Pesquisa Operacional - PEOP

AULA 8: PERT/CPM

Profa. Luciane Alcoforado / Profa. Renata

Academia da Força Aérea

Objetivos

Verifique ao final desta aula se você é capaz de:

1- reduzir a duração do projeto ao menor acréscimo de custo possível (Ap);

Roteiro da Aula

  • Gabarito dos exercícios
  • Otimização Tempo/Custo de um projeto
  • Discussões
  • Exercícios Propostos

Gabarito para conferência

Exercício 1 e 2

Continuação da rede obtida para o projeto considerando o prazo de 10 dias.

flowchart LR
1 -->|"C ,2"| 4(("4
    "))
     4 -->|"H,3"| 5(("5
    "))
     1(("1
    (0,0)")) -->|A,3| 2(("2
    (3,3)"))
    linkStyle 2 stroke:red
    2 -->|"D ,4"| 3(("3
    (7,7)"))
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    2 -->|"E ,2"| 4(("4
    (5,7)"))
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    (11,11)")) 
    linkStyle 5 stroke:red
    1 -->|"B ,6"| 3(("3
    (7,7)"))
    3 -->|"G,3"| 5(("5
    (10,10)"))
    linkStyle 7 stroke:red

Identificando as atividades críticas A,D,F,G, observe que há dois caminhos críticos.

Passo 1: identificando a atividade crítica com o menor custo marginal

Atividade tn tn_atual ta CM Tipo
1 A 3 3 2 150 Critica
4 D 4 4 3 100 Critica
6 F 7 7 4 50 Critica
7 G 4 3 2 35 Critica

Passo 2: Acelerar a atividade

Atividade tn tn_atual ta CM
A 3 3 2 150
B 6 6 3 20
C 2 2 1 300
D 4 4 3 100
E 2 2 1 750
F 7 7 4 50
G 4 2 2 35
H 3 3 2 10

Acelerar a atividade G em 1 unidade de tempo reduzindo sua duração original que era de 4 semanas, depois foi reduzida para 3 semanas e agora para 2 semanas, atingindo seu tempo tecnológico, com custo adicional de R$35,00 por semana.

Assim, o custo atual dessa configuração é o custo original de R$ 1380,00 + R$70,00 (devido a acelerar a atividade G em 2 semanas) totalizando assim R$ 1450,00

Passo 3: Recalcular o tempo do projeto

flowchart LR
1 -->|"C ,2"| 4(("4
    "))
     4 -->|"H,3"| 5(("5
    "))
     1(("1
    (0,0)")) -->|A,3| 2(("2
    (3,3)"))
    linkStyle 2 stroke:red
    2 -->|"D ,4"| 3(("3
    (7,8)"))
    
    2 -->|"E ,2"| 4(("4
    (5,7)"))
    2 -->|"F ,7"| 5(("5
    (11,11)")) 
    linkStyle 5 stroke:red
    1 -->|"B ,6"| 3(("3
    (7,8)"))
    3 -->|"G,2"| 5(("5
    (10,10)"))

Não houve redução do tempo do projeto, permanecendo em 10 dias com aumento no custo do projeto de R$35,00. Isso ocorreu pois tínhamos dois caminhos críticos.

Para reduzir o tempo para 9 dias, devemos continuar para o passo 1.

Passo 1: identificando a atividade crítica com o menor custo marginal

Identificando as atividades críticas A,F.

Atividade tn tn_atual ta CM Tipo
1 A 3 3 2 150 Critica
6 F 7 7 4 50 Critica 
flowchart LR
1 -->|"C ,2"| 4(("4
    "))
     4 -->|"H,3"| 5(("5
    "))
     1(("1
    (0,0)")) -->|A,3| 2(("2
    (3,3)"))
    linkStyle 2 stroke:red
    2 -->|"D ,4"| 3(("3
    (7,8)"))
    
    2 -->|"E ,2"| 4(("4
    (5,7)"))
    2 -->|"F ,7"| 5(("5
    (11,11)")) 
    linkStyle 5 stroke:red
    1 -->|"B ,6"| 3(("3
    (7,8)"))
    3 -->|"G,2"| 5(("5
    (10,10)"))

Passo 2: Acelerar a atividade

Atividade tn tn_atual ta CM
A 3 3 2 150
B 6 6 3 20
C 2 2 1 300
D 4 4 3 100
E 2 2 1 750
F 7 6 4 50
G 4 2 2 35
H 3 3 2 10

Acelerar a atividade F em 1 unidade de tempo reduzindo sua duração original que era de 7 semanas para 6 semanas, com custo adicional de R$50,00 por semana.

Assim, o custo atual dessa configuração é o custo original de R$ 1380,00 + R$70,00 (devido a acelerar a atividade G em 2 semanas) + R$50,00 (devido a acelerar a atividade F em 1 semanas) totalizando assim R$ 1500,00.

