Pela Lei fraca dos Grandes Números, é a média amostral, \(\overline{Y_n}= \frac{S_n}{n}\), que converge em probabilidade para 2.
Primeiramente, \[ \begin{align} ES_n&=E\bigg[\sum_{j=1}^{n}X_{j}^{2}\bigg]\\ &=\sum_{j=1}^{n}EX_{j}^{2}\\ &=n\bigg(Var(X_1)+ \big[EX_{1}\big]^2\bigg)\\ &=2n. \end{align} \]
Isto implica que \[ E\big[\overline{Y_{n}}\big]=E\bigg[\frac{S_n}{n}\bigg]=2. \]
Logo, pela Lei de fraca dos grandes números de Cheybchev, dado \(\epsilon>0\), tem-se
\[ \begin{align} P\bigg(\bigg|\frac{S_n}{n}-E\bigg[\frac{S_n}{n}\bigg]\bigg|>\epsilon\bigg) &= P(|\overline{Y_n} - E\overline{Y_n}|>\epsilon)\\ &\leq \frac{Var(\overline{Y_n})}{\epsilon^2}\\ &=\frac{Var(X_1)}{n\epsilon^2}\\ &=\frac{2}{n\epsilon^2}, \quad \forall\; n\in \mathbb{N}. \end{align} \]
Portanto, dado \(\epsilon>0\), tomamos o limite para \(n\to\infty\), obtendo \[ \begin{align} \lim_{n\to \infty} P(|\overline{Y_n} - 2|>\epsilon) = 0. \end{align} \]
Dessa maneira, concluímos que a média amostral \(\overline{Y}\) converge para 2, em probabilidade.
Para esta 1a solução, verifiquemos que satisfaz a condição de Lindeberg.
Condição de Lindeberg (Caso i.i.d.) Assuma que \(X_k\) são i.i.d. com média \(m<\infty\) e variância \(0<\sigma^2 <\infty\). Seja \(c_{n}^{2}=Var(S_n)\), com \(S_n=\sum\limits_{j=1}^{n}X_{j}^{2}\). Se \(F\) é a distribuição de \(X_k\), então \[ \begin{align} \frac{1}{c_{n}^{2}}\sum\limits_{k=1}^{n}\int\limits_{\{x:\;|x^2-m_k|\geq \;\epsilon c_n\}}(x^2-m_k)^2dF_k(x)&=\frac{1}{Var[X_{1}^{2}]}\int\limits_{\big\{x:\;|x^2-m|\geq \;\epsilon \sqrt{nVar[X_{1}^{2}] }\big\}}(x^2-m)^2dF(x)\\ &=\frac{1}{E[X_{1}^{4}]-4}\int\limits_{\big\{x:\;|x^2-m|\geq \;\epsilon \sqrt{n}\;\sqrt{E[X_{1}^{4}]-4 }\big\}}(x^2-m)^2dF(x) \quad \to \quad 0, \;\;quando\;\; n\to \infty, \end{align} \]
afinal,\[ \big\{y:\;|y-m|\geq \;\epsilon \sqrt{n}\;\sqrt{E[X_{1}^{4}]-4 }\big\} \to \emptyset, \;\; quando \;\; n\to \infty \qquad \wedge \qquad 4<E[X_{1}^{4}]<\infty.\]
De fato \(E[X_{1}^{4}]>4\), pois pela Desigualdade de Jensen \(E[X_{1}^{4}]=E[(X_{1}^{2})^2] > \big(EX_{1}^{2}\big)^2=(Var[X_1])^2=4.\)
Só faltou, no enunciado, a informação de que \(E[X_{1}^{4}]< \infty\).
Logo, a condição de Lindeberg é satisfeita. Portanto, pelo Teorema do Limite Central (TLC), resulta que \[ \frac{S_n-ES_n}{\sqrt{Var[S_n]}} \sim N(0,1) \quad \implies \quad S_n \sim N\bigg(ES_n,Var[S_n]\bigg), \] em que \(Var[S_n]=\mu_4-4\), com \(\mu_4=E[X_{1}^{4}]\), e \(ES_n=2n\).