Sea w(t) la carga física en el intante de tiempo t y sean g(t) los efectos positivos y h(t) los efectos negativos. Consideremos el siguiente sistema de evolución:

\(\small{\frac{\partial g(t)}{\partial t} + \frac{1}{\tau_{1}}g(t)=w(t)}\)
\(\small{\frac{\partial h(t)}{\partial t} + \frac{1}{\tau_{2}}h(t)=w(t)}\)
Utilizando el operador convolución y aplicando previamente la transformada de Laplace, obtenemos:
\(\small{g(t)=w(t)*e^\frac{-t}{\tau_{1}}=\int_{0}^{t} w(s)e^{-\frac{t-s}{\tau_{1}}}ds}\)
\(\small{h(t)=w(t)*e^\frac{-t}{\tau_{2}}=\int_{0}^{t} w(s)e^{-\frac{t-s}{\tau_{2}}}ds}\)

Discretizando:
\(\small{g(n)=\sum_{i=1}^{n-1} w(i)e^{-\frac{n-i}{\tau_{1}}}}\)
\(\small{h(n)=\sum_{i=1}^{n-1} w(i)e^{-\frac{n-i}{\tau_{2}}}}\)

La forma fisica actual podemos modelizar:

\[\small{p(n)=p(0)+k_{1}\sum_{i=1}^{n-1} w(i)e^{-\frac{n-i}{\tau_{1}}}+k_{2}\sum_{i=1}^{n-1} w(i)e^{-\frac{n-i}{\tau_{2}}}}\]

• Partimos de una muestra \(\small{p(1),\dots,p(s)}\) con la forma física en diferentes instantes y en p(0).
• El problema es estimar las constantes \(\small{k_{1},k_{2},\tau_{1},\tau_{2}}\) por mínimos cuadrados a partir de la muestra anterior.

Sea w(t) la carga física en el intante de tiempo t y sean g(t) los efectos positivos y h(t) los efectos negativos. Consideremos el siguiente sistema de evolución:

\(\small{\frac{\partial g(t)}{\partial t} + \frac{1}{\tau_{1}}g(t)+\frac{1}{\tau_{3}}g(t-1)=w(t)}\)
\(\small{\frac{\partial h(t)}{\partial t} + \frac{1}{\tau_{2}}h(t)+\frac{1}{\tau_{4}}h(t-1)=w(t)}\)

Sea p(t) la forma física en el instante t.
\(\small{p(t)=p(0)+k_1g(t)-k_2h(t)}\)

Soluciónes aproximadas para la g(k+1) son:
\(\small{e^{\frac{-1}{\tau_{1}}}(w(k)+g(k)-\frac{1}{\tau_{3}}g(k-1)})\)
y
\(\small{\sum_{i=1}^{k}[w(i)-\frac{1}{\tau_{3}}g(i-1)]e^{\frac{-1(k-i)}{\tau_{1}}}}\)
con \(\small{g(-1)=0}\) y \(\small{g(0)=0}\)

Sea w(t) la carga física en el intante de tiempo t y sean g(t) los efectos positivos y h(t) los efectos negativos. Consideremos el siguiente sistema de evolución:

\(\small{\frac{\partial g(t)}{\partial t} + \frac{1}{\tau_{1}}g(t)+\frac{1}{\tau_{3}}g(t-1)+\frac{1}{\tau_{5}}g(t-2)=w(t)}\)
\(\small{\frac{\partial h(t)}{\partial t} + \frac{1}{\tau_{2}}h(t)+\frac{1}{\tau_{4}}h(t-1)+\frac{1}{\tau_{6}}h(t-2)=w(t)}\)
Supongamos además
g(-2)=g(-1)=g(0)=0
h(-2)= h(-1)= h(0)=0

Sea p(t) la forma física en el instante t.
\(\small{p(t)=p(0)+k_1g(t)-k_2h(t)}\)