Passo 3: Recalcular o tempo do projeto

flowchart LR
1 -->|"C ,2"| 4(("4
    "))
     4 -->|"H,3"| 5(("5
    "))
     1(("1
    (0,0)")) -->|A,3| 2(("2
    (3,3)"))
    linkStyle 2 stroke:red
    2 -->|"D ,4"| 3(("3
    (7,8)"))
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    (5,6)"))
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    (9,9)")) 
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    (7,7)"))
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    (9,9)"))
    linkStyle 7 stroke:red

Houve redução do tempo do projeto, para 9 semanas com aumento no custo do projeto de R$50,00. Assim, para executar o projeto em 9 semanas seu custo passa a ser R$ 1500,00, resultado de acelerar a atividade G em 2 semanas e a F em 1 semana.

Observe que não é possível “desacelerar” nenhuma das atividades F ou G pois elas são críticas para atingir o tempo de 9 semanas.

Em resumo, para executá-lo em 10 semanas seu custo passa a ser R$ 1415,00, resultado de acelerar a atividade G em 1 semana e em 11 semanas utilizamos o tempo normal das atividades com custo de R$ 1380,00.

Ex2

Qual o menor prazo que o projeto pode ser realizado, qual o custo mínimo associado ao menor prazo?

Até o momento apuramos:

Prazo Custo At_Aceleradas
9 1500 G(2), F(1)
10 1415 G(1)
11 1380 -

Passo 1: identificando a atividade crítica com o menor custo marginal

Identificando as atividades críticas A,D,F,G. Observe que há dois caminhos críticos e G já atingiu seu tempo tecnológico.

Atividade tn tn_atual ta CM Tipo
1 A 3 3 2 150 Critica
4 D 4 4 3 100 Critica
6 F 7 6 4 50 Critica
7 G 4 2 2 35 Critica Indisponível 
flowchart LR
1 -->|"C ,2"| 4(("4
    "))
     4 -->|"H,3"| 5(("5
    "))
     1(("1
    (0,0)")) -->|A,3| 2(("2
    (3,3)"))
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    2 -->|"D ,4"| 3(("3
    (7,8)"))
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    (5,6)"))
    2 -->|"F ,6"| 5(("5
    (9,9)")) 
    linkStyle 5 stroke:red
    1 -->|"B ,6"| 3(("3
    (7,7)"))
    3 -->|"G,2"| 5(("5
    (9,9)"))
    linkStyle 7 stroke:red

Passo 2: Acelerar a atividade

Atividade tn tn_atual ta CM
A 3 3 2 150
B 6 6 3 20
C 2 2 1 300
D 4 4 3 100
E 2 2 1 750
F 7 5 4 50
G 4 2 2 35
H 3 3 2 10

Acelerar a atividade F em 1 unidade de tempo reduzindo sua duração atual que é de 6 semanas para 5 semanas, com custo adicional de R$50,00 por semana.

Assim, o custo atual dessa configuração é o custo original de R$ 1380,00 + R$70,00 (devido a acelerar a atividade G em 2 semanas) + R$100,00 (devido a acelerar a atividade F em 2 semanas) totalizando assim R$ 1550,00.

Passo 3: Recalcular o tempo do projeto

flowchart LR
1 -->|"C ,2"| 4(("4
    "))
     4 -->|"H,3"| 5(("5
    "))
     1(("1
    (0,0)")) -->|A,3| 2(("2
    (3,3)"))
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    2 -->|"D ,4"| 3(("3
    (7,8)"))
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    2 -->|"E ,2"| 4(("4
    (5,6)"))
    2 -->|"F ,5"| 5(("5
    (9,9)")) 
    
    1 -->|"B ,6"| 3(("3
    (7,7)"))
    3 -->|"G,2"| 5(("5
    (9,9)"))
    linkStyle 7 stroke:red

Não houve redução do tempo do projeto, permanecendo em 9 semanas com aumento no custo do projeto de R$50,00. Continua para o Passo 1.

Passo 1: identificando a atividade crítica com o menor custo marginal

Identificando as atividades críticas A,D,G.

Atividade tn tn_atual ta CM Tipo
1 A 3 3 2 150 Critica
4 D 4 4 3 100 Critica
7 G 4 2 2 35 Critica Indisponível 
flowchart LR
1 -->|"C ,2"| 4(("4
    "))
     4 -->|"H,3"| 5(("5
    "))
     1(("1
    (0,0)")) -->|A,3| 2(("2
    (3,3)"))
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    2 -->|"D ,4"| 3(("3
    (7,8)"))
    linkStyle 3 stroke:red
    2 -->|"E ,2"| 4(("4
    (5,6)"))
    2 -->|"F ,5"| 5(("5
    (9,9)")) 
    
    1 -->|"B ,6"| 3(("3
    (7,7)"))
    3 -->|"G,2"| 5(("5
    (9,9)"))
    linkStyle 7 stroke:red

Passo 2: Acelerar a atividade

Atividade tn tn_atual ta CM
A 3 3 2 150
B 6 6 3 20
C 2 2 1 300
D 4 3 3 100
E 2 2 1 750
F 7 5 4 50
G 4 2 2 35
H 3 3 2 10

Acelerar a atividade D em 1 unidade de tempo reduzindo sua duração atual que é de semanas para 4 semanas para 3 semanas, com custo adicional de R$100,00 por semana.

