Gabarito para conferência

Exercício 1

calcule a probabilidade do projeto ser completado em menos de 10 dias.

As atividades críticas do projeto são A,D,G.

Deseja-se obter \(P(Duração \le 10)\)?

Assim

A estimativa da duração de cada atividade crítica é: \(\mu_{A}=3; \mu_{D}=4; \mu_{G}=4\)

A estimativa da variância destas atividades é: \(\sigma_{A}^2=0.1^2=0.01; \sigma_{D}^2=0.4^2=0.16; \sigma_{G}^2=1\)

\(\mu_P=\sum_{i=1}^{n}\mu_i= 3+4+4=11\)

\(\sigma_P^2=\sum_{i=1}^{n}\sigma_i^2=0.01+0.16+1=1.17 \rightarrow \sigma_P=1.0817\)

\[P(\mu_P \le 10) = P(Z\le z)\] em que \(Z = \frac{10 - 11}{1.0817}=-0.93\)

Continuação ex1

Consultando a tabela normal com \(z=0.93\) obtemos 0.33147. Logo \[P(\mu_P \le 10) = P(Z\le -0.93)=0.5-0.33147=0.16853\] ou 16,85%.

Observe que a tabela normal fornece a área entre 0 e um valor positivo de z.

Exercício 2

Calcule a probabilidade do projeto ser completado em menos de 18 dias, agora observando as estimativas da variância.

As atividades críticas do projeto são A,C,D,G.

Deseja-se obter \(P(Duração \le 18)\)?

Assim

A estimativa da duração de cada atividade crítica é: \(\mu_{A}=3; \mu_{C}=3;\mu_{D}=7; \mu_{G}=6\)

A estimativa da variância destas atividades é: \(\sigma_{A}^2=1; \sigma_{C}^2=0.4;\sigma_{D}^2=0.1; \sigma_{G}^2=0\)

\(\mu_P=\sum_{i=1}^{n}\mu_i= 3+3+7+6=19\)

\(\sigma_P^2=\sum_{i=1}^{n}\sigma_i^2=1+0.4+0.1+0=1.5 \rightarrow \sigma_P=1.2248\)

\[P(\mu_P \le 18) = P(Z\le z)\] em que \(z = \frac{18 - 19}{1.2248}=-0.82\)

continuação ex2

Consultando a tabela normal com \(z=0.82\) obtemos 0.29389. Logo \[P(\mu_P \le 18) = P(Z\le -0.82)=0.5-0.29389=0.20611\] ou 20,61%.

Observe que a tabela normal fornece a área entre 0 e um valor positivo de z.

Exercício de Revisão sobre incertezas na programação do projeto

Observe a tabela. Calcule a probabilidade do projeto ser completado entre 20 e 26 semanas.

Tempo para resolver

10 minutos

Resolução

1- Deve identificar quais são as estimativas da duração e variância de cada atividade, utilizando as fórmulas \(\mu_{ij} = \frac{O_{ij}+4M_{ij}+P_{ij}}{6}\) e \(\sigma_{ij}^2 = (\frac{P_{ij}-O_{ij}}{6})^2\)

Rede

Construir a rede para identificar as atividades críticas: A,C,D,F

flowchart LR
    1(("1
    (0,0)")) -->|A,5.5| 2(("2
    (5.5,5.5)"))
    linkStyle 0 stroke:red
    5 -.->|"0"| 3(("3
    (13.83,13.83)"))
    2 -->|"B ,2"| 3(("3
    (13.83,13.83)"))
    
    2 -->|"C ,3"| 4(("4
    (8.5,8.5)"))
    linkStyle 3 stroke:red
    4 -->|"D ,5.33"| 5(("5
    (13.83,13.83)"))
    linkStyle 4 stroke:red
    5 -->|"E ,5.83"| 6(("6
    (25,25)"))
    
    3 -->|"F ,11.17"| 6(("6
    (25,25)"))
    linkStyle 6 stroke:red
    

Resolução

2- Deseja-se obter \(P(20\le Duração \le 26)\)?

