Actividad de diseño

Problema

En un estudio realizado por el Departamento de Nutrición Humana y Alimentos del Virginia Tech se registraron los siguientes datos sobre los residuos de ácido sórbico en jamón, en partes por millón, inmediatamente después de sumergirlo en una solución de sorbato y después de 60 días de almacenamiento.

# A tibble: 8 × 3
  `Rebanada ` ` Antes del almacenamiento ` ` Posterior al almacenamiento `
        <dbl>                        <dbl>                           <dbl>
1           1                          224                             116
2           2                          270                              96
3           3                          400                             239
4           4                          454                             319
5           5                          580                             427
6           6                          620                             587
7           7                         1200                             689
8           8                          680                             576

Los investigadores se preguntan si existe suficiente evidencia estadística para decir que la duración del almacenamiento influye en las concentraciones residuales de ácido sórbico. Para comprobar lo anterior realice lo siguiente:

  1. Realice la prueba para la igualdad de varianzas con un nivel de significancia de 0.05 (40%)

  2. Plantee las hipótesis correspondientes, defina cada elemento de las hipótesis de acuerdo con el problema. (5%)

  3. Calcule el estadístico de prueba (25%)

  4. Compare con distribución de referencia y concluya sobre la hipótesis nula en términos del problema. (10%)

Desarrollo

  • Factor: Tiempo de almacenamiento

  • Niveles del factor:

    1. Antes del almacenamiento

    2. Posterior al almacenamiento

  • 8 replicas por nivel

  • Variable respuesta: \(Y_{ij}\)

    • Con i: niveles, j: observación \(Y_{ij}\)

1. Planteamiento de hipótesis

\(H_0=\) la varianza para la población 1 de los residuos de acido sorbico en jamón es la misma que antes y despues del almacenamiento.

\(H_{0}: \sigma^{2}_{1}=\sigma^{2}_{2}\)

\(H_1=\) la varianza para la población 2 de los residuos de acido sorbico en jamón es diferente antes y despues del almacenamiento.

\(H_{1}: \sigma^{2}_{1}\neq\sigma^{2}_{2}\).

  • Donde:

    • \(\sigma^2_1:\) Varianza población 1
    • \(\sigma^2_2:\) Varianza población 2

  • Los datos a analizar son los siguientes:

# A tibble: 16 × 2
   factor                      observaciones
   <chr>                               <dbl>
 1 Antes del almacenamiento              224
 2 Antes del almacenamiento              270
 3 Antes del almacenamiento              400
 4 Antes del almacenamiento              454
 5 Antes del almacenamiento              580
 6 Antes del almacenamiento              620
 7 Antes del almacenamiento             1200
 8 Antes del almacenamiento              680
 9 Posterior al almacenamiento           116
10 Posterior al almacenamiento            96
11 Posterior al almacenamiento           239
12 Posterior al almacenamiento           319
13 Posterior al almacenamiento           427
14 Posterior al almacenamiento           587
15 Posterior al almacenamiento           689
16 Posterior al almacenamiento           576

2. Estadistico de prueba

\(F_0 =\frac{S^2_1}{S^2_2}\)

Para hallar la varianza muestral utilizamos:

\(S^2_1 =\frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})}{n-1}\)

\(S^2_2 =\frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})}{n-1}\)

Donde:

  • \(S^2_1\) : Varianza muestra 1

  • \(S^2_2\): Varianza muestra 2

experimento$factor = as.factor(experimento$factor)
  • Para realizar el estadistico de prueba utilizamos la función var.test
var.test(experimento$observaciones~experimento$factor)

    F test to compare two variances

data:  experimento$observaciones by experimento$factor
F = 1.8745, num df = 7, denom df = 7, p-value = 0.4261
alternative hypothesis: true ratio of variances is not equal to 1
95 percent confidence interval:
 0.3752736 9.3627459
sample estimates:
ratio of variances 
          1.874458

