Partie 1 :

La longueur d’onde seuil (\(\lambda_0 = 198 \, \text{nm}\)) est la plus grande longueur d’onde (donc l’énergie minimale) qui peut provoquer l’émission photoélectrique. Pour trouver l’énergie minimale des photons (\(E_{min}\)), on utilise la relation entre l’énergie d’un photon et sa longueur d’onde : \[E = \frac{hc}{\lambda}\] où \(h = 6.626 \times 10^{-34} \, \text{Js}\) est la constante de Planck, \(c = 3.0 \times 10^8 \, \text{m/s}\) est la vitesse de la lumière dans le vide, et \(\lambda\) est la longueur d’onde du photon.

En substituant la longueur d’onde seuil (\(198 \, \text{nm} = 198 \times 10^{-9} \, \text{m}\)) dans cette équation : \[E_{min} = \frac{6.626 \times 10^{-34} \cdot 3.0 \times 10^8}{198 \times 10^{-9}} = \frac{6.626 \times 3.0}{198} \times 10^{-19} \, \text{J}\]

b) Énergie cinétique maximale des électrons émis

Pour une lumière avec une longueur d’onde de \(100 \, \text{nm}\), l’énergie du photon est donnée par : \[E_{photon} = \frac{6.626 \times 10^{-34} \cdot 3.0 \times 10^8}{100 \times 10^{-9}} = \frac{6.626 \times 3.0}{100} \times 10^{-19} \, \text{J}\]

L’énergie cinétique maximale des électrons émis (\(K_{max}\)) est donnée par : \[K_{max} = E_{photon} - E_{min}\] Nous avons déjà calculé \(E_{min}\) et \(E_{photon}\) pour \(100 \, \text{nm}\), donc nous pouvons substituer ces valeurs pour obtenir \(K_{max}\).

c) Potentiel d’arrêt pour cette lumière

Le potentiel d’arrêt (\(U_a\)) est donné par la relation : \[U_a = \frac{K_{max}}{e}\] où \(e = 1.602 \times 10^{-19} \, \text{C}\) est la charge élémentaire. En substituant l’énergie cinétique maximale calculée dans b), on obtient \(U_a\).

d) Variation du travail de sortie

Le travail de sortie change lorsque la longueur d’onde seuil change de \(198 \, \text{nm}\) à \(220 \, \text{nm}\). Utilisant la même formule pour calculer l’énergie des photons pour les deux seuils, la différence entre ces énergies nous donne la variation du travail de sortie.

Faisons ces calculs pas à pas en commençant par a).

\[E_{min} = \frac{6.626 \times 3.0}{198} \times 10^{-19} \, \text{J} = \frac{19.878}{198} \times 10^{-19} \, \text{J} = 0.1004 \times 10^{-19} \, \text{J} = 1.004 \, \text{eV}\] (Conversion en eV sachant que \(1 \, \text{J} = 6.242 \times 10^{18} \, \text{eV}\))

Partie 2 :

a) Énergie cinétique maximale des photoélectrons

L’énergie cinétique maximale des photoélectrons est donnée par la formule \(K_{max} = eU\), où \(e\) est la charge élémentaire (\(1.602 \times 10^{-19} \, \text{C}\)) et \(U\) est le potentiel d’arrêt. Ainsi, pour \(U_1 = 1,48 \, \text{V}\) et \(U_2 = 0,24 \, \text{V}\), nous avons :

Pour \(ν_1 = 8,20 \times 10^{14} \, \text{s}^{-1}\) : \(K_{max1} = eU_1 = 1.602 \times 10^{-19} \cdot 1,48\)
Pour \(ν_2 = 5,18 \times 10^{14} \, \text{s}^{-1}\) : \(K_{max2} = eU_2 = 1.602 \times 10^{-19} \cdot 0,24\)

b) Nombre d’électrons éjectés par unité de surface et par unité de temps

Le nombre d’électrons éjectés (\(n\)) peut être trouvé en utilisant l’intensité du faisceau lumineux (\(I\)) et l’énergie d’un photon (\(E = hν\)), où \(h\) est la constante de Planck (\(6.626 \times 10^{-34} \, \text{Js}\)). \(I\) est donné en \(W.cm^{-2}\), donc \(I = 5 \times 10^{-5} \, W.cm^{-2}\).

