En el siguiente notebook se encuentran ejercicios seleccionados, del material dado en clases ‘Modelos de Colas’, del curso “Teoría de Colas e Inventarios”.
Nota: se que el código en los snippets no es el mas eficiente de todos, por es por motivos educativos, explicando cada variable y los inputs de las funciones, no por optimización.
Consideremos una típica sala de emergencias de un hospital,
Describa por qué esto es un sistema de colas.
¿Cual es la cola en este caso? Describa cómo esperaría usted que operara la disciplina de la cola.
¿Esperaría usted llegadas aleatorias?
¿Cuáles son los tiempos de servicio en este contexto? ¿Esperaría usted mucha variación en los tiempos de servicio?
Es un sistema de colas dado que cumplimos con las condiciones iniciales para ser modelado como un sistema de colas, esto es:
DiagrammeR::mermaid(
"graph LR
A(Llegadas de usuarios o tareas) --> A1(Usuario)
A --> A2(Usuario)
A --> A3(Usuario)
A1-->B
A2-->B
A3-->B
B{Cola}
B-->C[Mecanismo de servicio]
C-->D(Salida)"
,height = '100%', width = '100%')En donde los las llegadas de usuarios son los pacientes a ser atendidos, la cola es la linea de espera para que sean atendidos, y el mecanismo de servicio es la consulta o atención medica proporcionada, para proceder a la salida o finalización de este.
La cola como ya se menciono es la linea de espera de los pacientes para ser atendidos.
La disciplina de esta podría darse que se atiendan por orden de llegada como estilo de una cruz roja, lo que seria, primero en entrar, primero en ser atendido (PEPS), con la consideración de prioridad para pacientes con condiciones mas graves.
Sí, para una sala de emergencias es de esperarse que las llegadas sean aleatorias, dado que no es posible determinar de manera exacta o “determinista” quien se enferma y quien no, o quien requiera atención media de urgencia y quien no.
Partiendo de la definición de este como “el tiempo transcurrido desde el principio hasta el final de su servicio”, para este contexto el tiempo de servicio es la cantidad de tiempo necesaria/transcurrida para atender al paciente.
Con respecto a la variación, dado que el tiempo transcurrido para atender a un paciente es dependiente de factores como diferencias en las condiciones medicas, y recursos del hospital, si se asume que la sala de emergencias esta bien equipada, aún así la gravedad de la emergencia o la condición del paciente no es algo fácil de determinar con antelación, por lo cual si se puede esperar una alta variación en los tiempos de servicio.
Identifique los clientes y servidores del sistema de colas de cada una de las siguientes situaciones.
La caja de pago de una tienda de abarrotes.
Una estación de bomberos.
La caseta de cobro de un puente.
Un taller de reparación de bicicletas.
Un muelle de embarque.
Un grupo de máquinas semiautomáticas asignadas a un ordenador.
El equipo de manejo de materiales en una fábrica.
Un taller de plomería
Un taller que produce órdenes bajo pedido.
Un grupo secretarial de procesamiento de palabras.
En cada uno de los siguientes enunciados sobre el uso de la distribución exponencial como distribución de probabilidad de los tiempos de servicio, califique el enunciado como cierto o falso y luego explique su respuesta refiriéndose a un enunciado especifico del capitulo.
En general ofrece una excelente aproximación de la distribución real del tiempo de servicio.
Su media y varianza son siempre iguales.
Representa un caso bastante extremo de la cantidad de variación en los tiempos de servicio.
Falso
Como dice el texto (pagina 424):
“La opción más popular de distribución de probabilidad de los tiempos de servicio es la distribución exponencial. La razón principal de ello es que esta distribución es mucho más fácil de analizar que cualquier otra”
Eso pasa por sus propiedades estadísticas como es mencionado pero para el inciso a, usando lo que nos dice el texto:
“Aunque ofrece un excelente ajuste de los tiempos entre llegadas en la mayoría de los casos, esto no es así para los tiempos de servicio.”
Lo cual se encuentra en la pagina 424.
Mas abajo de la misma pagina es mencionado:
“De acuerdo con la naturaleza del sistema de colas, la distribución exponencial puede ofrecer una aproximación razonable o una distorsión burda de la distribución real del tiempo de servicio. Se debe tener cuidado.”
