Seja \[ F_X(x)=\begin{cases} 0; & \text{se}\quad x<0,\\ \dfrac{x^2}{64}; &\text{se} \quad 0\leq x \leq 8,\\ 1; & \text{se} \quad x> 8. \end{cases} \]
\[ \begin{align} EX &= \int\limits_{0}^{\infty}\big(\;1-F_X(x)\;\big) dx - \int\limits_{-\infty}^{0}F_X(x)dx\\ &=\int\limits_{0}^{\infty}\big(\;1-F_X(x)\;\big)dx\\ &=\int\limits_{0}^{8}\big(\;1-F_X(x)\;\big)dx + \int\limits_{8}^{\infty}\big(\;1-F_X(x)\;\big)dx\\ &=\int\limits_{0}^{8}\bigg(1-\frac{x^2}{64}\bigg)dx=\bigg(x-\frac{x^3}{3\times 64}\bigg)\bigg|_{x\to 0}^{x\to 8}\\ &=\bigg(8-\frac{8^3}{3\times 64}\bigg) = 8-\frac{8}{3}=\frac{16}{3} > \frac{16}{4}=4. \end{align} \]
## Geracao de amostra da X
set.seed(060224)
n <- 1e6
u <- runif(n)
x <- 8*sqrt(u)
## Media Simulada
MediaX.sim <- mean(x)
## Media Teorica
MediaX.teo <- 16/3
## Resultados
list(c("Média Teórica"= MediaX.teo, " Média Simulada"=MediaX.sim))## [[1]]
## Média Teórica Média Simulada
## 5.333333 5.333594Uma vez que \(X\) é uma v.a contínua, tem-se \[ \begin{align} P(X\geq 4)&= 1 - P(X<4)\\ &= 1 - P(X\leq 4)\\ &= 1 - F_X(4)\\ &= 1 - \frac{4^2}{64}\\ &= 1 - \frac{1}{4}\\ &= 0,75. \end{align} \]
## Geracao de amostra da X
set.seed(060224)
n <- 1e6
u <- runif(n)
x <- 8*sqrt(u)
## probabilidade Simulada
prob.sim <- mean(x>=4)
## probabilidade Teorica
prob.teo <- 0.75
## Resultado
list(c("Probab. Teórica"=prob.teo, " Probab. Simulada"=prob.sim))## [[1]]
## Probab. Teórica Probab. Simulada
## 0.750000 0.750391A função densidade de probabilidade \(f_X\) é obtida ao derivar a função de distribuição acumulada \(F_X\). Logo,
\[ f_X(x)=\begin{cases} 0, &\text{se} \quad x<0,\\ \dfrac{x}{32}, & \text{se} \quad 0\leq x \leq 8,\\ 0, &\text{se} \quad x>8. \end{cases} \qquad = \quad \begin{cases} 0, &\text{se}\quad x\not\in[0,8],\\\\ \dfrac{x}{32}, & \text{se}\quad x\in [0,8]. \end{cases} \]
Note que \[x<1\implies x<5.\]
Logo, \[ P(X\leq 5 \;|\; X<1 )= P(\Omega)=1. \]