Assim, o custo atual dessa configuração é o custo original de R$ 1380,00 + R$70,00 (devido a acelerar a atividade G em 2 semanas) + R$100,00 (devido a acelerar a atividade F em 2 semanas)+ R$100,00 (devido a acelerar a atividade D em 1 semana) totalizando assim R$ 1650,00.

Passo 3: Recalcular o tempo do projeto

flowchart LR
1 -->|"C ,2"| 4(("4
    "))
     4 -->|"H,3"| 5(("5
    "))
    linkStyle 1 stroke:red
     1(("1
    (0,0)")) -->|A,3| 2(("2
    (3,3)"))
    linkStyle 2 stroke:red
    2 -->|"D ,3"| 3(("3
    (7,8)"))
    linkStyle 3 stroke:red
    2 -->|"E ,2"| 4(("4
    (5,5)"))
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    (9,9)")) 
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    1 -->|"B ,6"| 3(("3
    (6,6)"))
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    3 -->|"G,2"| 5(("5
    (8,8)"))
    linkStyle 7 stroke:red

Houve redução do tempo do projeto para 8 semanas com aumento no custo do projeto de R$100,00.

Observe que não é possível “desacelerar” nenhuma das atividades D, F ou G pois elas são críticas para atingir o tempo de 8 semanas.

Assim, para executar o projeto em 8 semanas seu custo passa a ser R$ 1650,00, resultado de acelerar a atividade G em 2 semanas, acelerar a F em 2 semanas e acelerar a D em 1 semana.

Continua para o Passo 1 procurando reduzir para 7 semanas.

Passo 1: identificando a atividade crítica com o menor custo marginal

Identificando as atividades críticas A,B,D,E,F,G,H.

Atividade tn tn_atual ta CM Tipo
1 A 3 3 2 150 Critica
2 B 6 6 3 20 Critica
4 D 4 3 3 100 Critica Indisponível
5 E 2 2 1 750 Critica
6 F 7 5 4 50 Critica
7 G 4 2 2 35 Critica Indisponível
8 H 3 3 2 10 Critica 
flowchart LR
1 -->|"C ,2"| 4(("4
    "))
     4 -->|"H,3"| 5(("5
    "))
    linkStyle 1 stroke:red
     1(("1
    (0,0)")) -->|A,3| 2(("2
    (3,3)"))
    linkStyle 2 stroke:red
    2 -->|"D ,3"| 3(("3
    (7,8)"))
    linkStyle 3 stroke:red
    2 -->|"E ,2"| 4(("4
    (5,5)"))
    linkStyle 4 stroke:red
    2 -->|"F ,5"| 5(("5
    (9,9)")) 
    linkStyle 5 stroke:red
    1 -->|"B ,6"| 3(("3
    (6,6)"))
    linkStyle 6 stroke:red
    3 -->|"G,2"| 5(("5
    (8,8)"))
    linkStyle 7 stroke:red

Passo 2: Acelerar a atividade

Atividade tn tn_atual ta CM
A 3 3 2 150
B 6 6 3 20
C 2 2 1 300
D 4 3 3 100
E 2 2 1 750
F 7 5 4 50
G 4 2 2 35
H 3 2 2 10

Acelerar a atividade H em 1 unidade de tempo reduzindo sua duração atual que é de 3 semanas para 2 semanas, com custo adicional de R$10,00 por semana.

Assim, o custo atual dessa configuração é o custo original de R$ 1380,00 + R$70,00 (devido a acelerar a atividade G em 2 semanas) + R$100,00 (devido a acelerar a atividade F em 2 semanas)+ R$100,00 (devido a acelerar a atividade D em 1 semana)+ R$10,00 (devido a acelerar a atividade H em 1 semana) totalizando assim R$ 1660,00.

Passo 3: Recalcular o tempo do projeto

flowchart LR
1 -->|"C ,2"| 4(("4
    "))
     4 -->|"H,2"| 5(("5
    "))
    
     1(("1
    (0,0)")) -->|A,3| 2(("2
    (3,3)"))
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    2 -->|"D ,3"| 3(("3
    (7,8)"))
    linkStyle 3 stroke:red
    2 -->|"E ,2"| 4(("4
    (5,6)"))
    
    2 -->|"F ,5"| 5(("5
    (9,9)")) 
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    1 -->|"B ,6"| 3(("3
    (6,6)"))
    linkStyle 6 stroke:red
    3 -->|"G,2"| 5(("5
    (8,8)"))
    linkStyle 7 stroke:red

Não houve redução do tempo do projeto, permanecendo em 8 semanas com aumento no custo do projeto de R$10,00. Continua para o Passo 1.

Passo 1: identificando a atividade crítica com o menor custo marginal

Identificando as atividades críticas A,B,D,F,G.

