PRIMERA PARTE


Distribuciones muestrales


  1. Para una variable con distribución normal estandar determine el valor de \(z\) tal que:


  • \(P(-z < Z < z)=0.90\)
  • \(P(z < Z < 1)=0.40\)
  • \(P(z < Z)=0.05\)
  • \(P(Z > z)=0.80\)

En cada caso represente la situación gráficamente

Respuestas 


## [1] -1.644854

## [1] -0.1474207

## [1] -1.644854

## [1] -0.8416212

  1. Sea \(X \sim N(50,10)\), Determine las siguientes probabilidades:


  • \(P(X < 40)\)
  • \(P(X < 65)\)
  • \(P(X> 55)\)
  • \(P(X > 35)\)
  • \(P(40 < X < 45)\)
  • \(P(38 < X < 62)\)

En cada caso represente la situación gráficamente

Respuestas 

## [1] 0.1586553

## [1] 0.9331928

## [1] 0.3085375

## [1] 0.9331928

## [1] 0.3085375

## [1] 0.1150697

  1. Sea \(X \sim N(10,5)\). Encontrar los valores de \(x\) que corresponden a las siguientes probabilidades:


  • \(P(X < x)=0.05\)
  • \(P(X < x)=0.95\)
  • \(P(X < x)=0.99\)
  • \(P(X < x)=0.01\)
  • \(P(X < x)=0.025\)
  • \(P(X < x)=0.975\)

En cada caso represente la situación gráficamente

Respuestas 

## [1] 1.775732

## [1] 18.22427

## [1] 21.63174

## [1] -1.631739

## [1] 0.2001801

## [1] 19.79982



  1. El tiempo en que un cajero de un banco con servicio en el automovil atiende a un cliente es una variable aleatoria con una media \(\mu=3.2\) minutos y una desviación estandar de \(\sigma = 1.6\) minutos. Si se obtiene una muestra de \(n = 64\) clientes, encuentre la probabilidad de que el tiempo medio con el cajero sea:


  • a lo más de \(2.7\) minutos
  • más de \(3.5\) minutos
  • al menos \(3.2\) minutos, pero menos de \(3.4\) minutos

En cada caso represente la situación gráficamente

Respuestas 

## [1] 0.006209665

## [1] 0.0668072

## [1] 0.3413447



  1. Use la tabla t-student para encontrar:


  • \(t_{0.05}(v=8)\)
  • \(t_{0.975}(v=12)\)
  • \(t_{0.25}(v=10)\)
  • \(t_{0.95}(v=10)\)
  • El punto \(t\) tal que \(P(-t<T_{v=25}<t)=0.90\)
  • El punto \(t\) tal que \(P(-t<T_{v=25}<t)=0.95\)
  • El punto \(t\) tal que \(P(T_{v=15}>t)=0.05\)
  • El punto \(t\) tal que \(P(T_{20} > t)=0.10\)
  • El punto \(t\) tal que \(P(T_{30}<-t)=0.10\)

En cada caso represente la situación gráficamente

Respuestas



  1. Una empresa manufacturera afirma que las baterías que utiliza en sus juegos electrónicos duran un periodo de 30 horas. Para mantener este promedio, se prueban 16 baterías cada mes. Si el valor \(T=(\bar{x}-30)/(s/\sqrt{n})\) cae entre \(t_{0.025;v=15}\) y \(t_{0.975;v=15}\), la empresa queda satisfecha con su afirmación ?. Qué conclusión deberia tomar la empresa si una muestra presenta una media \(\bar{x}=27.5\) horas y una desviación estandar de \(s = 5\) horas?. Suponga que la duración de las baterías tiene una distribución normal.

Respuestas 

## Cuantil inferior: 2.13145
## Cuantil superior: -2.13145
## Estadístico T: -2
## La empresa no está satisfecha con su afirmación.



  1. Un fabricante de barras de cereal bajos en grasas afirma que su cantenido promedio de grasas saturadas es de 0.5 gramos. En una muestra aleatoria de 8 barras del cereal, el contenidio de grasas saturadas fue de : \(0.6\), \(0.7\), \(0.7\), \(0.3\), \(0.4\), \(0.5\), \(0.4\) y \(0.2\) gramos. ¿Estaría de acuerdo con la afirmación realizada por el fabricante?. Suponga que el contenido de grasas saturadas en la barra es una variable aleatoria que se distribuye de manera nornal.

Respuestas 

## Intervalo de confianza para la media: 0.322 0.628
## Estadístico t: -0.386
## Valor p: 0.7110151
## No hay suficiente evidencia para rechazar la hipótesis nula. La afirmación del fabricante podría ser válida.



  1. Para una distribución chi-cuadrado encuentre:


  • \(\chi^{2}_{0.025}(v=15)\)
  • \(\chi^{2}_{0.01}(v=17)\)
  • \(\chi^{2}_{0.05}(v=24)\)
  • \(P(X^{2}>\chi^{2})=0.99\), \((v=4)\)
  • \(P(X^{2}>\chi^{2})=0.025\), \((v=19)\)
  • \(P(\chi^{2}<X^{2}<23.209)=0.015\), \((v=10)\)
  • \(P(37.652 <X^{2}< \chi^{2})=0.045\), \((v=25)\)

En cada caso represente la situación gráficamente

Respuestas



  1. La calificación de un examen de admisión a la universidad que se aplica a estudiantes durante los últimos cinco años está distribuido normal con media \(\mu=74\) y varianza \(\sigma^{2}=8\). En una muestra de \(n=20\) estudiantes, se encontro un valor de \(s^{2}=20\). Se considera que el valor de 8 para la varianza puede ser aceptado, si el valor de la variable \(X^{2}=(n-1)S^{2} /8\), esta entre \(\chi^{2}_{0.05;v=19}\) y \(\chi^{2}_{0.95;v=19}\).?Que conclusión debe tomar?, en caso contrario se rechaza esta afirmación.

Respuestas 

## Estadístico de prueba (X^2): 47.5
## Cuantil inferior crítico: 10.11701
## Cuantil superior crítico: 30.14353
## Se rechaza la afirmación sobre la varianza.



  1. Para la distribución F encuentre:


  • \(f_{0.05}(v_{1}=7;v_{2}=15)\)
  • \(f_{0.05}(v_{1}=15;v_{2}=7)\)
  • \(f_{0.95}(v_{1}=19; v_{2}=24)\)
  • \(f_{0.95}(v_{1}=7; v_{2}=15)\)

En cada caso represente la situación gráficamente

Respuestas 

## 1. f_0.05(7, 15): 2.707
## 2. f_0.05(15, 7): 3.511
## 3. f_0.95(19, 24): 2.04
## 4. f_0.95(7, 15): 2.707

# SEGUNDA PARTE


Verificación del Teorema central del límite


El siguiente código verifica el Teorema del Límita Central en el caso de una variable con distribución exponencial. A partir de el, realice la validación para las siguientes distribuciones :

  • uniforme
  • normal
  • Binomial
  • lognormal
  • Weibull

Con los resultados obtenidos concluya


Conclusion: A medida que el tamaño de la muestra aumenta, la distribución de las medias muestrales se aproxima a una distribución normal.