Pour une fréquence \(ν\), l’énergie d’un photon est \(E = hν\), et le nombre total d’électrons éjectés par unité de temps et par unité de surface est donné par \(n = \frac{I}{E}\).

c) De la figure \(U = U(ν)\)

Le rapport \(h/e\) est déterminé par la pente de la courbe \(U\) en fonction de \(ν\). La relation linéaire entre \(U\) et \(ν\) est donnée par \(U = \frac{h}{e}ν - \frac{\phi}{e}\), où \(\phi\) est le travail de sortie.
Le travail de sortie (\(\phi\)) peut être trouvé en extrapolant la ligne jusqu’à ce que \(U = 0\), ce qui donne la fréquence seuil \(ν_0\), puis \(\phi = hν_0\).
La fréquence seuil (\(ν_0\)) est la fréquence à laquelle le potentiel d’arrêt devient nul.

Procédons maintenant au calcul de ces valeurs.

Calculs

a) Énergie cinétique maximale

\(K_{max1} = 1.602 \times 10^{-19} \cdot 1,48 \, \text{J}\)
\(K_{max2} = 1.602 \times 10^{-19} \cdot 0,24 \, \text{J}\)

Convertir en électron-volts (\(1 \, \text{eV} = 1.602 \times 10^{-19} \, \text{J}\)) donne directement les valeurs de \(U_1\) et \(U_2\) en eV, donc :

\(K_{max1} = 1,48 \, \text{eV}\)
\(K_{max2} = 0,24 \, \text{eV}\)

b) Nombre d’électrons éjectés

La formule exacte nécessite la conversion d’intensité en \(W/m^2\) et l’utilisation de l’énergie des photons pour chaque fréquence. Cependant, sans les valeurs numériques exactes de \(h\) et \(e\), on ne peut pas calculer précisément.

c) Analyse de \(U = U(ν)\)

Le rapport \(h/e\) nécessite de connaître la pente de la droite sur le graphique \(U\) versus \(ν\).
Le travail de sortie et la fréquence seuil nécessitent également des calculs spécifiques basés sur les données fournies.

# Création d'une séquence de températures de 0 à 100 degrés Celsius
temperatures <- seq(0, 100, length.out = 500)

# Définition des paramètres de la résistance
R0 <- 10  # Résistance à 0 degré Celsius en Ohms
alpha <- 0.02  # Coefficient de température en Ohms par degré Celsius

# Calcul de la résistance pour chaque température
resistances <- R0 + alpha * temperatures

# Tracé du graphique
plot(temperatures, resistances, type = "l", col = "blue",
     main = "Résistance en fonction de la Température",
     xlab = "Température (°C)", ylab = "Résistance (Ohms)",
     lwd = 2)  # lwd est la largeur de la ligne

# Ajout d'une légende si nécessaire
legend("topright", legend = c("Résistance vs Température"), col = "blue", lty = 1, cex = 0.8)

Annexe : formules utilisées

Loi d’Einstein pour l’effet photoélectrique: \[h\nu = A_0 + \frac{1}{2}mv_{\text{max}}^2\] Cette équation résume la relation entre l’énergie d’un photon incident (\(h\nu\)) et l’énergie nécessaire pour libérer un électron de la surface d’un métal (\(A_0\)), plus l’énergie cinétique maximale de l’électron éjecté (\(\frac{1}{2}mv_{\text{max}}^2\)).
Énergie d’un photon: \[E = h\nu\] Relie l’énergie d’un photon (\(E\)) à sa fréquence (\(\nu\)) avec \(h\) étant la constante de Planck.
Quantité de mouvement d’un photon: \[p = \frac{h\nu}{c}\] Indique que la quantité de mouvement d’un photon (\(p\)) dépend de sa fréquence (\(\nu\)) et la vitesse de la lumière dans le vide (\(c\)), avec \(h\) la constante de Planck.
Relation pour l’effet Compton sur le changement de longueur d’onde (\(\Delta \lambda\)) en fonction de l’angle de diffusion (\(\theta\)): \[\Delta\lambda = \lambda_s - \lambda_i = \frac{h}{m_0c}(1 - \cos\theta)\] Cette formule exprime le décalage en longueur d’onde d’un photon après collision avec un électron, où \(\lambda_s\) est la longueur d’onde du photon diffusé, \(\lambda_i\) est la longueur d’onde initiale du photon, \(m_0\) est la masse au repos de l’électron, et \(c\) est la vitesse de la lumière.

Ces formules sont essentielles pour comprendre l’effet photoélectrique, qui fut la clé de la découverte des quantas de lumière (photons) et a joué un rôle crucial dans le développement de la mécanique quantique, ainsi que pour expliquer l’effet Compton, qui fournit une preuve supplémentaire de la nature particulaire de la lumière.

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  }
  h4{
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Physique_Sofia13feb2024

Drouaud Victor

2024-02-13