Estadística Inferencial

La distribución Normal

Msc. Roberto Trespalacios

Universidad Tecnológica de Bolivar

2024-01-29

Tabla de contenido

  • Distribución normal
  • Propiedades de la distribución normal
  • Probabilidad debajo de la curva normal
  • Ejemplos de la distribución normal

Distribución Normal

Se dice que una v.a \(X\) tiene una distribución normal de parámetros \(\mu\) y \(\sigma^2\). Esto se escribe así:

\[X \rightsquigarrow N(\mu, \sigma^2)\]

La forma de la gráfica de la función de densidad es la llamada campana de Gauss.

La mayoría de las variables aleatorias continuas que surgen de problemas de la naturaleza, tienen esta distribución.

Observación: los parámetros \(\mu\) y \(\sigma^2\), son:

\[\begin{align*} E(X) &=\mu, \text{ la media (esperanza)}\\ Var(X)& =\sigma^2, \text{ la varianza} \end{align*}\]

respectivamente, de la distribución.

Propiedades de la distribución Normal

La función de densidad de una v.a de distribución normal tiene las siguientes propiedades:

  • El parámetro \(\mu\) indica el centro
  • \(\sigma\) la dispersión o varianza
  • Tiene forma de campana.
  • Es simétrica.
  • Alcanza su máximo en \(\mu\) (la media).
  • La media es también la moda y la mediana.
  • Es asintótica al eje de las abscisas y, como no lo toca nunca, cualquier valor de \(X\) entre \(-\infty\) y \(+\infty\) es teóricamente posible.

Además, la probabilidad debajo de la curva se distribuye como se muestra en la gráfica:

Probabilidad debajo de la curva normal

La probabilidad debajo de la curva se distribuye como se muestra en la gráfica:

Recordemos que el parámetro \(\mu\) indica el centro y \(\sigma\) la dispersión.

Variable normal estandar o tipificada

Se conoce por tipificación o estandarización, al proceso de restar la media \(\mu\) y dividir por su desviación estandar \(\sigma\) a una variable aleatoria \(X\). De este modo se obtiene una nueva variable.

\[Z=\frac{X-\mu}{\sigma}\]

De esta forma,

  • La media de \(Z\), es \(\mu_Z=0\)
  • La desviación estandar de \(Z\), es \(\sigma_Z=1\)

A la variable \(Z\), se le llama variable Normal estandar o típificada.

¿Para qué sirve la estandarización de una variable?

Nos permite así comparar entre dos valores de dos distribuciones normales diferentes, para saber cuál de los dos es más extremo.

Ejemplo 1: estandarización de una variable aleatoria Normal

Un profesor ha observado que las notas obtenidas por sus estudiantes en uno de los exámenes de estadíıstica siguen una distribución normal con media 80 y desviación típica 25.

  • ¿Diga cuál esla variable aleatoria en este problema?.
  • Estandarice la variable encontrada.

Ejemplo 2: Uso de la tabla normal estandar

Haciendo uso de la tabla que proporciona áreas entre cada valor \(Z\) y la media \(\mu_Z=0\) de la distribución normal tipificada, calcular las probabilidades (áreas) siguientes:

  • \(P(Z < 0.15)\)
  • \(P(Z < -2)\)
  • \(P(Z \geqslant 2.1)\)
  • \(P(Z > -0.1)\)
  • \(P(0.31 \leqslant Z \leqslant 2.08)\)

Solución en R

# P(Z < 0.15)
pnorm(3, mean = 0, sd = 1)

# P(Z < -2)  
pnorm(-2, mean = 0, sd = 1)

# P(Z \geqslant 2.1)
pnorm(2.1, mean = 0, sd = 1, lower.tail=FALSE)

# P(Z > -0.1) 
pnorm(-0.1, mean = 0, sd = 1, lower.tail=FALSE)

# P(0.31 \leqslant Z \leqslant 2.08) 
pnorm(2.08, mean = 0, sd = 1) - pnorm(0.31, mean = 0, sd = 1)

Ejemplo 3: Problema de aplicación de la distribución normal

Analizadas 240 determinaciones de colesterol en sangre, se observó que se distribuian normalmente con media 100 y desviación típica 20.

  1. Calcule la probabilidad de que una determinación sea inferior a 94.
  2. ¿Qué proporción de determinaciones tienen valores comprendidos entre 105 y 130?
  3. ¿Cuántas determinaciones fueron superiores a 138?

Ejercicios

  1. Si \(X\) es una variable normal con media \(\mu=50\) y varianza \(\sigma^2=100\), calcule las siguientes probabilidades utilizando la distribución normal estándar.
    1. La probabilidad de que X sea menor o igual que 40.
    2. La probabilidad de que X se encuentre entre -60 y 60 (ambos inclusive).
  2. Los 460 alumnos de un centro tienen 156 cm. de estatura media con una varianza de 81 cm.
    1. Determine el porcentaje de alumnos que miden más de 160 cm.
    2. ¿Cuántos alumnos miden entre 140 y 150 cm?