Pesquisa Operacional - PEOP

AULA 16: MODELAGEM MATEMÁTICA - Problemas de Planejamento

Profa. Luciane Alcoforado / Profa. Renata

Academia da Força Aérea

Objetivos

Verifique ao final desta aula se você é capaz de:

Desenvolver modelos matemáticos de otimização linear para as situações problema apresentadas (Si).
Gerar soluções para as situações problema apresentadas (Ap).
Validar os modelos elaborados por meio da análise das soluções obtidas (An).

Roteiro da Aula

Resposta das Interpretações da aula anterior
Revisão de conceitos das aulas anteriores
Modelos clássicos de planejamento da produção.
Interpretando a solução.
Exercícios.

Resposta das Interpretações

A solução:

Success: the objective function is 102.4

[1] 1 0 0 0 2 0 2 3 6

x	y
x11	1
x12	0
x13	0
x21	0
x22	2
x23	0
x31	2
x32	3
x33	6

Verifique quanto de carga cada cidade recebeu com esta solução. A demanda foi atendida?

Destino	Recebido_ton	Demanda
Cidade 1	20	20
Cidade 2	29	28
Cidade 3	30	30

Todas as aeronaves disponíveis foram utilizadas? Caso não, quantas não foram e de que tipo?

Origem	Uso	Disponível	Sobra
T 1	1	8	7
T 2	2	15	13
T 3	11	11	0

Revisão de conceitos

Escolha a alternativa correta

1- Um problema de transporte é um tipo especial de problema de otimização linear que envolve:

A determinação da rota mais longa entre dois pontos, considerando as distâncias e os obstáculos existentes.
A alocação de recursos limitados para várias atividades, maximizando o lucro total da produção.
A seleção de um conjunto de projetos a serem realizados, respeitando as restrições de tempo e orçamento.

A distribuição de um produto de várias origens para vários destinos, minimizando o custo total do transporte.

Escolha a alternativa correta

2- Em um problema de transporte, a variável de decisão é:

A quantidade de produto que é transportada de uma origem para um destino.
O custo unitário de transporte de um produto de uma origem para um destino.
A capacidade de oferta ou demanda de um produto em uma origem ou destino.
O número de origens ou destinos envolvidos no problema.

Verifique seus acertos

1- Um problema de transporte é um tipo especial de problema de otimização linear que envolve:

A distribuição de um produto de várias origens para vários destinos, minimizando o custo total do transporte.

2- Em um problema de transporte, a variável de decisão é:

A quantidade de produto que é transportada de uma origem para um destino.

Escolha a alternativa correta

3- A SDAB possui três armazéns centrais que distribuem um certo item de fardamento a quatro lojas localizadas em diferentes OM. Os armazéns 1, 2 e 3 possuem capacidade de oferta de 12, 17 e 11 remessas por mês. Cada loja necessita receber no mínimo 10 e no máximo 12 remessas por mês. A distância em km entre cada armazém até as respectivas lojas é conhecida. O custo do frete de cada remessa é de R$100 mais R$0,50/km. O objetivo é minimizar o custo total de transporte. A variável de decisão para o problema é:

$x_i$ = número de lojas a serem atendidas pelo armazém i, $i=1,2,3$
$x_{ij}$ = custo de envio de 1 remessa do armazém i para a loja j, $i=1,2,3$ e $j=1,2,3,4$
$x_{ij}$ = número de remessas enviadas do armazém i para a loja j, $i=1,2,3$ e $j=1,2,3,4$
$x_{ij}$ = número de remessas enviadas da loja i para o armazém j, $i=1,2,3,4$ e $j=1,2,3$
$x_{ij}$ = distância em km do o armazém i para a loja j, $i=1,2,3$ e $j=1,2,3,4$

Escolha a alternativa correta

4- A SDAB possui um armazém central que distribue um certo item de fardamento a duas lojas localizadas em diferentes OM. O armazém possue capacidade de oferta de 20 remessas por mês. Cada loja necessita receber no mínimo 10 e no máximo 12 remessas por mês. A distância em km entre o armazém até as respectivas lojas é de 300 km e 600 km. O custo do frete de cada remessa é de R$100 mais R$0,50/km. O objetivo é minimizar o custo total de transporte. Sabendo que a variável de decisão é $x_i$ = número de remessas enviada à loja i, ($i=1,2$), como deve ser escrita a função objetivo deste problema?

min$z=100x_1+100x_2$
min$z=300x_1+600x_2$
min$z=x_1+x_2$
min$z=150x_1+300x_2$
min$z=250x_1+400x_2$

Verifique seus acertos

$x_{ij}$ = número de remessas enviadas do armazém i para a loja j, $i=1,2,3$ e $j=1,2,3,4$

