Estadística Inferencial

Distribución de la varianza de una muestra
Distribución Chi-cuadrado - \(\chi^2\)

Msc. Roberto Trespalacios

Universidad Tecnológica de Bolivar

2024-01-29

Tabla de contenido

  • Distribución de la varianza de una muestra (Chi-cuadrado)
  • Gráfico de la distribución Chi-cuadrado
  • Propiedades de la distribución Chi-cuadrado
  • Cálculo de Probabilidad Chi-cuadrado
  • Ejemplos de la distribución Chi-cuadrado

Distribución de la varianza de una muestra

La distribución \(\chi^2\) (chi-cuadrada) es een esencia, la distribución muestral de la varianza \(s^2\); es decir, si se extraen todas las muestras posibles de una población normal y a cada muestra se le calcula su varianza, se obtendrá la distribución muestral de varianzas.

  • Para estimar la varianza poblacional o la desviación estándar, se necesita conocer el estadístico \(\chi^2\).

  • Si se elige una muestra de tamaño \(n\) de una población normal con varianza \(\sigma^2\), el estadístico:

\[ \frac{(n-1)s^2}{\sigma^2} \]

tiene una distribución muestral que es una distribución \(\chi^2\) con \(gl=n-1\) grados de libertad.

Gráfico de la distribución \(\chi^2\)

Distribución \(\chi^2\)

El estadístico Chi-cuadrada esta dado por:

\[ \chi^2 = \frac{(n-1)s^2}{\sigma^2} \]

donde \(n\) es el tamaño de la muestra, \(s^2\) la varianza muestral y \(\sigma^2\) la varianza de la población de donde se extrajo la muestra.

Propiedades de la distribución \(\chi^2\)

  • Los valores de \(\chi^2\) son mayores o iguales que 0.
  • La forma de una distribución \(\chi^2\) depende del \(gl=n-1\). En consecuencia, hay un número infinito de distribuciones \(\chi^2\).
  • El área bajo una curva \(\chi^2\) es 1.
  • La distribución \(\chi^2\) no es simétrica. Está sesgada a la derecha.

Distribución \(\chi^2\) y la moda

La siguiente figura ilustra tres distribuciones \(\chi^2\). Note que el valor modal aparece en el valor \((n-3) = (gl-2)\).

Nota: gl = grados de libertad

Cálculo de Probabilidad: Distribución \(\chi^2\)

El cálculo de probabilidad en una distribución muestral de varianzas nos sirve para saber como se va a comportar la varianza o desviación estándar en una muestra que proviene de una distribución normal.

Ejemplo 1

Calculemos algunas probabilidades de variables con distribución Chi cuadrado (\(\chi^2\)).

Ejercicio:

Haciendo uso de la tabla que proporciona áreas de la distribución Chi cuadrado, entre un valor \(X^2\) y \(+ \infty\), calcular las probabilidades (áreas) siguientes:

  • \(P(X^2 > 32)\), con gl=16
  • \(P(X^2 \geqslant 42.9)\), con gl=24
  • \(P(29.5 < X^2 \leqslant 37.3)\) con gl=24

Solución en R

# P(X^2 > 13.6), con gl=15
pchisq(32, df = 16, lower.tail = FALSE)

# P(X^2 <= 42.9), con gl=24
pchisq(42.9, df = 24)

# P(29.5 < X^2 <= 37.3) con gl=24
pchisq(37.3, df = 24) - pchisq(29.5, df = 24)

Ejemplo 2

Encuentre la probabilidad de que una muestra aleatoria de 25 observaciones, de una población normal con varianza \(\sigma^2=6\) que tiene una varianza muestral:

  1. Mayor que 9.1
  2. Entre 3.46 y 10.74

Ejemplo 3

Suponga que los tiempos requeridos por un cierto autobús para alcanzar un de sus destinos en una ciudad grande forman una distribución normal con una desviación estándar \(\sigma=1\) minuto. Si se elige al azar una muestra de 17 tiempos, encuentre la probabilidad de que la varianza muestral sea mayor que 2.

Solución

Primero se encuentra el valor de chi-cuadrada correspondiente a \(s^2=2\) como sigue: \[ X^2 =\frac{(n-1)s^2}{\sigma^2}= \frac{(17-1)2}{1^2}= 32 \]

A cotinuación, buscamos en la tabla con \(gl=16\) y vemos que corresponde un área a la derecha de 0.01. En consecuencia, el valor de la probabilidad es

Por lo tanto, la probabilidad buscada es:

\[P(s^2 > 2)=P\left(\frac{(n-1)s^2}{\sigma^2} > \frac{(17-1)2}{1^2}\right)= P(X^2 > 32)=0.01\]