FALSE) 
hist(Mx20, main = "n=20",freq=FALSE)
hist(Mx30, main = "n=30",freq=FALSE) 

hist(Mx50, main = "n=50",freq=FALSE) 
hist(Mx100, main = "n=100", freq=FALSE)
 hist(Mx200, main = "n=200",freq=FALSE)
hist(Mx1000, main = "n=1000", freq = FALSE) 

# histogramas  de comparacion----------------------------
qqnorm(X1) ; qqline(X1, col="red")
qqnorm(Mx2) ; qqline(Mx2, col="red")

qqnorm(Mx20) ; qqline(Mx20, col="red")
qqnorm(Mx30) ; qqline(Mx30, col="red")
qqnorm(Mx50) ; qqline(Mx50, col="red")
qqnorm(Mx100) ; qqline(Mx100, col="red")
qqnorm(Mx200) ; qqline(Mx200, col="red")
qqnorm(Mx1000) ; qqline(Mx1000, col="red")

par(cex=0.5,       # tamaño general de las letras
    cex.axis=.5,   # tamaño de las etiquetas de los ejes
    cex.lab=.5,    # tamaño de las etiquetes de los puntos
    cex.main=.5,   # tamaño del titulo
    cex.sub=.5,    # tamaño del subtitulo
    mfrow=c(3,2),  # genera una matriz de graficos 3 x 2 
    mai = c(.5, .5, .5, .5)) # define los margenes del grafico

# Teorema Central del Límite---------------------------------
n=1000   #  numero de columnas (tamaño máximo de muestra)
m=1000*n
# Caso ------------------------------------------------------
# distribución exponencial-----------------------------------
X=matrix(rexp(m,1),ncol=n)

# generación de muestras-------------------------------------
X1=X[ ,1]            # n=1
X2=X[ ,1:2]          # n=2
X20=X[ ,1:20]        # n=20
X30=X[ ,1:30]        # n=30
X50=X[ ,1:50]        # n=50
X100=X[ ,1:100]      # n=100
X200=X[ ,1:200]      # n=200
X1000=X[ ,1:1000]    # n=1000

# generacion de medias-------------------------------------
Mx2=apply(X2,1,mean)        # medias de muestras de tamaño n=2
Mx20=apply(X20,1,mean)      # medias de muestras de tamaño n=20
Mx30=apply(X30,1,mean)      # medias de muestras de tamaño n=30
Mx50=apply(X50,1,mean)      # medias de muestras de tamaño n=50
Mx100=apply(X100,1,mean)    # medias de muestras de tamaño n=100
Mx100=apply(X200,1,mean)    # medias de muestras de tamaño n=200
Mx1000=apply(X1000,1,mean)  # medias de muestras de tamaño n=1000

# generación de densidad empírica ---------------------------
d=density(X1)
d2=density(Mx2)
d20=density(Mx20)
d30=density(Mx30)
d50=density(Mx50)
d100=density(Mx100)
d100=density(Mx200)
d1000=density(Mx1000)

# Gráficos 
# grafico de densidad --------------------------------------
plot(d, main=" ", xlab = "n=1")
plot(d2,main=" ", xlab = "n=2")
plot(d20, main="", xlab = "n=20")
plot(d30, main=" ", xlab = "n=30")
plot(d50, main=" ", xlab = "n=50")
plot(d100, main=" ", xlab = "n=100")

plot(d200, main=" ", xlab = "n=200")
plot(d1000,main=" ", xlab="n=1000")

# histogramas  de comparacion------------------------------
hist(X1,  main = "n=1", freq=FALSE)
hist(Mx2, main ="n=2", freq=FALSE) 
hist(Mx20, main = "n=20",freq=FALSE)
hist(Mx30, main = "n=30",freq=FALSE) 

hist(Mx50, main = "n=50",freq=FALSE) 
hist(Mx100, main = "n=100", freq=FALSE)
 hist(Mx200, main = "n=200",freq=FALSE)
hist(Mx1000, main = "n=1000", freq = FALSE) 

# histogramas  de comparacion-----------------------------
qqnorm(X1) ; qqline(X1, col="red")
qqnorm(Mx2) ; qqline(Mx2, col="red")

qqnorm(Mx20) ; qqline(Mx20, col="red")
qqnorm(Mx30) ; qqline(Mx30, col="red")
qqnorm(Mx50) ; qqline(Mx50, col="red")
qqnorm(Mx100) ; qqline(Mx100, col="red")
qqnorm(Mx200) ; qqline(Mx200, col="red")
qqnorm(Mx1000) ; qqline(Mx1000, col="red")

# --------------------------------------------------------

```