Así que a lo mejor es una aproximación razonable mas no excelente y en la mayoría de los caso no es el mejor ajuste.
Esto se debe a que, usando el texto (pagina 425):
“En algunos sistemas de colas, los tiempos de servicio tienen mucho menos variación de lo que supone la distribución exponencial, así que se deben considerar los modelos de colas que usan otras distribuciones.”
Falso
Dado que para una variable aleatoria
\[X\sim exp(\mu)\]
\[f_X(x)=\mu e^{-\mu x}\;\; x>\infty\]
Así la media
\[E[X] = \int_{0}^{\infty} x \mu e^{-\mu x}dx = \mu\int_{0}^{\infty} x e^{-\mu x}dx\]
Con integración por partes
\[\int tdv = tv-\int vdt\]
Sí \(t=x \rightarrow dt=dx\) y sí \(dv=e^{-\mu x} \rightarrow v = -\frac{1}{\mu}e^{-\mu x}\)
Así
\[E[X] = \mu\int_{0}^{\infty} x e^{-\mu x}dx = \mu\left[-\frac{x}{\mu}e^{-\mu x} + \frac{1}{\mu}\int_0^\infty e^{-\mu x} \right] = \left[-\frac{1}{e^{\mu x}} - \frac{1}{\mu} e^{-\mu x}\right]_0^\infty\]
\[E[X] = \lim_{b \to \infty} \left[-\frac{b}{e^{\mu b}} - \frac{1}{\mu e^{\mu b}} \right] - \lim_{b \to \infty} \left[-\frac{0}{e^{\mu (0)}} - \frac{1}{\mu e^{\mu (0)}} \right] = \frac{1}{\mu}\]
Y la varianza es igual a
\[Var[X] = E[X^2]-[E[X]]^2\]
\[E[X^2] = \int_{0}^{\infty} x^2 \mu e^{-\mu x}dx \]
Integrando por partes con \(t=x^2 \to dt=2xdx\) así \(dv=e^{-\mu x} \rightarrow v = -\frac{1}{\mu}e^{-\mu x}\)
\[E[X^2] = \mu \int_{0}^{\infty} x^2 e^{-\mu x}dx = \mu \left[-\frac{x^2}{\mu} e^{-\mu x} + \frac{2}{\mu} \int_0^\infty x\mu e^{-\mu x} dx \right]_0^\infty\]
Así
\[E[X^2] = -x^2e^{-\mu x}|_0^{\infty} + \frac{2}{\mu} \int_0^\infty x\mu e^{-\mu x} dx = -x^2e^{-\mu x}|_0^{\infty} + \frac{2}{\mu^2}\]
\[E[X^2] = \lim_{b \to \infty} \frac{b^2}{e^{\mu b}}+ \frac{0^2}{e^{\mu 0}} = \frac{2}{\mu^2}\]
Así
\[Var[X] = \frac{2}{\mu^2} - \frac{1}{\mu^2} = \frac{1}{\mu^2}\]
Así solamente
\[E[X] = Var[X]\] Sí \(\mu = 1\)
De esa forma es falso que Su media y varianza son siempre iguales., y en el texto (pagina 440) se menciona que en el caso de que
Que la distribución de tiempos de servicio es la distribución exponencial con media \(\frac{1}{\mu}\)
Se cumple que
\[\sigma=\text{media}=\frac{1}{\mu} \; \text{para la distribución exponencial.}\]
Pero como dice para la desviación estándar no para la varianza.
Verdadero
Como ya se menciono anteriormente, en el texto, pagina 425:
En algunos sistemas de colas, los tiempos de servicio tienen mucho menos variación de lo que supone la distribución exponencial, así que se deben considerar los modelos de colas que usan otras distribuciones.
Como menciona el texto es suele pasar que los tiempos de servicios tienen mucho menos variación de la que supone la distribución exponencial, considerando así al ser mucho menos, como un “caso extremo” donde se subestima la varianza, mas sigue siendo bastante usada en modelos teóricos por sus propiedades y facilidad de calculo.
En cada uno de los siguientes enunciados sobre la cola en un sistema de colas, califique el enunciado como cierto o falso y luego justifique su respuesta refiriéndose a un enunciado especifico del capitulo.
