Quantis

Função p-Quantil exata

Seja \((x_1,x_2,\ldots,x_n)\) uma amostra aleatória de uma v.a \(X\). O \(p\)-quantil é definido por

\[ \begin{align} q(p)=\begin{cases} x_{(i)}, & \text{se}\;\;p=p_i=\dfrac{i-0.5}{n}, i=1,2,\ldots,n,\\\\ (1-f_i)x_{(i)}+f_ix_{(i+1)}, & \text{se} \;\;p_i < p < p_{(i+1)},\\\\ x_{(1)}, & \text{se}\;\; p < p_1,\\\\ x_{(n)}, & \text{se}\;\; p > p_n, \end{cases} \end{align} \] em que \(f_i=\dfrac{(p-p_i)}{(p_{i+1}-p_i)}\).

Implementação Computacional

### Funcao p-quantil
Q <- function(x,p){
  m <- length(x)
  n <- m-1
  x.ord <- sort(x)
  
  for (i in 1:m){
    p_i <- (i - 0.5)/m
    p_j <- (i+1 -0.5)/m
    f_i <- (p-p_i)/(p_j - p_i)
    
  if (p_i < p & p < p_j){
    q_p <- (1-f_i)*x.ord[i] + f_i*x.ord[i+1]
  }else if (p==p_i){
    q_p <- x.ord[i]
  }else if (p < (1 - 0.5)/n){
    q_p <- x.ord[1]
  }else if (p > (n - 0.5)/n){
    q_p <- x.ord[n]
  }
 }
return(q_p)
}

x<-c(15,5,3,8,10,2,7,11,12)

sort(x)

## [1]  2  3  5  7  8 10 11 12 15

Q(x,0.10) ; Q(x,0.20) ; Q(x,0.50) ; Q(x,0.75)

## [1] 2.4

## [1] 3.6

## [1] 8

## [1] 11.25