Resposta das Interpretações

A solução:

Success: the objective function is 40 

[1] 40  0

• Verifique quanto de horas cada setor utilizará para realizar a manutenção.

• Há sobra de horas em algum setor?

Solução

• Resolva o problema se incluirmos uma restrição de que pelo menos 4 aeronaves t-27 devem passar por manutenção. O que muda no modelo? O que muda na solução?

library(lpSolve) #precisa instalar o pacote caso não tenha
coef.objetivo = c(1,1)
R1 = c(3, 3.5)
R2 = c(4, 5)
R3 = c(1, 1.5)
R4 = c(0,1) #acrescenta nova restrição
restricoes = rbind(R1,R2,R3,R4) #R4
b = c(120, 160, 48,4) #R4
sinal = c("<=","<=","<=", ">=") #R4
solucao = lpSolve::lp(direction = "max",
                      objective.in = coef.objetivo,
                      const.mat = restricoes, 
                      const.dir = sinal, 
                      const.rhs = b, all.int = T)
solucao

Success: the objective function is 39 

solucao$solution

[1] 35  4

x=c(paste0("T",c(25,27)))
y=solucao$solution
knitr::kable(data.frame(Aeronave=x,Quant_manut=solucao$solution))

Aumentamos no modelo mais uma restrição do tipo \(0x1+1x2\ge4\), forçando a solução mudar para no mínimo 4 aeronaves T-27 em manutenção, com isso, a função objetivo passou para 39 aeronaves em manutenção, comparando com o modelo anterior, observa-se uma redução no total de aeronaves em manutenção.

Dados do problema:…

Atenção: o tempo por viagem foi convertido para horas, alguns valores sofreram arredondamento o que pode impactar nos parâmetros do modelo e consequentemente na solução. EX: 0.17h é a conversão de 10 min; 0.67h é a conversão de 40 min.

Elementos da modelagem:

Função Objetivo:

min \(z=10x_1+4x_2+75x_3+5x_4+3x_5+2x_6\)

Elementos da modelagem…:

Hipótese simplificadora: 1- Não serão consideradas composições familiares. 2- As cargas não serão transportadas com seu proprietário. 3- Os veículos partem com sua capacidade máxima de carga.

Total de pessoas a ser transportada: 17.750

Total de bagagem a ser transportada: 177.500 kg

Elementos da modelagem…:

Restrições Estruturais

• Restrição de capacidade do transporte de pessoas nos veículos

\(20x_{1} + 5x_2+10x_3+45x_4+30x_5+5x_6 \ge 17750\)

• Restrição de capacidade do transporte de bagagens nos veículos

\(1000x_{1} + 20x_2+50x_3+1000x_4+500x_5+100x_6 \ge 177500\)

Elementos da modelagem…:

Hipótese simplificadora: 4- Não serão considerados os tempos de reposicionamento dos veículos.

Tempo de operação: 10h

Elementos da modelagem…:

• Restrições devido ao número de viagens em cada tipo de veículo

\(x_{1} \le \frac{10}{1} \cdot 10\) ou seja \(x_{1} \le 100\)

\(x_{2} \le \frac{10}{0.75} \cdot 20\) ou seja \(x_{2} \le 266\)

\(x_{3} \le \frac{10}{0.17} \cdot 15\) ou seja \(x_{3} \le 882\) o correto aqui é 900 e não 882 pois 0.17 h é uma aproximação para 10 min.

\(x_{4} \le \frac{10}{0.67} \cdot 10\) ou seja \(x_{4} \le 150\) idem a obs anterior 0.67 é aproximação para 40 min.

\(x_{5} \le \frac{10}{0.5} \cdot 5\) ou seja \(x_{5} \le 100\)

\(x_{6} \le 60\) pois cada veículo de passeio faz apenas uma viagem

Restrições de Sinal: \(x_{i} \ge 0, \space \forall i=1,2,3,4,5,6\)

O modelo completo

\(x_{i}\): número de viagens do veículo do tipo \(V_i\), \(i=1,2,3,4,5,6\)

min \(z=10x_1+4x_2+75x_3+5x_4+3x_5+2x_6\)

sujeito a

\(20x_{1} + 5x_2+10x_3+45x_4+30x_5+5x_6 \ge 17750\)

\(1000x_{1} + 20x_2+50x_3+1000x_4+500x_5+100x_6 \ge 177500\)

\(x_{1} \le 100\)

\(x_{2} \le 266\)

\(x_{3} \le 900\)

\(x_{4} \le 150\)

\(x_{5} \le 100\)

\(x_{6} \le 60\)

\(x_{i} \ge 0, \space \forall i=1,2,3,4,5,6\)

Obtendo a resposta do modelo

• Utilize o phpsimplex e veja o resultado. http://www.phpsimplex.com/simplex/simplex.htm?l=pt