4- A distância em km entre o armazém até as respectivas lojas é de 300 km e 600 km. O custo do frete de cada remessa é de R$100 mais R$0,50/km. O objetivo é minimizar o custo total de transporte. Sabendo que a variável de decisão é $x_i$ = número de remessas enviada à loja i, ($i=1,2$), como deve ser escrita a função objetivo deste problema?

min$z=250x_1+400x_2$

pois o custo do frete por remessa para a loja 1 é de $100+0.5 \cdot 300=250$ e o custo do frete para a loja 2 é de$100+0.5 \cdot 600=400$

Exemplos aplicados ao meio militar

Veremos nesta aula modelos relacionados ao problema clássico de planejamento da produção.

Um modelo linear para planejamento da produção é uma ferramenta matemática que busca determinar a quantidade ótima de cada produto a ser fabricado/processado em um determinado período, de modo a maximizar o lucro ou minimizar o custo da produção. O modelo considera os recursos disponíveis, como matéria-prima, mão-de-obra, máquinas e espaço, e as restrições que limitam a capacidade produtiva, como demanda, qualidade e tempo.

Formulação de um problema de planejamento no contexto militar:

A DSM faz a manutenção das aeronaves T-25, T-27 da Academia da Força Aérea.

Cada tipo de aeronave requer certa quantidade de tempo para a desmontagem, verificação/troca de componentes e para a montagem e limpeza. Especificamente, cada unidades do modelo T-25 requer três horas para desmontar, quatro horas para verificar/trocar componentes e uma para montar/limpar. Os números correspondentes ao T-27 são 3.5h, 5h e 1.5h.

Durante a próxima semana, a DSM tem disponíveis 120 horas de desmontagem, 160 horas de verificação/troca de componentes e 48 horas de montagem/limpeza.

Formule o modelo para o problema com o objetivo de maximizar o número de aeronaves que passarão pela manutenção na próxima semana.

Elementos da modelagem:

Critério de Otimalidade: Maximizar o número de aeronaves que passarão pela manutenção na próxima semana.

Definição das variáveis de decisão:

$x_{i}$: número de aeronaves do tipo $i$ que passarão por manutenção na próxima semana, $i=1(T-25),2 (T-27)$

Função Objetivo:

max $z=x_1+x_2$

Elementos da modelagem…:

Hipótese simplificadora: Não serão considerados tempos de reposicionamento das aeronaves.

Restrições Estruturais

Restrição para o tempo disponível na desmontagem

$3x_{1} + 3.5x_{2} \le 120$

Restrição para o tempo disponível na verificação/troca

$4x_{1} + 5x_{2} \le 160$

Restrição para o tempo disponível na montagem

$x_{1} + 1.5x_{2} \le 48$

Restrições de Sinal

$x_{i} \ge 0, \space \forall i=1,2$

O modelo completo

$x_{i}$: número de aeronaves do tipo $i$ que passarão por manutenção na próxima semana, $i=1(T-25),2 (T-27)$

max $z=x_1+x_2$

sujeito a

$3x_{1} + 3.5x_{2} \le 120$

$4x_{1} + 5x_{2} \le 160$

$x_{1} + 1.5x_{2} \le 48$

$x_{i} \ge 0, \space \forall i=1,2$

Obtendo a resposta do modelo

Utilize o phpsimplex e veja o resultado. http://www.phpsimplex.com/simplex/simplex.htm?l=pt
Utilize o R e veja o resultado

library(lpSolve) #precisa instalar o pacote caso não tenha
coef.objetivo = c(1,1)
R1 = c(3, 3.5)
R2 = c(4, 5)
R3 = c(1, 1.5)
restricoes = rbind(R1,R2,R3)
b = c(120, 160, 48)
sinal = c("<=","<=","<=")
solucao = lpSolve::lp(direction = "max",
                      objective.in = coef.objetivo,
                      const.mat = restricoes, 
                      const.dir = sinal, 
                      const.rhs = b, all.int = T)
solucao

Success: the objective function is 40

solucao$solution

[1] 40  0

O modelo indica que deve ser realizado um total de 40 manutenções.

Interpretando a solução

x	y
x1	40
x2	0

40 aeronaves T-25 deverão passar por manutenção e esta é a capacidade máxima da DSM para a próxima semana.

Verifique quanto de horas cada setor utilizará para realizar a manutenção.
Há sobra de horas em algum setor?
Resolva o problema se incluirmos uma restrição de que pelo menos 4 aeronaves t-27 devem passar por manutenção. O que muda no modelo? O que muda na solução?
Terminou? Realize os exercícios do caderno de modelagem disponível no moodle.