La cola es donde los clientes esperan en el sistema de colas hasta que su servicio termina.
Los modelos de colas suponen convencionalmente que la cola puede tener sólo un número limitado de clientes.
La disciplina de la cola más común es primero en llegar, primero en ser atendido.
Falso
Dado que como el texto nos dice, en la pagina 423:
“La cola no incluye a los clientes que ya están siendo atendidos”, de esa forma la cola es realmente el lugar donde los clientes esperan en el sistema de colas, esperando para poder entrar al servicio.
Falso
De nuevo partiendo de lo que nos dice el texto en la pagina 424
“A menos que se especifique de otra forma, los modelos de colas suponen convencionalmente que la cola es una cola infinita.”, así que no es cierto que solo se supongan un número limitado de clientes, dependiendo de la situación teóricamente se asumen infinitas, como también pueden ser finitas, como es mencionado.
Verdadero
En la pagina 424 tenemos:
“El orden más común es el de primero en entrar, primero en ser atendido (PEPS)” A pesar de que existen otras disciplinas, esta es la mas común a la hora de plantear modelos.
Midtown Bank tiene siempre dos cajeros de ventanilla. Los clientes llegan a recibir servicio de un cajero a una tasa media de 40 por hora. Un cajero requiere en promedio dos minutos para atender a un cliente. Cuando ambos cajeros están ocupados, la llegada de un cliente significa que se va a unir a la cola y esperará el servicio. La experiencia ha mostrado que los clientes esperan en esa fila en promedio un minuto antes de que sean atendidos.
Describa por qué esto es un sistema de colas.
Determine las medidas básicas de desempeño \(-\)\(W_q\), \(W\), \(L_q\) y \(L\)\(-\) de este sistema de colas. (Sugerencia: No conocemos las distribuciones de probabilidad de los tiempos entre llegadas y los tiempos de servicio de este sistema de colas, así que tendrá que usar las relaciones entre estas medidas de desempeño para resolver la pregunta).
Como ya determinamos un sistema, es un sistema de colas sí cumple con tener las siguientes condiciones.
DiagrammeR::mermaid(
"graph LR
A(Llegadas de usuarios o tareas) --> A1(Usuario)
A --> A2(Usuario)
A --> A3(Usuario)
A1-->B
A2-->B
A3-->B
B{Cola}
B-->C[Mecanismo de servicio]
C-->D(Salida)"
,height = '100%', width = '100%')Donde las
Llegadas de los usuarios o tareas: Son los clientes de Midtown Bank (los cuales tienen llegadas a una tasa media de 40 por hora)
La cola: Linea de espera para poder tener acceso a los cajeros (donde suelen esperar en promedio un minuto).
El mecanismo de servicio: Son los dos cajeros (que requieren en promedio dos minutos para atender a los clientes.)
De esa forma al ser un sistema en el cual los “Usuarios”, pueden tener que esperar un tiempo para acceder al mecanismo de servicio, y podemos identificar, a los usuarios, la cola, y el mecanismo de servicio, el servicio de los dos cajeros de ventanilla de Midtown Bank, es un sistema de colas.
En especifico es una cola \(G/G/2\), si no asumimos ningún tipo de conocimiento sobre las distribuciones de este.
Sabemos que por definición
\(W_q:\) Tiempo de espera esperado en la cola.
\(W:\) Tiempo de espera esperado en el sistema.
\(L_q:\) Número esperado de clientes en la cola.
\(L:\) Número esperado de clientes en el sistema.
(Las cuales suponen que el sistema se halla en una condición de estado constante)
Donde el enunciado nos dice que los clientes esperan en la cola/fila:
” La experiencia ha mostrado que los clientes esperan en esa fila en promedio un minuto antes de que sean atendidos.”
Así
\[W_q = \text{Tiempo de espera esperado en la cola.}\]
Es de
\[W_q = 1 \;\; \text{minuto de espera promedio en la cola}\]
Donde para \(W:\) Tiempo de espera esperado en el sistema.
