Parte 1

Punto 1

Para una variable con distribución normal estandar determine el valor de z

P(−z<Z<z)=0.90

P(z<Z<1)=0.40

P(z<Z)=0.05

P(Z>z)=0.80

## [1] -1.644854

## [1] -0.1475607

## [1] 1.644854

## [1] -0.8416212

Punto 2

Sea X∼N(50,10), Determine las probabilidades: P(X<40)

P(X<65)

P(X>55)

P(X>35)

P(40<X<45)

P(38<X<62)

## [1] 0.1586553

## [1] 0.9331928

## [1] 0.3085375

## [1] 0.7698607

## [1] 0.1498823

## [1] 0.7698607

Punto 3

Sea X∼N(10,5). Encontrar los valores de x que corresponden a las probabilidades:

P(X<x)=0.05

P(X<x)=0.95

P(X<x)=0.99

P(X<x)=0.01

P(X<x)=0.025

P(X<x)=0.975

## [1] 1.775732

## [1] 18.22427

## [1] 21.63174

## [1] -1.631739

## [1] -4.035169

## [1] 19.79982

Punto 4

El tiempo en que un cajero de un banco con servicio en el automovil atiende a un cliente es una variable aleatoria con una media μ=3.2 minutos y una desviación estandar de σ=1.6 minutos. Si se obtiene una muestra de n=64 clientes, encuentre la probabilidad de que el tiempo medio con el cajero sea:

a lo más de 2.7 minutos

más de 3.5 minutos

al menos 3.2 minutos, pero menos de 3.4 minutos

## [1] 0.006209665

## [1] 0.0668072

## [1] 0.3413447

Punto 5

Use la tabla t-student para encontrar los valores de t

t0.05(v=8)

t0.975(v=12)

t0.25(v=10)

t0.95(v=10)

El punto t tal que P(−t<Tv=25<t)=0.90

El punto t tal que P(−t<Tv=25<t)=0.95

El punto t tal que P(Tv=15>t)=0.05

El punto t tal que P(T20>t)=0.10

El punto t tal que P(T30<−t)=0.10

## [1] -1.859548

## [1] 2.178813

## [1] -0.6998121

## [1] 1.812461

## [1] 1.708141

## [1] 2.059539

## [1] 1.75305

## [1] 1.325341

## [1] 1.310415

Punto 6

Una empresa manufacturera afirma que las baterías que utiliza en sus juegos electrónicos duran un periodo de 30 horas. Para mantener este promedio, se prueban 16 baterías cada mes. Si el valor T=(x¯−30)/(s/√n)cae entre t0.025;v=15 y t0.975;v=15, la empresa queda satisfecha con su afirmación? Qué conclusión deberia tomar la empresa si una muestra presenta una media x¯=27.5 horas y una desviación estandar de s=5 horas?. Suponga que la duración de las baterías tiene una distribución normal.

## [1] -2
## [1] -2.13145
## [1] 2.13145

R/ La muestra esta dentro de los parametros anteriormente fijados, ya que el valor de T = -2, esta en el intervalo establecido que dio como resultado t1 = -2.1314 y t2 = 2.1314

Punto 7

Un fabricante de barras de cereal bajos en grasas afirma que su contenido promedio de grasas saturadas es de 0.5 gramos. En una muestra aleatoria de 8 barras del cereal, el contenidio de grasas saturadas fue de : 0.6, 0.7, 0.7, 0.3, 0.4, 0.5, 0.4 y 0.2 gramos. ¿Estaría de acuerdo con la afirmación realizada por el fabricante?. Suponga que el contenido de grasas saturadas en la barra es una variable aleatoria que se distribuye de manera normal.

## [1] 0.475

La media de la muestra es de 0.475 lo cual es un valor muy cercano al 0.5 que dice el fabricante, la diferencia entre los valores se da por que la muestra es pequeña. Por lo tanto, estaria de acuerdo con la afirmacion del fabricante pero lo ideal seria tomar una muestra mas grande

Punto 8

Para una distribución chi-cuadrado encuentre los valores de χ2

χ20.025(v=15)

χ20.01(v=17)

χ20.05(v=24)

P(X2>χ2)=0.99 (v=4)

P(X2>χ2)=0.025 (v=19)

P(χ2<X2<23.209)=0.015 (v=10)

P(37.652<X2<χ2)=0.045 (v=25)

## [1] 6.262138

## [1] 6.40776

## [1] 13.84843

## [1] 0.2971095

## [1] 32.85233

## [1] 20.48307

## [1] 46.92392

Punto 9

La calificación de un examen de admisión a la universidad que se aplica a estudiantes durante los últimos cinco años está distribuido normal con media μ=74 y varianza σ2=8. En una muestra de n=20 estudiantes, se encontro un valor de s2=20. Se considera que el valor de 8 para la varianza puede ser aceptado, si el valor de la variable X2=(n−1)S2/8, esta entre χ20.05;v=19 y χ20.95;v=19. ¿Que conclusión debe tomar?, en caso contrario se rechaza esta afirmación.

Punto 10

Para la distribución F encuentre:

## [1] 0.2848402

## [1] 0.3694636

## [1] 2.039858

## [1] 2.706627

El siguiente código verifica el Teorema del Límita Central en el caso de una variable con distribución exponencial. A partir de el, realice la validación para las siguientes distribuciones :

uniforme normal Binomial lognormal Weibull

Con los resultados obtenidos concluya

Exponencial

uniforme

normal

Binomial

lognormal

Weibull

### Conclusion

Para todos los casos queda demostrado graficamente que el teorema de limite central funciona y a medida que la muesta es mas grande el teorema funciona mejor, la pueba QQline muestra que existe una relacion lineal entre las medias a lo largo de cada una de las distintas distribuciones, aun cuando todas tienen naturalezas distintas