Introducción

• La política comparada(como disciplina) incluye
  • Estudios de N pequeña
  • Comparación entre países (cross-national)
• Los segundos se apoyan en métodos cuantitativos

Métodos cuantitaivos

• Están basados en la probabilidad
• Identifican regularidades (o ausencia) entre los casos estudiados
• Buscan identificar la magnitud del efecto causal

Métodos cuantitaivos

• Permiten hacer inferencias desde una muestra a la población
• Son métodos con alta validez externa
• Se aproximan al método experimental al controlar por variables confusoras

Parámetro y estimadores

• Los parámetros son los valores verdaderos de la población
• Los estimadores son nuestra predicción del modelo

¿Cómo saber cuántas esferas hay de cada color?

• Podemos contar todas las esferas rojas y blancas
  • Sería un proceso costoso
• Una alternativa es tomar una muestra

Muestra

• Imaginemos que repetimos el ejercicio
• ¿Obtendremos nuevamente 17 esferas rojas?

Distribución de los resultados

• Repitiendo 33 veces el ejercicio

Repitiendo el ejercicio 1000 veces

• El histograma muestra la variación muestral

Ruido y sesgo

• El ruido son errores que ocurren aleatoriamente (por ejemplo por muestreo)

• El sesgo son errores que ocurren por razones sistemáticas

Tamaño de la muestra

• Utilizamos tres tamaños 25, 50 y 100

Desviación estándar

• Conforme aumenta el tamaño de la muestra la variación es más pequeña
• Los valores se centran más cercanos a la media
• La variación puede medirse con la desviación estándar

Desviación estándar

• Desviación muestra \(n=25\)

# A tibble: 1 × 1
      sd
   <dbl>
1 0.0956

• Desviación muestra \(n=50\)

# A tibble: 1 × 1
      sd
   <dbl>
1 0.0706

• Desviación muestra \(n=100\)

# A tibble: 1 × 1
      sd
   <dbl>
1 0.0470

Distribución muestral

• La distribución que muestra los valores de repitadas estimaciones
• Muestra el efecto de la variación en el muestreo
• Con ellas podemos ver los casos que típicamente podemos esperar

Error Estándar

• Es la desviación estándar de la distribución muestral
• Cuantifica cuánto varían los estimadores

Error Estándar

Teorema de Límite Central

• Parte de una hipotética repetición infinita de muestras

• La distribución de esas medias tendrá una distribución normal

Teorema de Límite Central

Intervalos de confianza

• Es un rango de posibles valores
• En una distribución Z a 1.96 desviaciones estándar se encuentra el 95% de las observaciones
• Por tanto, a 1.96 errores estándar se encuentra el 95% de los estimadores

Prubas de hipótesis

• Contrasta el estimador obtenido contra la hipótesis nula
  • Crea una distribución muestral de estimadores en un contexto donde \(X\) no incide en \(Y\)

Ejemplo promociones

• Queremos saber si hay sesgo en la promoción de trabajadores
  • H1. Se prefieren hombres a mujeres
• Se les entregó a supervisores de banco resúmenes idénticos
  • Solo distintos en el sexo de la persona
  • 24 con nombres de hombre y 24 con nombres de mujeres

Compración entre géneros

# A tibble: 4 × 3
# Groups:   gender [2]
  gender decision     n
  <fct>  <fct>    <int>
1 male   not          3
2 male   promoted    21
3 female not         10
4 female promoted    14

Prueba de hipótesis

• En el ejercicio lo que nos interesa es la diferencia de proporciones

\[ p_{h}-p_{m}\]

Hipótesis nula

Estimador y distribución nula

• Nuestro estimador es la diferencia observada en los datos

\[ \hat{p}_{h}-\hat{p}_{m}= 0.875-0.583=0.292=29.2%\]

P-value

• Es la probabilidad de obtener un estimador dado que \(H_{0}\) es verdadera
• Si es una probabilidad es muy pequeña rechazamos la hipótesis nula