Usando la sugerencia que nos dice que “No conocemos las distribuciones de probabilidad de los tiempos entre llegadas y los tiempos de servicio de este sistema de colas, así que tendrá que usar las relaciones entre estas medidas de desempeño para resolver la pregunta”
Sabemos que podemos expresar a \(W\) como
\[W = W_q + \frac{1}{\mu}\]
Donde \(1/\mu = \text{tiempo de servicio esperado}\), y \(\mu = \text{tasa media de servicio}\).
Así como el enunciado nos dice “Un cajero requiere en promedio dos minutos para atender a un cliente.”
Con lo cual decimos que
Así
\[\frac{1}{\mu} = 2\;\;\text{minutos el tiempo de servicio esperado}\]
Así
\[W = W_q + \frac{1}{\mu} = 1 + 2 = 3\]
Así
\[W = \text{3 minutos es el tiempo de espera promedio en el sistema}\]
Ahora para \(L_q\)
\[L_q = \text{Número esperado de clientes en la cola.}\]
Usando el caso de la formula de little.
\[L_q = \lambda W_q\]
Donde
Donde \(\lambda= \text{Tasa media de llegadas de clientes que ingresan en el sistema de colas}\)
En nuestro caso, los clientes llegan a recibir servicio de un cajero a una tasa media de 40 por hora.
\[\lambda = \text{40 clientes por hora en promedio.}\]
Dado que \(\lambda\) esta expresado en horas y \(W_q\) en minutos, la pasamos a una misma escala.
Así sí en una hora llegan 40 clientes, para un minuto sabiendo que hay 60 minutos en una hora.
\[\frac{\text{40 clientes}}{\text{1 hora}} \times \frac{\text{1 hora}}{\text{60 minutos}} = \frac{2}{3} \;\text{clientes por minuto}\]
Así
\[\lambda = \text{40 clientes por hora en promedio = 2/3 clientes por minuto en promedio.}\]
\[L_q = \lambda W_q = (\text{2/3 clientes/minuto})\times (\text{1 minuto}) = \text{2/3 clientes esperados en la cola}\]
Y por ultimo
\[L = \text{Número esperado de clientes en el sistema.}\]
Donde usando la formula de little
\[L = \lambda W = (\text{2/3 clientes/minuto}) \times (\text{3 minutos}) = \text{2 clientes en el sistema en promedio.}\]
Así
\(W_q = 1 \;\; \text{minuto de espera promedio en la cola}\)
\(W = \text{3 minutos es el tiempo de espera promedio en el sistema}\)
\(L_q = \text{2/3 clientes esperados en la cola}\)
\(L = \text{2 clientes en el sistema en promedio.}\)
Mom-and-Pop’s Grocery Store tiene una pequeña área de estacionamiento adyacente, con tres sitios reservados para los clientes de la tienda. En las horas de trabajo, cuando el lote no está lleno, los autos ingresan a uno de los espacios a una tasa media de dos vehículos por hora. Cuando el lote está lleno, los autos que llegan se van y no regresan. Para \(n = 0, 1, 2, 3\), la probabilidad \(P_n\) de que exactamente n espacios estén siendo usados en este momento es \(P_0 = 0.2\), \(P_1 = 0.3\), \(P_2 = 0.3\), \(P_3 = 0.2\).
Describa cómo este lote de estacionamiento se puede interpretar como un sistema de colas. En particular, identifique a los clientes y servidores. ¿Cuál es el servicio que se proporciona? ¿Qué constituye un tiempo de servicio? ¿Cuál es la capacidad de la cola? (Sugerencia: Vea la tabla 11.4.)
Determine las medidas básicas de desempeño \(—L, L_q, W, W_q—\) de este sistema de colas. (Sugerencia: Puede usar las probabilidades dadas para determinar el número promedio de espacios de estacionamiento que se están usando.)
Use los resultados de la parte b para determinar el tiempo promedio que un auto se queda en el estacionamiento.
Como ya hemos mencionado buscamos una estructura como la siguiente.
DiagrammeR::mermaid(
"graph LR
A(Llegadas de usuarios o tareas) --> A1(Usuario)
A --> A2(Usuario)
A --> A3(Usuario)
A1-->B
A2-->B
A3-->B
B{Cola}
B-->C[Mecanismo de servicio]
C-->D(Salida)"
,height = '100%', width = '100%')Donde
Clientes: Autos que llegan al estacionamiento de la tienda.