Atividade tn tn_atual ta CM Tipo
1 A 3 3 2 150 Critica
2 B 6 6 3 20 Critica
4 D 4 3 3 100 Critica Indisponível
6 F 7 5 4 50 Critica
7 G 4 2 2 35 Critica Indisponível 
flowchart LR
1 -->|"C ,2"| 4(("4
    "))
     4 -->|"H,2"| 5(("5
    "))
    
     1(("1
    (0,0)")) -->|A,3| 2(("2
    (3,3)"))
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    2 -->|"D ,3"| 3(("3
    (7,8)"))
    linkStyle 3 stroke:red
    2 -->|"E ,2"| 4(("4
    (5,6)"))
    
    2 -->|"F ,5"| 5(("5
    (9,9)")) 
    linkStyle 5 stroke:red
    1 -->|"B ,6"| 3(("3
    (6,6)"))
    linkStyle 6 stroke:red
    3 -->|"G,2"| 5(("5
    (8,8)"))
    linkStyle 7 stroke:red

Passo 2: Acelerar a atividade

Atividade tn tn_atual ta CM
A 3 3 2 150
B 6 5 3 20
C 2 2 1 300
D 4 3 3 100
E 2 2 1 750
F 7 5 4 50
G 4 2 2 35
H 3 2 2 10

Acelerar a atividade B em 1 unidade de tempo reduzindo sua duração atual que é de 6 semanas para 5 semanas, com custo adicional de R$20,00 por semana.

Assim, o custo atual dessa configuração é o custo original de R$ 1380,00 + R$70,00 (devido a acelerar a atividade G em 2 semanas) + R$100,00 (devido a acelerar a atividade F em 2 semanas)+ R$100,00 (devido a acelerar a atividade D em 1 semana)+ R$10,00 (devido a acelerar a atividade H em 1 semana)+ R$20,00 (devido a acelerar a atividade B em 1 semana) totalizando assim R$ 1680,00.

Passo 3: Recalcular o tempo do projeto

flowchart LR
1 -->|"C ,2"| 4(("4
    "))
     4 -->|"H,2"| 5(("5
    "))
    
     1(("1
    (0,0)")) -->|A,3| 2(("2
    (3,3)"))
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    2 -->|"D ,3"| 3(("3
    (7,8)"))
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    2 -->|"E ,2"| 4(("4
    (5,6)"))
    
    2 -->|"F ,5"| 5(("5
    (9,9)")) 
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    1 -->|"B ,5"| 3(("3
    (6,6)"))
    
    3 -->|"G,2"| 5(("5
    (8,8)"))
    linkStyle 7 stroke:red

Não houve redução do tempo do projeto, permanecendo em 8 semanas com aumento no custo do projeto de R$20,00. Continua para o Passo 1.

Passo 1: identificando a atividade crítica com o menor custo marginal

Identificando as atividades críticas A,D,F,G.

Atividade tn tn_atual ta CM Tipo
1 A 3 3 2 150 Critica
4 D 4 3 3 100 Critica Indisponível
6 F 7 5 4 50 Critica
7 G 4 2 2 35 Critica Indisponível 
flowchart LR
1 -->|"C ,2"| 4(("4
    "))
     4 -->|"H,2"| 5(("5
    "))
    
     1(("1
    (0,0)")) -->|A,3| 2(("2
    (3,3)"))
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    2 -->|"D ,3"| 3(("3
    (7,8)"))
    linkStyle 3 stroke:red
    2 -->|"E ,2"| 4(("4
    (5,6)"))
    
    2 -->|"F ,5"| 5(("5
    (9,9)")) 
    linkStyle 5 stroke:red
    1 -->|"B ,5"| 3(("3
    (6,6)"))
    
    3 -->|"G,2"| 5(("5
    (8,8)"))
    linkStyle 7 stroke:red

Passo 2: Acelerar a atividade

Atividade tn tn_atual ta CM
A 3 3 2 150
B 6 5 3 20
C 2 2 1 300
D 4 3 3 100
E 2 2 1 750
F 7 4 4 50
G 4 2 2 35
H 3 2 2 10

Acelerar a atividade F em 1 unidade de tempo reduzindo sua duração atual que é de 5 semanas para 4 semanas (atingindo seu tempo tecnológico), com custo adicional de R$50,00 por semana.

Assim, o custo atual dessa configuração é o custo original de R$ 1380,00 + R$70,00 (devido a acelerar a atividade G em 2 semanas) + R$150,00 (devido a acelerar a atividade F em 3 semanas)+ R$100,00 (devido a acelerar a atividade D em 1 semana)+ R$10,00 (devido a acelerar a atividade H em 1 semana)+ R$20,00 (devido a acelerar a atividade B em 1 semana) totalizando assim R$ 1730,00.

Passo 3: Recalcular o tempo do projeto

flowchart LR
1 -->|"C ,2"| 4(("4
    "))
     4 -->|"H,2"| 5(("5
    "))
    
     1(("1
    (0,0)")) -->|A,3| 2(("2
    (3,3)"))
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    2 -->|"D ,3"| 3(("3
    (7,8)"))
    linkStyle 3 stroke:red
    2 -->|"E ,2"| 4(("4
    (5,6)"))
    
    2 -->|"F ,4"| 5(("5
    (9,9)")) 
    
    1 -->|"B ,5"| 3(("3
    (6,6)"))
    
    3 -->|"G,2"| 5(("5
    (8,8)"))
    linkStyle 7 stroke:red

Não houve redução do tempo do projeto, permanecendo em 8 semanas com aumento no custo do projeto de R$50,00. Continua para o Passo 1.