3. Distribución teorica

Para hallar el cuantil para el estadistico teorico utilizamos del codigo qf considerando un nivel de significancia de 0.005 y los grados de libertad de 7 tal como lo arrojó el resultado en la prueba de fisher.

qf(1-(0.05/2),7,7,lower.tail = F)
[1] 0.2002038
qf(0.05/2,7,7,lower.tail = F)
[1] 4.994909
  • Del anterior resultado obtenemos

\(F_0 = 1.8745\)

\(F_{1-\frac{\alpha}{2}, n_1 -1, n_2 -1 } = F_{0.975,7,7}= 0.2002038\)

\(F_{\frac{\alpha}{2}, n_1 -1, n_2 -1 } = F_{0.025,7,7}= 4.994909\)

  • Por lo que

\(F_0≮F_{0.975, 7,7}=1.8745≮ 0.2002038\)

\(F_0≯F_{0.025,7,7}=1.8745≯4.994909\)

Conclusión

No existe evidencia científica para rechazar Ho, por lo tanto se concluye que las varianzas de la cantidad de los residuos de ácido de sorbato en el jamón antes y después de almacenar son iguales.

Punto 2

Realice la prueba para la diferencia de medias con un nivel de significancia de 0.05.

  1. Plantee las hipótesis correspondientes, defina cada elemento de las hipótesis de acuerdo con el problema. (5%)

  2. Calcule el estadístico de prueba.(45%)

  3. Compare con distribución de referencia y concluya sobre la hipótesis nula en términos del problema.(10%)

Solucion

1. Planteamiento de hipotesis

\(H_0=\) La media para la poblacion 1 de los residuos de acido sorbico en jamón es la misma que antes y despues del almacenamiento.

\(H_1=\) la media para la población 2 de los residuos de acido sorbico en jamón es diferente antes y despues del almacenamiento.

\(H_0:μ_1=μ_2\)

\(H_1:μ_1≠μ_2\)

library(readxl)
experimento <- read_excel("datos.xlsx")

2 Estadistico de prueba

experimento$factor = as.factor(experimento$factor)
t.test(experimento$observaciones~experimento$factor,var.equal = T)

    Two Sample t-test

data:  experimento$observaciones by experimento$factor
t = 1.2808, df = 14, p-value = 0.2211
alternative hypothesis: true difference in means between group antes de almacenamiento and group despues de almacenamiento is not equal to 0
95 percent confidence interval:
 -116.2894  461.0394
sample estimates:
  mean in group antes de almacenamiento mean in group despues de almacenamiento 
                                553.500                                 381.125

3. Distribución de referencia

La ecuación para calcular el estadistico de prueba es la siguiente:

\(t_0=\frac{\bar{y}_1-\bar{y}_2}{S_p\sqrt{\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}}}\)

Donde:

\(\bar{y}_1\): media muestral del nivel 1.

\(\bar{y}_2\): media muestral del nivel 2.

\(n_1\): tamaño de muestra del nivel 1.

\(n_2\): tamaño de muestra del nivel 2.

\(S^2_p\): es una estimación de la varianza común. \(σ^2_1=σ^2_2=σ^2\)

\(S_p^2=\frac{(n_1-1)S^2_1+(n_2-1)S^2_2}{n_1+n_2-2}\)

Donde:

  • \(S^2_1\) : Varianza muestra 1

  • \(S^2_2\): Varianza muestra 2

Para calcular el estadistico de prueba mediante R se utiliza la función qt

qt((0.05/2),(8+8-2), lower.tail = FALSE)
[1] 2.144787

\(t_0\)= 1.208

t = 2.144787

  • De los anteriores resultados podemos concluir que

\(t_0\) < \(t\)

Conclusión

No existe evidencia estadistica suficente para rechazar \(H_o\) por lo tanto las concentraciones residuales de ácido sórbico es la misma antes y despues del almacenamiento.