Sea w(t) la carga física en el intante de tiempo t y sean g(t) los efectos positivos y h(t) los efectos negativos. Consideremos el siguiente sistema de evolución:

\(\small{\frac{\partial g(t)}{\partial t} + \frac{1}{\tau_{1}}g(t)+\frac{1}{\tau_{3}}g(t-1)+\frac{1}{\tau_{5}}g(t-2)+\frac{1}{\tau_{7}}g(t-3)=w(t)}\)
\(\small{\frac{\partial h(t)}{\partial t} + \frac{1}{\tau_{2}}h(t)+\frac{1}{\tau_{4}}h(t-1)+\frac{1}{\tau_{6}}h(t-2)+\frac{1}{\tau_{8}}h(t-3)=w(t)}\)

Sea p(t) la forma física en el instante t.
\(\small{p(t)=p(0)+k_1g(t)-k_2h(t)}\)

Supongamos además
\(\small{g(-3)= g(-2)=g(-1)=g(0)=0}\)

\(\small{h(-3)=h(-2)= h(-1)= h(0)=0}\)

Sea w(t) la carga física en el intante de tiempo t y sean g(t) los efectos positivos y h(t) los efectos negativos. Consideremos el siguiente sistema de evolución en el intervalo \(\small{[0,T]}\):

\(\small{D_0^{\alpha}f(x)+\frac{1}{\tau_{1}}g(t)=w(t)}\)
\(\small{ D_0^{\beta}g(x)+ + \frac{1}{\tau_{2}}h(t)=w(t)}\)

Sea p(t) la forma física en el instante t.
\(\small{p(t)=p(0)+k_1g(t)-k_2h(t)}\)

Uno de los grandes problemas del modelo Banister es que el valor de las constantes va cambiando a lo largo del tiempo, pero esto tiene fácil solución:
Imponemos una restricción diferencial a las constantes \(\tau_1,\dots,\tau_n\) y \(k_1,k_2\), por ejemplo:
\(\small{\frac{\partial k_2}{\partial t} + \frac{1}{\tau_{1}}k_2(t)+\frac{1}{\tau_{3}}k_2(t-1)=w(t)}\)
Como el modelo adopta una forma de los anteriores ya conocemos la solución y el problema ahora es resolver el nuevo problema de optimización donde tenemos que estimar esta vez \(k_2(0), \tau_1,\tau_3\).

Sea w(t) la carga física en el intante de tiempo t, r(t) la fatiga acumulada en el tiempo t t y sean g(t) los efectos positivos en la condición física y h(t) los efectos negativos en la condición física. Consideremos el siguiente sistema de evolución:

\(\small{\frac{\partial g(t)}{\partial t} + \frac{1}{\tau_{1}}g(t)+\frac{1}{\tau_{3}}g(t-1)=w(t)}\)
\(\small{\frac{\partial h(t)}{\partial t} + \frac{1}{\tau_{2}}h(t)+\frac{1}{\tau_{4}}h(t-1)=w(t)}\)
\(\small{\frac{\partial r(t)}{\partial t} - k_4(k_1g(t)-k_2h(t))r(t)-\frac{1}{\tau_{5}}r(t)=w(t)}\)

Sea p(t) la forma física en el instante t.

\(\small{p(t)=p(0)+k_1g(t)-k_2h(t)-k_3r(t)}\)

• Resolver los modelos anteriores con ecuaciones diferenciales estocásticas
• Resolver los modelos anteriores con ecuaciones diferenciales difusas
• Añadir una serie de terminos de tal forma que la evolución de las ecuaciones diferenciales dependa de más estados de forma física que el actual.

En las diapositivas anteriores hemos visto una serie de modelos de ecuaciones diferenciales, cada uno de ellos funcionara mejor o peor en función de el ciclo en el que se encuentre el deportista, por tanto debemos seleccionar herramientas matemáticas que nos permitan decicidir el modelo a usar en cada momento.