• Se define la derivada como la razón de cambio de una variable con respecto a la otra.

• Se define la derivada como la pendiente de la recta tangente a una curva en un punto dado.

La derivada de una función \(f(x, y)\) en \(\mathbb{R}^3\) se define como:

\[ \frac{\partial f}{\partial x} = \lim_{{h \to 0}} \frac{f(x + h, y) - f(x, y)}{h} \]

\[ \frac{\partial f}{\partial y} = \lim_{{k \to 0}} \frac{f(x, y + k) - f(x, y)}{k} \]

Esta es la expresión para las derivadas parciales de \(f\) con respecto a \(x\) y \(y\) en \(\mathbb{R}^3\).

• Derivadas parciales: Conocer la razón de cambio de la variable dependiente vs cada variable independiente.

• Máximos y Mínimos: Aplicación en todos los campos de la optimización matemática.

• Derivadas direccionales: Conocer la dirección de máximo crecimiento de una función determinada.

Una derivada parcial de una función de diversas variables es su derivada respecto a una de esas variables con las otras manteniéndolas constantes.

La derivada parcial de \(f\) con respecto a \(x\) se denota usando el símbolo de Jacobi \(\partial\):

\[ \frac{\partial f}{\partial x} \]

De manera similar, para la derivada parcial de \(f\) con respecto a \(y\):

\[ \frac{\partial f}{\partial y} \]

Una de las aplicaciones más importantes de la derivada es la de hallar puntos máximos y mínimos de una función determinada. Tiene una inmensa cantidad de aplicaciones en la vida cotidiana. Ejemplo: se maximizan las ganancias y se minimizan las pérdidas.

Para la función \(f(x, y) = 4 - x^2 - 2y^2\) determinar:

• Hallar \(fx(1,1)\) y \(fy(1,1)\)
• Verificar a tráves de la definición de la derivada
• Interpretar los resultados de manera gráfica
• Verificar los puntos máximos, mínimos o puntos silla

\[ \frac{\partial z}{\partial x} = -2x \]

\[ \left. \frac{\partial z}{\partial x} \right|_{(1, 1)} = -2 \times 1 = -2 \]

\[ \frac{\partial z}{\partial y} = -4y \]

\[ \left. \frac{\partial z}{\partial y} \right|_{(1, 1)} = -4 \times 1 = -4 \]

\[ \frac{\partial f}{\partial x} = \lim_{{h \to 0}} \frac{f(x + h, y) - f(x, y)}{h} \]

\[ \frac{\partial f}{\partial x} = \lim_{{h \to 0}} \frac{f(1 + h, 1) - f(1, 1)}{h} \]

\[ \frac{\partial f}{\partial x} = \lim_{{h \to 0}} \frac{4-(1 + h)^2-2(1)^2) - (1)}{h} \]

\[ \frac{\partial f}{\partial x} = \lim_{{h \to 0}} \ {-2-h}; \frac{\partial f}{\partial x} = -2 \]

El volumen \(V\) en \(\text{cm}^3\) de 1 mol de un gas ideal está dado por

\[ V = \frac{82.06 \cdot T}{P} \]

donde \(P\) es la presión en atmósferas y \(T\) es la temperatura absoluta en Kelvin (K), siendo \(K = °C + 273\).

Determinar las razones de cambio del volumen de 1 mol de gas ideal con respecto a la presión \(P\) y la temperatura \(T\) cuando \(T = 300\) K y \(P = 5\) atm.

Se quiere hacer una caja de cartón rectangular sin tapa con \(12 \text{m}^2\) de cartón disponibles.

Hallas el \(Vmax\) de la caja

Determinar los puntos máximos, mínimos y puntos silla para la función \(f(x, y) = x^3 + 3xy^2 - 15x -12y\)

Solución:

P(1,2) = punto de silla

P(-1,-2) = punto de silla

P(2,1) = punto mínimo

P(-2,-1) = punto máximo