Assimetria da distribuição da variância amostral \(S^2\)

A assimetria será encontrada via Função Geradora de Momentos.

Usaremos o seguinte fato:

Se \(X\sim \chi_{(r)}^{2}\), então \(M_X(t)=E\big[e^{tX}\big]=\frac{1}{(1-2t)^{r/2}}, \forall t\in R, \; t\neq 1/2.\)

Vimos que \(4S^2 \sim \chi^2_{(16)}\) (Veja a resolução da Márcia).

Agora, defina-se \(Y:=4S^2\). Assim, \(Y\sim \chi^2_{(16)}\) e \(S^2=\frac{1}{4}Y\), de modo que

\[ M_{S^2}(t) = M_{\frac{1}{4}Y}(t)=E\big[e^{t\times\frac{1}{4}Y}\big]= E\big[e^{\frac{t}{4}Y}\big]=\frac{1}{\big(1-\frac{t}{2}\big)^8},\;\; \forall t\in R,\;\; t\neq 2. \]

Tomando o logaritmo de \(M_{S^2}(t)\), tem-se \[ \log \bigg(M_{S^2}(t)\bigg)=-8\log\bigg(1-\frac{t}{2}\bigg), \quad \forall t<2. \]

Derivando a função \(\log \big(\;M_{S^2}(\cdot)\;\big)\) em relação a \(t\), obtemos \[ \begin{align} \frac{d}{dt}\log \bigg(M_{S^2}(t)\bigg)&=\frac{-8}{\big(1-\frac{t}{2}\big)}\times \frac{-1}{2}=\frac{4}{\big(1-\frac{t}{2}\big)},\\\\ \frac{d^2}{dt^2}\log \bigg(M_{S^2}(t)\bigg)&=\frac{2}{\big(1-\frac{t}{2}\big)^2},\\\\ \text{e}\qquad\frac{d^3}{dt^3}\log \bigg(M_{S^2}(t)\bigg)&=\frac{2}{\big(1-\frac{t}{2}\big)^3}, \quad\forall t<2. \end{align} \] Logo, \[ \begin{align} E(S^2)&=\frac{d}{dt}\log \bigg(M_{S^2}(t)\bigg)\bigg|_{t=0}=4, \\\\ Var(S^2)&=\frac{d^2}{dt^2}\log \bigg(M_{S^2}(t)\bigg)\bigg|_{t=0}=2, \quad \quad \bigg( \implies \quad dp(S^2)=\sqrt{2}\bigg),\\\\ \text{e} \qquad E\big[\;\big(\;S^2-E(S^2)\;\big)^3\;\big] &=\frac{d^3}{dt^3}\log \bigg(M_{S^2}(t)\bigg)\bigg|_{t=0}=2. \end{align} \]

Portanto, \[ \begin{align} Ass &=\frac{E\big[\;\big(\;S^2-E(S^2)\;\big)^3\;\big]}{[\;dp(S^2)\;]^3}\\ &=\frac{2}{[\;\sqrt{2}\;]^3}\\ &=\frac{1}{\sqrt{2}}. \end{align} \]

Reelembrando, se \(Ass<0\), a distribuição é assimétrica à esquerda, se \(Ass>0\), é assimétrica à direita e se \(Ass=0\), a distribuição é simétrica.

Portanto, como \(Ass=1/\sqrt{2}>0\), então a distribuição de \(S^2\) é assimétrica à direita.

Implementação Computacional

set.seed(050224)
#============================================
n <- 1e7           # tamanho amostral
df <- 16           # graus de liberdade
Y <- rchisq(n,df)  # amostra da qui-quadrado
#============================================

## desvio padrao e media de S2
S2 <- (1/4) * Y

sigma_S2 <- sqrt(var(S2))

mu <- mean(S2)

## assimetria simulada
Ass.sim <- mean( (S2 - mu)^3 ) / (sigma_S2)^3

## assimetria teorica (calculada)
Ass.teo <- 1/sqrt(2)

## Resultado
list(c("Ass. Teorica"= Ass.teo, "   Ass. Simulada"= Ass.sim))
## [[1]]
##     Ass. Teorica    Ass. Simulada 
##        0.7071068        0.7068220

Obs.: \(Ass\) denota-se a assimetria da distribuição da variância amostral \(S^2\).