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Formulação de uma ração para operações militares:

Suponha que seja necessário criar 1 kg de ração que minimize seu custo total, utilizando uma mistura com alguns ingredientes disponíveis.

A ração produzida deve atender aos seguintes requisitos nutricionais mínimos em cada 1 kg:

• Proteínas: no mínimo 250 gramas
• Carboidratos: no mínimo 50 gramas
• Gorduras: no mínimo 10 gramas
• Vitaminas: no mínimo 500 unidades internacionais (UI)
• Minerais: no mínimo 10 gramas

Os ingredientes disponíveis para a ração, bem como seus custos por kg e a composição nutricional para cada kg de produto são:

• Farinha de carne (R$25,00/Kg): fornece 300 gramas de proteínas, 50 gramas de carboidratos, 150 gramas de gorduras, 5000 UI de vitaminas e 50 gramas de minerais por Kg.
• Grãos de cereais (R$20,00/Kg): fornecem 100 gramas de proteínas, 400 gramas de carboidratos, 50 gramas de gorduras, 2000 UI de vitaminas e 20 grama de minerais por Kg.
• Óleo vegetal (R$8,50/Kg): fornece 0 gramas de proteínas, 0 gramas de carboidratos, 200 gramas de gorduras, 0 UI de vitaminas e 0 gramas de minerais por Kg.

Elementos da modelagem:

Critério de Otimalidade: Minimizar o custo da ração operacional

Definição das variáveis de decisão:

x1: quantidade de farinha de carne na ração (em Kg)

x2: quantidade de grãos de cereais na ração (em Kg)

x3: quantidade de óleo vegetal na ração (em Kg)

Função Objetivo:

min \(25x_1 + 20x_2+ 8.5x_3\)

Restrições Lineares:

Sujeito a:

Restrições Estruturais

Restrições de Sinal

\(x_i \ge 0, \space \forall i=1,2,3\)

Obtendo a resposta do modelo

• Utilize o phpsimplex e veja o resultado. http://www.phpsimplex.com/simplex/simplex.htm?l=pt

• Utilize o R e veja o resultado

library(lpSolve) #precisa instalar o pacote caso não tenha
coef.objetivo = c(25,20,8.5)
R1 = c(300, 100, 0)
R2 = c(50, 400, 0)
R3 = c(150, 50, 200)
R4 = c(5000, 2000, 0)
R5 = c(50, 20, 0)
R6 = c(1, 1, 1)
restricoes = rbind(R1,R2,R3,R4,R5, R6)
b = c(250, 50, 10, 500, 10, 1)
sinal = c(">=",">=",">=",">=",">=", "=")
solucao = lpSolve::lp(direction = "min",
                      objective.in = coef.objetivo,
                      const.mat = restricoes,
                      const.dir = sinal,
                      const.rhs = b,
                      all.int = F)
solucao

Success: the objective function is 22.38043 

solucao$solution

[1] 0.82608696 0.02173913 0.15217391

Interpretando a solução

O modelo indica que deve ser produzido 1 kg de ração a um custo de R$22.38 misturando 0.826 kg de farinha de carne, 0.022 kg de grãos de cereais e 0.152 kg de óleo vegetal.

Observe que a solução apresenta exatamente um kg de ração resultado da soma de 0.826+0.022+0.152. Observe que o custo de R$22.38 é obtido multiplicando-se \(25\cdot 0.826 + 20\cdot 0.022 + 8.5 \cdot 0.152\)

Verifique a quantidade de proteínas, carboidratos, gorduras, vitaminas e minerais presentes na ração produzida a partir desta solução. Certifique-se de que todas as restrições foram atendidas.