Assim

A estimativa da duração de cada atividade crítica é: \(\mu_{A}=5.5; \mu_{C}=3;\mu_{D}=5.33; \mu_{F}=11.17\)

A estimativa da variância destas atividades é: \(\sigma_{A}^2=1.36; \sigma_{C}^2=0.11;\sigma_{D}^2=0.44; \sigma_{F}^2=4.69\)

\(\mu_P=\sum_{i=1}^{n}\mu_i= 5.5+3+5.33+11.17=25\)

\(\sigma_P^2=\sum_{i=1}^{n}\sigma_i^2=1.36+0.11+0.44+4.69=6.6 \rightarrow \sigma_P=2.5691\)

\[P(20\le \mu_P \le 26) = P(z1\le Z\le z2)\] em que \(z1 = \frac{20 - 25}{2.5691}=-1.95\) e \(z2 = \frac{26 - 25}{2.5691}=0.39\)

Resolução continuação

Graficamente a probabilidade é representada pela área em destaque no gráfico:

Consultando a tabela normal com \(z=1.95\) obtemos 0.47441 e \(z=0.39\) obtemos 0.15173. Logo \(P(20\le\mu_P \le 26) = P(-1.95 \le Z\le 0.39)=0.47441+0.15173=0.62614\) ou 62,61%.

Reduzindo a duração de um projeto

Suponha que haja um pedido de redução no cronograma de um projeto.

Considere o seguinte projeto com duração de 11 semanas, com um pedido de redução para 10 semanas.

flowchart LR
1 -->|"C ,2"| 4(("4
    "))
     4 -->|"H,3"| 5(("5
    "))
     1(("1
    (0,0)")) -->|A,3| 2(("2
    (3,3)"))
    linkStyle 2 stroke:red
    2 -->|"D ,4"| 3(("3
    (7,7)"))
    linkStyle 3 stroke:red
    2 -->|"E ,2"| 4(("4
    (5,8)"))
    2 -->|"F ,7"| 5(("5
    (11,11)"))  
    1 -->|"B ,6"| 3(("3
    (7,7)"))
    3 -->|"G,4"| 5(("5
    (11,11)"))
    linkStyle 7 stroke:red

   

Um estudo sobre a possibilidade de aceleração das atividades foi realizado. Algumas estratégias incluem:

• Alocação de Recursos Adicionais: Atribuir mais recursos para concluir a atividade mais rapidamente.
• Trabalho em Paralelo: Realizar tarefas em paralelo, quando possível, em vez de sequencialmente.
• Tempo Extra: Permitir que a equipe trabalhe horas extras para acelerar o progresso.
• Uso de Tecnologia: Utilizar tecnologias mais avançadas ou eficientes para realizar as atividades.

Custos para acelerar atividades

Qualquer que seja a estratégia para acelerar uma atividade, haverá custos envolvidos. É fundamental realizar uma análise cuidadosa dos custos envolvidos na aceleração de atividades, considerando não apenas os custos diretos, mas também os custos indiretos.

Considere os dados a seguir:

Custo Normal x Custo Acelerado

O custo normal \((C_n)\) de uma atividade refere-se ao custo associado à execução da atividade dentro do tempo normal \((t_n)\) planejado. É o custo previsto para realizar a atividade dentro do cronograma padrão do projeto, sem a necessidade de aceleração. Esse custo normal leva em consideração os recursos, materiais, mão de obra e outros fatores necessários para concluir a atividade no prazo original.

O custo acelerado \((C_a)\) de uma atividade representa o custo associado à execução da atividade em um tempo acelerado \((t_a)\), ou seja, quando há a necessidade de reduzir o cronograma original. Inclui os custos adicionais incorridos ao aplicar estratégias para acelerar a conclusão da atividade. Essas estratégias podem envolver alocar recursos adicionais, utilizar tecnologias mais eficientes ou implementar processos de trabalho mais rápidos.

Exemplo: A atividade A possue um custo normal de R$200,00 para executá-la em 3 semanas e um custo acelerado de R$350,00 para executá-la em 2 semanas.

Custo Marginal

Custo Marginal (CM): Expressa o incremento de custo a ser incorrido por unidade de tempo até a atividade atingir seu tempo tecnológico (\(t_a\)).

\[CM = \frac{C_a-C_n}{t_n-t_a}\]

Exemplo: Para a atividade A seu custo marginal é \(CM = \frac{350-200}{3-2}=150\), significa que para aceleramos essa atividade, há um custo adicional de R$150,00 por semana.

