Item 64

Solução Analítica

Como \(X \sim Exp(5)\), então \[ E(X)=\frac{1}{5} \quad \wedge \quad Var(X)=\frac{1}{5^2}. \]

Solução Numérica

mean(rexp(1e6,5))
## [1] 0.2003139

Item 65

Solução Numérica

De fato, como \(X\sim Exp(5)\), então \(P(X\geq 0)=1\). Logo, \[ 1=P(X\geq 0)=P(-5X\leq 0)=P(0<e^{-5X}\leq e^{0})=P(0<D\leq 1). \] Assim, \[ P(D\leq d)=\begin{cases} 0, & \text{se} \quad d <0.\\\\ 1, & \text{se} \quad d \geq 1. \end{cases} \]

E, para \(d\in [0,1)\), obtemos \[ \begin{align} P(D\leq d)&=P(e^{-5X} \leq d)\\ &=P\bigg(\log\big(e^{-5X}\big)\leq \log(d)\bigg)\\ &=P\big(\;-5X \leq \log(d)\;\big)\\ &=P\bigg(\;X\geq -\frac{1}{5}\log(d)\;\bigg)\\ &=e^{-5\big(-\frac{1}{5}\log(d)\big)}\\ &=d. \end{align} \]

Portanto, \(D \sim U(0,1)\).

Item 66

Solução Analítica

Reelembrando, se \(Z\sim Gama(\alpha,\beta)\), segue que

\[ f_Z(z)=\frac{\beta^{\alpha}}{\Gamma(\alpha)}z^{\alpha -1}e^{-\beta z} I(z\geq 0), \quad \alpha>0, \;\beta>0. \]

Defina-se \[ Y:=X_1+X_2+\cdots+ X_n \]

Uma vez que \(X_1,X_2,\cdots,X_n \overset{(i.i.d)}{\sim} Exp(5)\), tem-se \[ Y=\sum_{j=1}^{n}X_j \sim Gama(n,5), \]

de modo que

\[ f_Y(y)=\begin{cases} \dfrac{5^{n}}{\Gamma(n)}y^{n-1}e^{-5y}, &\text{se}\quad y\geq 0,\\ 0, &\text{se} \quad y<0, \end{cases} \] onde \(\Gamma(n)=(n-1)!\).

Item 67

Solução Analítica

Seja \(W=5X\). Logo, \[ \begin{align} F_{W}(w)&=P(W\leq w)\\ &=P(5X \leq w)\\ &=P\bigg(X \leq \frac{1}{5}w\bigg)\\ &=F_X(w/5)\\ &=\begin{cases} 1- e^{-5\frac{w}{5}}, &\text{se}\quad \frac{w}{5}\geq 0,\\ 0, &\text{se}\quad \frac{w}{5}<0, \end{cases} \end{align} \] ou seja

\[ \begin{align} F_{W}(w)=\begin{cases} 1- e^{-w}, &\text{se}\quad w\geq 0,\\ 0, &\text{se}\quad w<0. \end{cases} \end{align} \]

Portanto, \[ f_W(w)=\frac{d}{dw}F_W(w)=\begin{cases} e^{-w}, &\text{se}\quad w\geq 0,\\ 0, &\text{se}\quad w<0. \end{cases} \]

Item 68

Solução Analítica

\[ \begin{align} P(M>1)&=P(X_1>1,X_2>1,\cdots,X_n>1)\\ &\overset{(ind)}{=}P(X_1>1)P(X_2>1)\cdots P(X_n>1)\\ &\overset{(id. \;dist)}{=}\big[P(X_1>1)\big]^n\\ &=\big[e^{-5\times 1}\big]^n\\ &=e^{-5n}. \end{align} \]

Solução Numérica

m <- 1e6
n <- 5
lambda <- 5
bd <- replicate(m, rexp(n,lambda))

M <- apply(bd,2,min)

## Probabilidades
prob.sim <- mean( M > 1)

prob.teo <- exp(-5*n)


## Resultado
list(c("Probab. Teórica"=prob.teo, " Probab. Simulada"=prob.sim))
## [[1]]
##   Probab. Teórica  Probab. Simulada 
##      1.388794e-11      0.000000e+00