Passo 1: identificando a atividade crítica com o menor custo marginal

Identificando as atividades críticas A,D,G.

Atividade tn tn_atual ta CM Tipo
1 A 3 3 2 150 Critica
4 D 4 3 3 100 Critica Indisponível
7 G 4 2 2 35 Critica Indisponível 
flowchart LR
1 -->|"C ,2"| 4(("4
    "))
     4 -->|"H,2"| 5(("5
    "))
    
     1(("1
    (0,0)")) -->|A,3| 2(("2
    (3,3)"))
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    2 -->|"D ,3"| 3(("3
    (7,8)"))
    linkStyle 3 stroke:red
    2 -->|"E ,2"| 4(("4
    (5,6)"))
    
    2 -->|"F ,4"| 5(("5
    (9,9)")) 
    
    1 -->|"B ,5"| 3(("3
    (6,6)"))
    
    3 -->|"G,2"| 5(("5
    (8,8)"))
    linkStyle 7 stroke:red

Passo 2: Acelerar a atividade

Atividade tn tn_atual ta CM
A 3 2 2 150
B 6 5 3 20
C 2 2 1 300
D 4 3 3 100
E 2 2 1 750
F 7 4 4 50
G 4 2 2 35
H 3 2 2 10

Acelerar a atividade A em 1 unidade de tempo reduzindo sua duração atual que é de 3 semanas para 2 semanas (atingindo seu tempo tecnológico), com custo adicional de R$150,00 por semana.

Assim, o custo atual dessa configuração é o custo original de R$ 1380,00 + R$70,00 (devido a acelerar a atividade G em 2 semanas) + R$150,00 (devido a acelerar a atividade F em 3 semanas)+ R$100,00 (devido a acelerar a atividade D em 1 semana)+ R$10,00 (devido a acelerar a atividade H em 1 semana)+ R$20,00 (devido a acelerar a atividade B em 1 semana)+ R$150,00 (devido a acelerar a atividade A em 1 semana) totalizando assim R$ 1880,00.

Passo 3: Recalcular o tempo do projeto

flowchart LR
1 -->|"C ,2"| 4(("4
    "))
     4 -->|"H,2"| 5(("5
    "))
    
     1(("1
    (0,0)")) -->|A,2| 2(("2
    (2,2)"))
    linkStyle 2 stroke:red
    2 -->|"D ,3"| 3(("3
    (5,)"))
    linkStyle 3 stroke:red
    2 -->|"E ,2"| 4(("4
    (4,5)"))
    
    2 -->|"F ,4"| 5(("5
    (9,9)")) 
    
    1 -->|"B ,5"| 3(("3
    (5,5)"))
    linkStyle 6 stroke:red
    3 -->|"G,2"| 5(("5
    (7,7)"))
    linkStyle 7 stroke:red

Houve redução do tempo do projeto para 7 semanas com aumento no custo do projeto de R$150,00.

Observe que é possível “desacelerar” algumas das atividades que foram aceleradas e que agora apresentam folgas como é o caso de F e H pois elas não são críticas para atingir o tempo de 7 semanas. Desse modo desaceleramos a F e H em 1 semana, mantendo o prazo de 7 semanas e reduzindo o custo previamente computado no passo 2.

Passo 3 após a desaceleração e atualização do custo.

flowchart LR
1 -->|"C ,2"| 4(("4
    "))
     4 -->|"H,3"| 5(("5
    "))
    linkStyle 1 stroke:red
     1(("1
    (0,0)")) -->|A,2| 2(("2
    (2,2)"))
    linkStyle 2 stroke:red
    2 -->|"D ,3"| 3(("3
    (5,)"))
    linkStyle 3 stroke:red
    2 -->|"E ,2"| 4(("4
    (4,4)"))
    linkStyle 4 stroke:red
    2 -->|"F ,5"| 5(("5
    (9,9)")) 
    linkStyle 5 stroke:red
    1 -->|"B ,5"| 3(("3
    (5,5)"))
    linkStyle 6 stroke:red
    3 -->|"G,2"| 5(("5
    (7,7)"))
    linkStyle 7 stroke:red

Assim, para executar o projeto em 7 semanas seu custo mínimo é o custo original de R$ 1380,00 + R$70,00 (devido a acelerar a atividade G em 2 semanas) + R$100,00 (devido a acelerar a atividade F em 2 semanas)+ R$100,00 (devido a acelerar a atividade D em 1 semana)+ R$20,00 (devido a acelerar a atividade B em 1 semana)+ R$150,00 (devido a acelerar a atividade A em 1 semana) totalizando assim R$ 1820,00.

Conclusão

Não é possível reduzir mais o projeto pois A,D e G não podem mais desacelerar e portanto este caminho será sempre o mais longo possível.

Assim, conclui-se que o prazo mínimo deste projeto é de 7 semanas.

A tabela apresenta um resumo dos prazos possíveis para o projeto, seus custos mínimos associados e quais atividades são aceleradas.