Servidores: Sitios reservados para estacionar.
Servicio proporcionado: Estacionamiento para clientes.
Tiempo de servicio: Tiempo en el que el cliente deja su vehículo en el sitio reservado para estacionar, y al momento de salir luego de realizar compras en la tienda.
Capacidad de la cola: Basados en lo que dice el enunciado: “Cuando el lote está lleno, los autos que llegan se van y no regresan.” Lo que implica que tiene una capacidad nula (de cero).
Teniendo las \(P_n\) la mejor forma de calcular \(L\), como dice la sugerencia es:
\[L=\sum_{n=0}^{3}nP_n = 0\cdot 0.2 + 1\cdot 0.3 + 2 \cdot 0.3 + 3 \cdot 0.2 = \frac{3}{2}\]
Así para \(W\), a partir de \(L=\lambda W\) la formula de Little:
Y que el enunciado nos dice que “los autos ingresan a uno de los espacios a una tasa media de dos vehículos por hora”
Esto es \(\lambda = 2\)
\[L=\lambda W\] \[W = \frac{L}{\lambda} = \frac{3/2}{2}= \frac{3}{4}\]
Ahora sí la capacidad de la cola es nula para
\[L_q = \text{Cantidad esperada de vehiculos en la cola}\] \[W_q = \text{Tiempo de espera esperado de vehiculos en la cola}\]
Sera igual a cero
Así
\[L = \frac{3}{2}\;\; \text{Vehiculos en promedio en el sistema}\] \[L_q = \text{0 vehiculos en promedio en la cola}\] \[W = \frac{3}{4} \;\; \text{De hora esperados en el sistema}\] \[W_q = \text{0 Horas esperadas para los vehiculos en la cola}\]
Sí sabemos que
\[W = W_q + \frac{1}{\mu}\]
Con
\[\frac{1}{\mu} = \text{tiempo de servicio esperado}\]
\[\frac{1}{\mu} = W - W_q\]
\[\frac{1}{\mu} = \frac{3}{4}-0 = \frac{3}{4} \;\; \text{De hora esperados en el servicio}\]
Newell y Jeff son los dos dueños de una peluquería, que también trabajan allí. Tienen dos sillones para los clientes que estén esperando a que les hagan su corte de cabello, así que el número de clientes en la peluquería oscila entre cero y cuatro. Para \(n = 0, 1, 2, 3, 4\), la probabilidad \(P_n\) de que exactamente \(n\) clientes estén en la peluquería es \(P_0 = 1/16\), \(P_1 = 4/16\), \(P_2 = 6/16\), \(P_3 = 4/16\), \(P_4 = 1/16\)
Use la formula \(L = 0P_0 + 1P_1 + 2P_2 + 3P_3 + 4P_4\) para calcular \(L\). ¿Cómo describiría usted el significado de \(L\) a Newell y Jeff?
En cada uno de los posibles valores del número de clientes en el sistema de colas, especifique cuántos clientes se hallan en la cola. Multiplique cada uno de los posibles números de la cola por su probabilidad, y luego agregue estos productos para calcular \(L_q\). ¿Cómo describiría usted el significado de \(L_q\) a Newell y Jeff?
Dado que un promedio de cuatro clientes por hora llegan y se quedan para recibir un corte de cabello, determine \(W\) y \(W_q\). Describa estas dos cantidades en términos que entiendan Newell y Jeff
Dado que Newell y Jeff son igualmente rápidos en los cortes de cabello, ¿cuál es la duración promedio de un corte?
Sí
\(P_0 = 1/16\), \(P_1 = 4/16\), \(P_2 = 6/16\), \(P_3 = 4/16\), \(P_4 = 1/16\)
Entonces
\[L = \sum_{n=0}^{4} nP_n = 0\cdot 1/16 + 1\cdot 4/16 + 2\cdot6/16+3\cdot4/16+4\cdot1/16\]
\[L = 2\]
Lo que sabemos que se interpreta como la cantidad esperada de clientes en la peluquería, osea que la cantidad esperada de clientes en la peluquería es de dos.
Si comenzamos por “En cada uno de los posibles valores del número de clientes en el sistema de colas, especifique cuántos clientes se hallan en la cola.”