• Utilize o R e veja o resultado

library(lpSolve) #precisa instalar o pacote caso não tenha
coef.objetivo = c(10,4,75,5,3,2)
R1 = c(10,5,10,45,30,5)
R2 = c(1000,20, 50, 1000,500,100)
R3 = c(1, 0,0,0,0,0)
R4 = c(0, 1,0,0,0,0)
R5 = c(0, 0,1,0,0,0)
R6 = c(0, 0,0,1,0,0)
R7 = c(0, 0,0,0,1,0)
R8 = c(0, 0,0,0,0,1)
restricoes = rbind(R1,R2,R3,R4,R5,R6,R7,R8)
b = c(17750, 177500, 100, 260, 900, 150, 100, 60)
sinal = c(">=",">=","<=","<=","<=","<=", "<=","<=")
solucao = lpSolve::lp(direction = "min",
                      objective.in = coef.objetivo,
                      const.mat = restricoes, 
                      const.dir = sinal, 
                      const.rhs = b, all.int = F)
solucao

Success: the objective function is 43710 

solucao$solution

[1] 100 260 540 150 100  60

O modelo indica que deve ser realizado um total de 1210 viagens e a operação terá um custo mínimo de R$43.710,00

Interpretando a solução

x=c(paste0("x",1:6))
knitr::kable(result<-data.frame(x,y=solucao$solution))

Para esta operação serão necessárias 1210 viagens com um custo mínimo de R$43.710,00 sendo, 100 viagens com o veículo de 6 ton (V1), 260 viagens com o veículo de 1/4 ton (V2), 540 viagens com o helicóptero (V3), 150 viagens com o ônibus (V4), 100 viagens com o microonibus (V5) e 60 viagens com os carros de passeio (V6)

Análises complementares

• Verifique quanto de bagagem será transportada com essa solução.

[1] 338200

• Há capacidade ociosa de carga?

[1] 160700

• Até quanto poderíamos aumentar a bagagem individual de cada pessoa sem alterar a solução ótima?

[1] 9.053521

Análises complementares

• E se fosse permitido 20kg de bagagem por pessoa, o que mudaria na solução?

library(lpSolve) #precisa instalar o pacote caso não tenha
coef.objetivo = c(10,4,75,5,3,2)
R1 = c(10,5,10,45,30,5)
R2 = c(1000,20, 50, 1000,500,100)
R3 = c(1, 0,0,0,0,0)
R4 = c(0, 1,0,0,0,0)
R5 = c(0, 0,1,0,0,0)
R6 = c(0, 0,0,1,0,0)
R7 = c(0, 0,0,0,1,0)
R8 = c(0, 0,0,0,0,1)
restricoes = rbind(R1,R2,R3,R4,R5,R6,R7,R8)
b = c(17750, 20*17750, 100, 260, 900, 150, 100, 60)
sinal = c(">=",">=","<=","<=","<=","<=", "<=","<=")
solucao = lpSolve::lp(direction = "min",
                      objective.in = coef.objetivo,
                      const.mat = restricoes, 
                      const.dir = sinal, 
                      const.rhs = b, all.int = F)
solucao

Success: the objective function is 68910 

solucao$solution

[1] 100 260 876 150 100  60

Análises complementares

• E se trocássemos 2 helicópteros por 1 veículo de 6ton, mantendo 20kg de bagagem por pessoa?

Neste caso mudará os limites de recurso da restrição 3 e 5.

library(lpSolve) #precisa instalar o pacote caso não tenha
coef.objetivo = c(10,4,75,5,3,2)
R1 = c(10,5,10,45,30,5)
R2 = c(1000,20, 50, 1000,500,100)
R3 = c(1, 0,0,0,0,0)
R4 = c(0, 1,0,0,0,0)
R5 = c(0, 0,1,0,0,0)
R6 = c(0, 0,0,1,0,0)
R7 = c(0, 0,0,0,1,0)
R8 = c(0, 0,0,0,0,1)
restricoes = rbind(R1,R2,R3,R4,R5,R6,R7,R8)
b = c(17750, 20*17750, 110, 260, 780, 150, 100, 60)
sinal = c(">=",">=","<=","<=","<=","<=", "<=","<=")
solucao = lpSolve::lp(direction = "min",
                      objective.in = coef.objetivo,
                      const.mat = restricoes, 
                      const.dir = sinal, 
                      const.rhs = b, all.int = F)
solucao

Success: the objective function is 54010 

solucao$solution

[1] 110 260 676 150 100  60

Revise

• Terminou? Revise os conceitos e modelos das aulas anteriores, incluindo o caderno de modelagem. Prepare-se para a avaliação parcial desta unidade.

• Revise os conceitos sobre modelagem.

• Revise as hipóteses dos modelos de otimização linear.

• Revise os itens necessários que um modelo deve conter.

• Refaça todos os modelos propostos em aula.