Prazo Custo At_Aceleradas
7 1820 G(2), F(2), D(1), B(1), A(1)
8 1650 G(2), F(2), D(1)
9 1500 G(2), F(1)
10 1415 G(1)
11 1380 -

Resumo das redes

11 semanas

flowchart LR
1 -->|"C ,2"| 4(("4
    "))
     4 -->|"H,3"| 5(("5
    "))
     1(("1
    (0,0)")) -->|A,3| 2(("2
    (3,3)"))
    linkStyle 2 stroke:red
    2 -->|"D ,4"| 3(("3
    (7,7)"))
    linkStyle 3 stroke:red
    2 -->|"E ,2"| 4(("4
    (5,8)"))
    2 -->|"F ,7"| 5(("5
    (11,11)"))  
    1 -->|"B ,6"| 3(("3
    (7,7)"))
    3 -->|"G,4"| 5(("5
    (11,11)"))
    linkStyle 7 stroke:red

10 semanas

flowchart LR
1 -->|"C ,2"| 4(("4
    "))
     4 -->|"H,3"| 5(("5
    "))
     1(("1
    (0,0)")) -->|A,3| 2(("2
    (3,3)"))
    linkStyle 2 stroke:red
    2 -->|"D ,4"| 3(("3
    (7,7)"))
    linkStyle 3 stroke:red
    2 -->|"E ,2"| 4(("4
    (5,7)"))
    2 -->|"F ,7"| 5(("5
    (11,11)")) 
    linkStyle 5 stroke:red
    1 -->|"B ,6"| 3(("3
    (7,7)"))
    3 -->|"G,3"| 5(("5
    (10,10)"))
    linkStyle 7 stroke:red

9 semanas

flowchart LR
1 -->|"C ,2"| 4(("4
    "))
     4 -->|"H,3"| 5(("5
    "))
     1(("1
    (0,0)")) -->|A,3| 2(("2
    (3,3)"))
    linkStyle 2 stroke:red
    2 -->|"D ,4"| 3(("3
    (7,8)"))
    linkStyle 3 stroke:red
    2 -->|"E ,2"| 4(("4
    (5,6)"))
    2 -->|"F ,6"| 5(("5
    (9,9)")) 
    linkStyle 5 stroke:red
    1 -->|"B ,6"| 3(("3
    (7,7)"))
    3 -->|"G,2"| 5(("5
    (9,9)"))
    linkStyle 7 stroke:red

8 semanas

flowchart LR
1 -->|"C ,2"| 4(("4
    "))
     4 -->|"H,3"| 5(("5
    "))
    linkStyle 1 stroke:red
     1(("1
    (0,0)")) -->|A,3| 2(("2
    (3,3)"))
    linkStyle 2 stroke:red
    2 -->|"D ,3"| 3(("3
    (7,8)"))
    linkStyle 3 stroke:red
    2 -->|"E ,2"| 4(("4
    (5,5)"))
    linkStyle 4 stroke:red
    2 -->|"F ,5"| 5(("5
    (9,9)")) 
    linkStyle 5 stroke:red
    1 -->|"B ,6"| 3(("3
    (6,6)"))
    linkStyle 6 stroke:red
    3 -->|"G,2"| 5(("5
    (8,8)"))
    linkStyle 7 stroke:red

7 semanas

flowchart LR
1 -->|"C ,2"| 4(("4
    "))
     4 -->|"H,3"| 5(("5
    "))
    linkStyle 1 stroke:red
     1(("1
    (0,0)")) -->|A,2| 2(("2
    (2,2)"))
    linkStyle 2 stroke:red
    2 -->|"D ,3"| 3(("3
    (5,)"))
    linkStyle 3 stroke:red
    2 -->|"E ,2"| 4(("4
    (4,4)"))
    linkStyle 4 stroke:red
    2 -->|"F ,5"| 5(("5
    (9,9)")) 
    linkStyle 5 stroke:red
    1 -->|"B ,5"| 3(("3
    (5,5)"))
    linkStyle 6 stroke:red
    3 -->|"G,2"| 5(("5
    (7,7)"))
    linkStyle 7 stroke:red

Exercício de Análise. (Revisão de conceitos

Pode ser resolvido durante a aula.

Considere o seguinte projeto, cuja duração das atividades apresenta-se em semanas:

Atv Prec. tn \(\sigma^2\) Cn ta Ca
A - 3 1.0 200 2 450
B - 5 1.0 100 3 260
C A,B 2 0.1 110 1 400
D A 3 0.1 300 2 400
E - 3 0.5 150 1 1000
F C,D 6 1.0 100 5 250
G D 4 0.6 80 2 150
H F,G 10 1.1 500 8 600

1- Monte a rede do projeto no seu tempo normal, identificando as atividades críticas e o custo associado.

2- Avalie a probabilidade do projeto ser concluído entre 21 e 22 semanas.

3- Aplique o algoritmo de otimização tempo custo para acelerar o projeto para 21 semanas. Ao final analise quais atividades serão aceleradas e qual o custo associado.

4- Apresente o cronograma do projeto com duração normal.