Obtendo o custo marginal

Algoritmo de Otimização Tempo Custo do projeto

Passo 0- Calcule os custos marginais de todas as atividades do projeto.

Passo 1- Determine o(s) caminho(s) crítico(s), identificando a atividade crítica com o menor custo marginal com possibilidade de aceleração.

Passo 2- Acelere em uma unidade de tempo a atividade crítica selecionada.

Passo 3- Recalcule a duração do projeto, verificando se a duração desejada foi atingida, em caso positivo PARE e VERIFIQUE a possibilidade de desacelerar alguma atividade que foi acelerada e que agora apresenta folga; caso contrário (duração desejada não atingida) volte ao passo 1.

Aplicando o algoritmo

O projeto tem duração de 11 semanas e deseja-se reduzí-lo para 10 semanas ao menor custo possível.

flowchart LR
1 -->|"C ,2"| 4(("4
    "))
     4 -->|"H,3"| 5(("5
    "))
     1(("1
    (0,0)")) -->|A,3| 2(("2
    (3,3)"))
    linkStyle 2 stroke:red
    2 -->|"D ,4"| 3(("3
    (7,7)"))
    linkStyle 3 stroke:red
    2 -->|"E ,2"| 4(("4
    (5,8)"))
    2 -->|"F ,7"| 5(("5
    (11,11)"))  
    1 -->|"B ,6"| 3(("3
    (7,7)"))
    3 -->|"G,4"| 5(("5
    (11,11)"))
    linkStyle 7 stroke:red

   

Passo 0

Passo 0: Calcular o custo marginal das atividades

Passo 1: identificando a atividade crítica com o menor custo marginal

Passo 2: Acelerar a atividade

Acelerar a Atividade G em 1 unidade de tempo pois é a atividade crítica com o menor custo marginal.

Passo 3: Recalcular o tempo do projeto

flowchart LR
1 -->|"C ,2"| 4(("4
    "))
     4 -->|"H,3"| 5(("5
    "))
     1(("1
    (0,0)")) -->|A,3| 2(("2
    (3,3)"))
    linkStyle 2 stroke:red
    2 -->|"D ,4"| 3(("3
    (7,7)"))
    linkStyle 3 stroke:red
    2 -->|"E ,2"| 4(("4
    (5,7)"))
    2 -->|"F ,7"| 5(("5
    (11,11)")) 
    linkStyle 5 stroke:red
    1 -->|"B ,6"| 3(("3
    (7,7)"))
    3 -->|"G,3"| 5(("5
    (10,10)"))
    linkStyle 7 stroke:red

   

Houve redução do tempo do projeto para 10 dias com aumento no custo do projeto de R$35,00, acelerando a atividade G em 1 semana.

Observe que não é possível “desacelerar” a atividade G pois ela é crítica para atingir o tempo de 10 semanas.

Assim, o custo atual dessa configuração é o custo original de R$ 1380,00 + R$35,00 (devido a acelerar a atividade G em 1 semana) totalizando assim R$ 1415,00.

Análise

Inicialmente o projeto apresentava uma duração normal de 11 semanas com um custo total de R$ 1380,00 (resultado da soma dos custos normais de todas as atividades). Após a aplicação do algoritmo de otimização tempo custo, a atividade G foi acelerada em 1 semana, reduzindo a duração do projeto para 10 semanas, acrescentando ao custo o valor de R$35,00. Desse modo, o projeto para ser executado em 10 semanas terá um custo total de R$ 1415,00 (custo total original + acréscimo da aceleração).

Discussões

Compartilhe suas dúvidas ou insights.

Prepare-se para a próxima aula: Revisar o conteúdo das aulas anteriores e realizar os exercícios propostos

Exercícios Propostos

1

Considere o projeto do exemplo desta aula, com duração normal de 11 semanas a um custo de R$ 1380,00. Suponha que se deseja reduzir o tempo para 9 semanas. Obtenha a solução, analisando seu custo para 11 semanas, 10 semanas e 9 semanas.

2

Até que prazo podemos reduzir o projeto de 11 semanas? Apresente sua análise.