Item 55

Solução Analítica

Como \(X\), \(Y\) e \(Z\) são independentes, com \(X \sim Pois(\lambda_1=5)\), \(Y\sim Pois(\lambda_2=3)\) e \(Z \sim Pois(\lambda_3=1)\), então \[ \begin{align} P(X=1,Y=1|Z=1)&=P(X=1,Y=1)\\ &=P(X=1)P(Y=1)\\ &=e^{-5}\frac{5^{1}}{1!}\times e^{-3}\frac{3^{1}}{1!}\\ &=15\times e^{-8}. \end{align} \]

Solução Numérica

## tamanho amostral e parametros
n <- 1e6
lambda1 <- 5
lambda2 <- 3
lambda3 <- 1

## amostras da Poisson
set.seed(05022024)
X <- rpois(n,lambda1)
Y <- rpois(n,lambda2)
Z <- rpois(n,lambda3)

## matrizes de dados amostrais 
bd1 <- cbind(X,Y,Z)

bd2 <- bd1[Z==1,]

bd3 <- bd1[Z==1 & X==1 & Y==1,]

## Probabilidade Simulada
Prob.sim <- dim(bd3)[1] / dim(bd2)[1]

## Probabilidade Teórica
Prob.teo <- 15 * exp(-8) 

## Resultados
list(c("Prob. Teórica"= Prob.teo, "  Prob. Simulada"= Prob.sim))
## [[1]]
##    Prob. Teórica   Prob. Simulada 
##      0.005031939      0.005072418

Item 56

Solução Analítica

Como \(X,Y\) e \(Z\) são independentes, temos que \(T=X+Y+Z\sim Pois(\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3)\). Logo, \[ \begin{align} P(T=3)&=e^{-(\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3)}\frac{(\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3)^3}{3!}\\ &=e^{-(5+3+1)} \frac{(5+3+1)^{3}}{3!}\\ &=(243/2)\times e^{-9}. \end{align} \]

Solução Numérica

## tamanho amostral e parametros
n <- 1e6
lambda1 <- 5
lambda2 <- 3
lambda3 <- 1

## amostras da Poisson
set.seed(05022024)
X <- rpois(n,lambda1)
Y <- rpois(n,lambda2)
Z <- rpois(n,lambda3)

## matriz de dados amostrais 
bd1 <- cbind(X,Y,Z)

## Valores de T
T <- apply(bd1,1,sum)

## Probabilidade Simulada
Prob.sim <- mean(T==3)

## Probabilidade Teorica
Prob.teo <- (243/2)*exp(-9)

## Resultado
list(c("Prob. Teórica"= Prob.teo, "  Prob. Simulada"= Prob.sim))
## [[1]]
##    Prob. Teórica   Prob. Simulada 
##       0.01499429       0.01512200

Item 57

Solução Analítica

Como \(X\), \(Y\) e \(Z\) são independentes, com \(X \sim Pois(\lambda_1=5)\), \(Y\sim Pois(\lambda_2=3)\) e \(Z \sim Pois(\lambda_3=1)\), então \[ Var(T)=Var(X)+Var(Y)+Var(Z)=5+3+1=9. \]

Solução Numérica

set.seed(05022024)
n <- 1e6
Var_T <- ( (n-1)/n ) * var( rpois(n,5) + rpois(n,3) + rpois(n,1) )
Var_T
## [1] 9.033515

Item 58

Solução Analítica

Sejam \(X\), \(Y\) e \(Z\) v.a’s independentes, com \(X \sim Pois(\lambda_1=5)\), \(Y\sim Pois(\lambda_2=3)\) e \(Z \sim Pois(\lambda_3=1)\). Logo, \[ Var(T-X)=Var(T)+Var(X)-2Cov(T,X), \] em que \(E(T)=Var(T)=9\).

Temos que

\[ \begin{align} Cov(T,X)&=E[TX]-ETEX\\ &=E[(X^2+XY+XZ)]-ETEX\\ &=Var(X)+\big(EX\big)^2+EXEY+EXEZ - ETEX\\ &=5+5^2+5\times 3 + 5\times 1 - 9\times 5\\ &=50-45\\ &=5. \end{align} \]

Portanto, \[ Var(T-X)=9+5-2\times 5 = 4 \quad \implies \quad dp(T-X)=2. \]

Solução Numérica

## tamanho amostral e parametros
n <- 1e6
lambda1 <- 5
lambda2 <- 3
lambda3 <- 1

## amostras da Poisson
set.seed(05022024)
X <- rpois(n,lambda1)
Y <- rpois(n,lambda2)
Z <- rpois(n,lambda3)

## matriz de dados amostrais 
bd1 <- cbind(X,Y,Z)

## Valores de T
T <- apply(bd1,1,sum)

## desvio padrao Simulado

dp.sim <- sqrt( ((n-1)/n) * var(T-X) )

## desvio padrao Teorico

dp.teo <- 2

## Resultado
list(c("Desvio Teorico"= dp.teo, "  Desvio Simulado"= dp.sim))
## [[1]]
##    Desvio Teorico   Desvio Simulado 
##          2.000000          2.003196

Item 59

Solução Analítica

Sabemos que \(X\), \(Y\) e \(Z\) são independentes tais que \(ET=9\), \(EX=5\), \(EY=3\) e \(EZ=Var(Z)=1\). Com isso,

\[ \begin{align} Cov(T,Z)&=E[TZ] - ETEZ\\ &=E[(XZ+YZ+Z^2)]-ETEZ\\ &=EXEZ+EYEZ+Var(Z)+(EZ)^2-ETEZ\\ &=5\times 1 + 3 \times 1 + 1 + 1^2 - 9\times 1\\ &=10-9\\ &=1. \end{align} \]

Solução Numérica

## tamanho amostral e parametros
n <- 1e6
lambda1 <- 5
lambda2 <- 3
lambda3 <- 1

## amostras da Poisson
set.seed(05022024)
X <- rpois(n,lambda1)
Y <- rpois(n,lambda2)
Z <- rpois(n,lambda3)

## matriz de dados amostrais 
bd1 <- cbind(X,Y,Z)

## Valores de T
T <- apply(bd1,1,sum)

## covariancia simulada
cov.sim <- cov(T,Z)

## covariancia teorica
cov.teo <- 1

## Resultado
list(c("Covariancia Teorica"= cov.teo, "  Covariancia Simulada"= cov.sim))
## [[1]]
##    Covariancia Teorica   Covariancia Simulada 
##               1.000000               1.005129

Obs.: Questão sobre a distribuição discreta Poisson.