Regresión lineal

• Sirve para estimar la relación entre dos variables
  • Utilizamos los valores de \(X\) para explicar \(Y\)
• Estimamos la mejor línea de ajuste
  • La línea que con suma de residuos cuadrados más pequeña

Estimadores y residuos

• Interpretamos a \(\beta\) como la pendiente de la línea
• Un incremento de una unidad en \(X\) está asociado a un incremento \(\beta\) en \(Y\)
• Si introducimos un valor de \(X\) en el modelo obtenemos una predicción \(\hat{Y}\)
• La diferencia entre el estimador \(\hat{Y}\) y lo que observamos en los datos (\(Y\)) le llamamos residuo

Término de error

• Raramente vamos a predecir prerfectamente una observación
• Habrá una diferencia entre la línea de ajuste y las observaciones
• Podemos agregar estar diferencia a el modelo lineal

\[Y= \beta_0 + \beta_1X +\epsilon\]

Residuo y error

• La diferencia tiene dos nombres
• El residuo es la diferencia entre la predicción y los valores observados
• El error es la diferemcia entre la mejor línea de ajuste verdadera y los valores observados

Estimadores

• Los coeficientes que obtenemos de una regresión son estimadores
  • Varían de muestra a muestra
  • Existe una distribución muestral de los coeficientes
• Dicha distribución tiene la forma de una distribución normal
  • La media de la distribución es el parámetro poblacional

Pruebas de hipótesis con OLS

• Asumimos una distrubión normal centralda alrededor de un valor para \(\beta_1\)
  • \(\beta_1=0\)
• Estimamos \(\beta_1\) utilizando OLS con nuestros datos
  • Nuestra estimación es \(\hat{\beta}_1\)
• Utilizamos la distribución teórica para ver qué tan probable es obtener \(\hat{\beta}_1\) si el valor de \(\beta_1\) fuese \(0\)

• Asumimos como verdadera la hipótesis nula
• En la distribución teórica elegimos un área de rechazo \(\alpha\)
  • Por lo general el 95%

P-value

• Los valores por encima de \(\alpha\) son estadísticamente significativos
• Si el estimador \(\hat{\beta}_1\) está por encima del percentil 97.5 es significativo al 95%
• Esta probabilidad es el p-value

Tipos de errores

• Cuando \(H_0\) es verdadera y la rechazo entonces estoy cometiendo un error de Tipo I
  • Falso positivo
• Cuando no rechazo \(H_0\) y es falsa se trata de un error tipo II
  • Falso negativo

Ejemplo

\[BodyMass=\beta_0+ \beta_{FlipperLenght}+\epsilon\]

Ejemplo

Calidad del modelo

• Dos indicadores son la \(R^2\) y la \(R^2 Ajustada\)
• La \(R^2\) es una medida de la varianza que es explicada del modelo
  • Cuánto de \(Y\) está siendo explicado por el modelo
• La \(R^2 Ajustada\) es lo mismo, pero ajusta por el número de variables en el modelo

Controlando por el sexo

Interpretación

• La interpretación de los coeficientes se dan controlando por otras variables
• Decimos que \(\beta\) indica en cuanto cambia \(Y\) por el aumento de una unidad en \(X\) manteniendo los demás valores constantes

Constante

• La constante es nuestra predicción para \(Y\) cuando todos los predictores son iguales a cero

Variables dummy

• Por ejemplo variables que son binarias verdaderas o falsas
  • Un individuo recibió el tratamiento o no
  • Hombre o mujer
  • Casado o soltero
• ¿Cómo interpretar los coeficientes de estas variables?

Variables discretas

• \(\beta\) nos da el diferencia en la variable dependiente entre los verdaderos y falsos
• Si corremos el modelo \[ Salario= \beta_0+\beta_1Hombre+ \epsilon\]
• \(\beta_1\) indica cuánto más gana en promedio un hombre en comparación con una mujer

Interpretación