Enunciado

Suponha que o vetor aleatório \((X,Y)\) é distribuído no quadrado \((0,1)\times(0,1)\), de acordo com a densidade

\[ \begin{align} f(x,y)=\begin{cases} 3, & \text{se} \quad 0<x^2<y<\sqrt{x}<1,\\ 0, & \text{caso contrário}. \end{cases} \end{align} \]

Determine a densidade condicional \(f_{Y|X}(y|x)\) e a esperança condicional \(E[Y|X]\).

Solução

Podemos reescrever 1a condição da definição de \(f(x,y)\), resultando \[ \begin{align} f(x,y)=\begin{cases} 3, & \text{se} \quad y^2<x<\sqrt{y},\\& \quad \; \;\;x^2<y<\sqrt{x},\;\;\\ & \qquad 0<x,y<1.\\\\ 0, & \text{caso contrário}. \end{cases} \end{align} \]

Desse modo, para cada \(x\in (0,1)\), temos que \[ \begin{align} f_X(x)&=\int\limits_{\infty}^{\infty}f_{X,Y}(x,y)dy\\ &=\int\limits_{x^2}^{\sqrt{x}}3dy\\ &=3y\bigg|_{y\to x^2}^{y\to \sqrt{x}}\\ &=3(\sqrt{x}-x^2). \end{align} \]

E, para \(x\not\in (0,1)\), \(f_X(x)=0\), afinal \(f_{X,Y}(x,y)=0\), para \(x\not\in(0,1)\).\

Logo, para cada \(x\in (0,1)\) fixo,

\[ \begin{align} f_{Y|X}(y|x)=\dfrac{f_{X,Y}(x,y)}{f_X(x)}= \begin{cases} \dfrac{3}{3(\sqrt{x}-x^2)}, & \text{se} \quad x^2<y<\sqrt{x},\\\\ 0, & \text{caso contrário}. \end{cases} \end{align} \] Portanto, para \(x\in(0,1)\):

\[ \begin{align} E[Y|X=x]&=\int\limits_{-\infty}^{\infty}y f_{Y|X}(y|x)dy\\ &=\int\limits_{x^2}^{\sqrt{x}}y \dfrac{3}{3(\sqrt{x}-x^2)}dy\\ &=\frac{1}{\sqrt{x}-x^2}\frac{y^2}{2}\bigg|_{y\to x^2}^{y\to \sqrt{x}}\\ &=\frac{1}{\sqrt{x}-x^2}\bigg[\frac{(\sqrt{x})^2}{2}-\frac{(x^2)^2}{2}\bigg]\\ &=\frac{x-x^4}{2(\sqrt{x}-x^2)}. \end{align} \]

Logo, \[ E[Y|X]=\frac{X-X^4}{2(\sqrt{X}-X^2)}. \]

Implementação Computacional

#===========================================================================
# Esperança Simulada
#===========================================================================
x <- runif(1) # gera um valor da dist. uniforme entre 0 e 1

y <- runif(1e5,min=x^2,max=sqrt(x)) # gera 100000 valores entre x^2 e x^0.5

Esp.sim <- mean(y) 

## Esperança Teorica (Calculada)

Esp.teo <- (x-x^4) / (2*(sqrt(x)-x^2))

## Resultado: Esp. Teorica    versus    Esp. Simulada

list(c(X=x, Esp_Teorica=Esp.teo, Esp_Simulada=Esp.sim))
## [[1]]
##            X  Esp_Teorica Esp_Simulada 
##    0.5325920    0.5067216    0.5074509