Penyelesaian

Menggunakan rumus bayes,

\(P(B_j|A) = \frac{P(A|B_j) \times P(B_j)} {P(A)}\), dimana \(P(A)=\sum^k_{i=1} P(A|B_i) \times P(B_i)\)

Maka,

\(P(D|Bk) = \frac{P(Bk|D) \times P(D)} {P(Bk)} = \frac{0.3 \times 0.7} {P(Bk)}\)

Dimana, \(\begin{equation}\begin{aligned} P(Bk) &= P(Bk|D) \times P(D) \text{ } + \text{ } P(Bk|D^c) \times P(D^c) \\ &= (0.3 \times 0.7) \text{ } + \text{ } P(Bk|D^c) \times 0.3 \end{aligned}\end{equation}\)

Bisa dilihat bahwa informasi tambahan yang diperlukan apabila kita ingin mencari nilai \(P(D|Bk)\) (Peluang Dena menyukai resto rating kurang dari 4) adalah \(P(Bk|D^c)\) (Persentase resto rating kurang dari 4 yang tidak disukai Dena).

Poin a

Likelihood sebaran Poisson dengan \(Y=2\) :

\[ P(Y=2|\mu)=\frac{e^{-\mu}\mu^2}{2!} \text{ , } \mu=1,2,3,4,5 \]

Karena setiap nilai memiliki bobot yang sama, maka untuk setiap \(\mu\) prior nya sama. Sehingga :

\[ P(Y=2)=\frac{1}{5} \text{ , } \mu \]

Tabel bayes box

Poin b

# Nilai 𝜇 yang mungkin
mu <- c(1,2,3,4,5)
k <- 2 # Y=2
w <- 0 # Bobot nya sama

# Sebaran Poisson
pois.llh <- function(k, mu) return(dpois(k, mu))

post.dist <- function(k, mu, w){
  # Prior untuk setiap nilai 𝜇
  pri <- ifelse(w == 0, rep(1/length(mu), length(mu)), w)
  
  # Menghitung likelihood untuk Y=2 untuk setiap nilai 𝜇
  llh <- sapply(mu, pois.llh, k=k)
  
  # Menghitung Prior x likelihood
  pri.llh <- llh * pri
  
  # Menghitung Posterior
  post <- pri.llh / sum(pri.llh) 
  
  data.frame( mu, pri, llh, pri.llh, post ) %>% return()
}

bayes.box <- post.dist(k, mu, w) 
colnames(bayes.box) <- c("mu", "Prior", "Likelihood", "Prior x Likelihood", "Posterior")
bayes.box %>% datatable %>% 
  formatRound(c(3,4,5), digits = 4)

Poin c

ggplot(bayes.box[,c(1,5)], aes(x=factor(mu), y=Posterior)) +
  geom_bar(stat="identity", col=NA,
           fill= ifelse(bayes.box[,c(1,5)]$mu == 2,  "#1380A1", "#dddddd")) +
  labs(x = "\nNilai µ", y = "Peluang Posterior", 
       title = "\nSebaran Posterior untuk Y = 2\n") +
  theme1.1

Penyelesaian

Sebaran posterior dihitung untuk setiap kombinasi \(Y\) dan \(\theta\), yakni \(\binom{4}{2}=6\), sehingga akan ada 6 grafik.

# Fungsi untuk menghitung distribusi posterior dari n
post.n <- function(y, theta, lamb.pois, n){
  # Menghitung prior Poisson
  pri <- dpois(n, lamb.pois)
  
  # Menghitung lilelihood Binomial P(Y|n, theta)
  llh <- dbinom(y, n, theta)
  
  # Menghitung posterior tidak ternomalisasi
  pri.llh <- pri * llh
  
  # Posterior
  post <- pri.llh / sum(pri.llh)
  return(post)
}

# Nilai-nilai yang mungkin untuk n
n.val <- 0:30

# Kombinasi nilai Y dan theta yang diberikan
Y.val <- c(0, 5, 10)
theta.val <- c(0.2, 0.5)

# Menghitung dan memplot distribusi posterior untuk semua kombinasi Y dan theta
post.plot <- function(Y.val, theta.val, n.val, lamb.pois){
  plot.list <- list()
  for(y in Y.val){
    for(theta in theta.val){
      post <- post.n(y, theta, lamb.pois, n.val)
      df <- data.frame(n=n.val, post=post)
      
      #Chart
      bar.max <- which(df$post == max(df$post))
      chart <- ggplot(df, aes(x=n, y=post)) +
        geom_bar(stat="identity", col=NA,
                 fill= ifelse(df$n %in% (bar.max-1),  "#1380A1", "#dddddd")) +
        labs(x = "\nn", y = "\nPeluang Posterior", 
             title = paste0("\nSebaran Posterior n (Y=",y, ", \u03b8=", theta, ")")) +
        theme1.1
      plot.list[[paste0("Y=", y, "\u03b8=", theta)]] <- chart
    }
  }
  return(plot.list)
}

# Asumsikan lambda untuk distribusi Poisson adalah 5
lamb.pois <- 5

# Plot/Chart
chart <- post.plot(Y.val, theta.val, n.val, lamb.pois)
do.call("grid.arrange", c(chart, ncol=2))

Dari chart di atas, terlihat bahwa nilai \(Y\) dan \(\theta\) memperngaruhi sebaran posterior, yaitu:

• Ketika nilai \(Y\) kecil, misalkan saat \(Y=0\), sebaran posterior cenderung berepusat di nilai \(n\) yang lebih kecil.
  Hal ini menunjukkan jika sangat sedikit pelanggan yang membeli (\(Y\)), kemungkinan banyaknya pelanggan yang dateng ke toko pada hari diskon (\(n\)) juga akan sedikit.

• Sebaliknya, ketika nilai \(Y\) besar, sebaran posterior cenderung berpusat di nilai \(n\) yang lebih besar. Ini berarti jika banyak pelanggan yang membeli (\(Y\)), kemungkinan banyaknya pelanggan yang dateng ke toko pada hari diskon (\(n\)) juga akan lebih banyak.

• Sementara nilai \(\theta\) yang lebih besar, misalkan saat \(\theta=0.5\) cenderung membuat nilai \(n\) yang lebih kecil dibandingkan saat \(\theta=0.2\). Hal ini menunjukkan saat peluang untuk membeli jika pelanggan dateng ke toko (\(\theta\)) lebih tinggi, sebaran posterior akan menunjukkan peluang yang lebih kecil untuk nilai \(n\).

Sehingga dapat disimpulkan bahwa banyaknya pelanggan yang membeli (\(Y\)) dan peluang untuk membeli jika pelanggan dateng ke toko (\(\theta\)) memberikan informasi penting terkait banyaknya pelanggan yang dateng ke toko pada hari diskon yang tercermin dalam sebaran posterior dari \(n\).