5- Identifique quais atividades não críticas devem ser priorizadas e em que ordem de prioridade.

Resposta para conferência

1-Rede

Ativ. Prec. d custo
A - 3 200
B - 5 100
C A,B 2 110
D A 3 300
E - 3 150
F C,D 6 100
G D 4 80
H F,G 10 500 
flowchart LR
1(("1
    (0,0)")) -->|"A ,3"| 2(("2
    (3,4)"))
    
1(("1
    (0,0)")) -->|"B,5"| 3(("3
    (5,5)"))
    linkStyle 1 stroke:red
2 -.->|0| 3(("3
    (5,5)"))
    
3 -->|"C ,2"| 4(("4
    (7,7)"))
linkStyle 3 stroke:red    
2 -->|"D ,3"| 5(("5
    (6,7)"))
    
1 -->|"E ,3"| 7(("7
    ")) 

5 -.->|"0"| 4(("4
    (7,7)"))
4 -->|"F,6"|6(("6"))
    linkStyle 7 stroke:red
5 -->|"G,4"| 6(("6
    (13,13)"))
6 -->|"H,10"| 7(("7
    (23,23)"))
        linkStyle 9 stroke:red

A duração do projeto é de 23 semanas com custo total de R$ 1540,00. Atividades Críticas: B,C,F e H.

2- Probabilidade

\(P(21\le \mu_P \le 22)\)

Ativ. \(d=\mu\) \(\sigma^2\) Tipo
A 3 1.0
B 5 1.0 Crítica
C 2 0.1 Crítica
D 3 0.1
E 3 0.5
F 6 1.0 Crítica
G 4 0.6
H 10 1.1 Crítica

Caminhos crítico B-C-F-H

A estimativa da duração do caminho crítico é\(\mu_P= 5+2+6+10=23\)

A estimativa da variância do caminho crítico é \(\sigma_P^2=1.0+0.1+1.0+1.1= 3.2 \rightarrow \sigma_P=1.7889\)

\[P(21\le \mu_P \le 22) = P(z1\le Z\le z2)= \] em que \(z1 = \frac{21 - 23}{1.7889}=-1.12\) e \(z2 = \frac{22 - 23}{1.7889}=-0.56\) Após consultar a tabela normal obtemos \(P(z1\le Z\le z2)=0.8686-0.7123=0.1563\)

\[P(21\le \mu_P \le 22) = P(-1.12\le Z\le -0.56)= 0.1563\]

3- Acelerando para 21 semanas.

Caminho crítico B-C-F-H

flowchart LR
1(("1
    (0,0)")) -->|"A ,3"| 2(("2
    (3,4)"))
    
1(("1
    (0,0)")) -->|"B,5"| 3(("3
    (5,5)"))
    linkStyle 1 stroke:red
2 -.->|0| 3(("3
    (5,5)"))
    
3 -->|"C ,2"| 4(("4
    (7,7)"))
linkStyle 3 stroke:red    
2 -->|"D ,3"| 5(("5
    (6,7)"))
    
1 -->|"E ,3"| 7(("7
    ")) 

5 -.->|"0"| 4(("4
    (7,7)"))
4 -->|"F,6"|6(("6"))
    linkStyle 7 stroke:red
5 -->|"G,4"| 6(("6
    (13,13)"))
6 -->|"H,10"| 7(("7
    (23,23)"))
        linkStyle 9 stroke:red
Ativ. tn ta CM Tipo
2 B 5 3 80 Crítica
3 C 2 1 290 Crítica
6 F 6 5 150 Crítica
8 H 10 8 50 Crítica

Solução: Reduzir H em 2 semanas (atingindo seu tempo tecnológico) com aumento de R$ 100,00 no custo total. Assim o prazo do projeto se reduz para 21 semanas com custo total de 1640,00

flowchart LR
1(("1
    (0,0)")) -->|"A ,3"| 2(("2
    (3,4)"))
    
1(("1
    (0,0)")) -->|"B,5"| 3(("3
    (5,5)"))
    linkStyle 1 stroke:red
2 -.->|0| 3(("3
    (5,5)"))
    
3 -->|"C ,2"| 4(("4
    (7,7)"))
linkStyle 3 stroke:red    
2 -->|"D ,3"| 5(("5
    (6,7)"))
    
1 -->|"E ,3"| 7(("7
    ")) 

5 -.->|"0"| 4(("4
    (7,7)"))
4 -->|"F,6"|6(("6"))
    linkStyle 7 stroke:red
5 -->|"G,4"| 6(("6
    (13,13)"))
6 -->|"H,8"| 7(("7
    (21,21)"))
        linkStyle 9 stroke:red

4e5- Cronograma do projeto

Marcos do projeto

  Atv  d    Tipo Ci Tj PDI PDT UDI UDT
1   A  3          0  4   0   3   1   4
2   B  5 Crítica  0  5   0   5   0   5
3   C  2 Crítica  5  7   5   7   5   7
4   D  3          3  7   3   6   4   7
5   E  3          0 23   0   3  20  23
6   F  6 Crítica  7 13   7  13   7  13
7   G  4          6 13   6  10   9  13
8   H 10 Crítica 13 23  13  23  13  23

Prioridade de acordo com FT, FD, FI, FL: Priorizar atividades não críticas D,A,G,E nesta ordem.

  Atv  d    Tipo Ci Ti Cj Tj FT FD FI FL
1   B  5 Crítica  0  0  5  5  0  0  0  0
2   C  2 Crítica  5  5  7  7  0  0  0  0
3   F  6 Crítica  7  7 13 13  0  0  0  0
4   H 10 Crítica 13 13 23 23  0  0  0  0
5   D  3          3  4  6  7  1  0 -1  0
6   A  3          0  0  3  4  1  1  0  0
7   G  4          6  7 13 13  3  2  2  3
8   E  3          0  0 23 23 20 20 20 20

Discussões

Compartilhe suas dúvidas ou insights.

Prepare-se para a próxima aula: Revisar o conteúdo das aulas anteriores e realizar os exercícios propostos

Exercícios para revisar conceitos

1

Explique como se representa uma atividade na Rede.O que são eventos e como são representados? O que são atividades fantasmas e como as identificamos na rede?

2

Explique como se obtém os Cedos e Tardes dos eventos.

3

Como se determina o caminho crítico de um projeto? O que significa uma atividade crítica para um projeto?

4

Que marcos do projeto são necessários para a montagem do cronograma? Como são representadas as atividades críticas? E as não críticas?

5

Explique o procedimento para realizar a otimização tempo custo de um projeto.

Sugestão de resposta

1. Representação de Atividades na Rede:

Atividades:

  • Uma atividade em uma Rede de Projeto é representada por uma seta (ou arco) direcionada, indicando a direção do início ao fim da atividade.
  • A seta é rotulada com o nome da atividade e sua duração.

Eventos:

  • Eventos representam pontos no tempo em que uma ou mais atividades são iniciadas ou terminadas.
  • São representados por círculos na rede.
  • Eventos geralmente são rotulados com números que indicam a ordem cronológica.

Atividades Fantasmas:

  • Atividades fantasmas são atividades fictícias introduzidas na rede para ajudar a manter a lógica correta de dependências.
  • Não têm duração real e não consomem recursos.
  • São frequentemente representadas por setas pontilhadas.

2. Obtenção de Cedo (Ci) e Tarde (Ti):

Cedo (Ci): - O Cedo de um evento é o momento mais cedo em que uma atividade pode começar, considerando as dependências. - O Ci é obtido percorrendo a rede da esquerda para a direita, calculando o tempo mais cedo para cada evento.

Tarde (Ti): - O Tarde de um evento é o momento mais tarde em que uma atividade pode começar sem atrasar o projeto. - O Ti é obtido percorrendo a rede da direita para a esquerda, calculando o tempo mais tarde para cada evento.

3. Determinação do Caminho Crítico:

  • O caminho crítico é determinado identificando as atividades que não têm folga, ou seja, em que a \(T_j-C_i=d_{ij}\)
  • Atividades no caminho crítico são aquelas que, se atrasadas, atrasarão o projeto como um todo.
  • O caminho crítico é o caminho mais longo da rede em termos de duração total.

4. Marcos do Projeto e Representação de Atividades:

Marcos do Projeto: - São eventos significativos que marcam pontos importantes no projeto (ex: início, conclusão). - São representados por PDI, PDT, UDI, UDT, representando a primeira data de início e término bem como a última data de início e término de cada atividade.

Atividades Críticas e Não Críticas: - Atividades críticas estão no caminho crítico e têm folga zero. - Atividades não críticas têm folga total estritamente positiva e podem atrasar dentro de um certo limite, sem atrasar o projeto.

5. Otimização Tempo-Custo de um Projeto:

O procedimento para otimizar tempo-custo envolve a análise de custos marginais de aceleração de atividades. Deve-se:

  • Calcular os custos marginais para todas as atividades do projeto. Identificar o caminho crítico e selecionar a atividade crítica que ainda não atingiu seu tempo tecnológico e que possua o menor custo marginal.
  • Acelere a atividade selecionada em 1 unidade de tempo, recalculando os tempos da rede do projeto e repetindo o procedimento até que se consiga a redução desejada. Ao final verifique a possibilidade de desacelerar alguma atividade que foi acelerada e que não impactará no novo prazo atingido.

Treine a montagem de redes

Respostas no início da próxima aula.

Rede 1

Atividade Precedentes d
A - 3
B A 5
C A 2
D C 4
E B,D 10

Rede 2

Atividade Precedentes d
A - 2
B - 8
C A,B 3
D A,B 5
E C,D 4
F A 8
G B 2
H C,G 4
I H 10
J E,F,H 5

Rede 3

Atividade Precedentes d
A - 6
B - 8
C - 4
D - 18
E A,B 8
F B 4
G B 5
H C 10
I D 8
J D,E,F 12
K D,G,H 8
L K,I,J 16
M I 4

Rede 4

Atividade Precedentes d
A - 10
B - 12
C A 6
D B 8
E A,B 15
F C 6
G D 8
H E,F 16
I E 8
J G 6
K C,D 10

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