Así
Luego el algoritmo nos pide “Multiplique cada uno de los posibles números de la cola por su probabilidad”
Así para
\[n = \text{Número de clientes}\] \[\varphi = \text{Numero de personas en cola}\]
Así para el siguiente paso del algoritmo el producto de cada uno de los posibles números de la cola por su probabilidad es:
Para \(n=1,2,3,4\) requerimos calcular \(\varphi_n\cdot P_n\)
\[n=0 \Rightarrow 0\cdot P_0 = 0\cdot \frac{1}{16} = 0\]
\[n=1 \Rightarrow 0\cdot P_1 = 0\cdot \frac{4}{16} = 0\]
\[n=2 \Rightarrow 0\cdot P_2 = 0\cdot \frac{6}{16} = 0\]
\[n=3 \Rightarrow 1\cdot P_3 = 1\cdot \frac{4}{16} = \frac{4}{16} = \frac{1}{4}\]
\[n=4 \Rightarrow 2\cdot P_4 = 2\cdot \frac{1}{16} = \frac{2}{16}=\frac{1}{8}\]
Así el ultimo paso para calcular \(L_q\) como es planteado en el enunciado ” luego agregue estos productos”
Esto es decir que
\[L_q = \sum_{n=0}^{4} \varphi_nP_n = 0 +0 +0+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}=\frac{3}{8}=0.375\]
Donde como sabemos \(L_q\) es el número esperado de clientes en la cola, esto es el número de clientes promedio que esperan en cola es de \(0.375\).
El cual se puede explicar a Newell y a Jeff, por el hecho de que sí el número esperado de clientes en el sistema \(L\) es de \(2\) y para ese caso no teníamos cola, dado que con dos servidores ambos clientes serán atendidos, el valor esperado de que haya alguien en cola sera bajo, por eso ese valor de \(0.375\)
Donde
\[\lambda = \text{Tasa media de llegadas de clientes que ingresan en el sistema de colas}\]
Y el enunciado nos dice: “un promedio de cuatro clientes por hora llegan y se quedan para recibir un corte de cabello”
\[\lambda = \text{4 clientes por hora en promedio.}\]
Sí son 4 clientes en una hora en minutos tenemos
\[\frac{\text{4 clientes}}{\text{1 hora}} \times \frac{\text{1 hora}}{\text{60 minutos}} = \frac{4}{60} \;\text{Clientes por minuto}\]
Sí usamos la formula de Little
\[L = \lambda W \Rightarrow W=\frac{L}{\lambda}\]
Así
\[W = \frac{L}{\lambda} = \frac{2}{\frac{4}{60}} = \text{30 minutos}\]
Así
\[W = \text{30 minutos es el tiempo de espera promedio en el sistema}\]
\[L_q = \lambda W_q\]
Y sabemos que \(L_q = \frac{3}{8}\)
Así
\[L_q = \lambda W_q \Rightarrow W_q = \frac{L_q}{\lambda}\]
Así
\[W_q = \frac{L_q}{\lambda} = \frac{\frac{3}{8}}{\frac{4}{60}}=\frac{180}{32}=5.625\]
\[W_q = \text{5.625 minutos de espera promedio en la cola}\]
La forma de describir estas cantidades a Newell y a Jeff son:
Para \(W\), es que el tiempo de espera promedio de los clientes en la peluquería es de 30 minutos, para todo el servicio.
Para \(W_q\) es que el tiempo de espera promedio de los clientes en la peluquería haciendo cola es de 5.6 minutos.
Buscamos, dado que las tasas de servicio son iguales por lo que dice el enunciado.
\[\frac{1}{\mu} = \text{Tiempo de servicio esperado}\]
Donde \(\mu = \text{Tasa media del servicio}\)
Así de
\[W = W_q + \frac{1}{\mu}\]
\[\frac{1}{\mu} = W - W_q\]
\[\frac{1}{\mu} = (\text{30 minutos})-(\text{5.625 minutos})\] \[\frac{1}{\mu} = (\text{24.375 minutos})\]
Así al ser dos, y asumir que tardan lo mismo \(s=2\) siendo Jeff y Newell los servidores, así el tiempo de servicio esperado de Jeff y Newell es de \(24.375\) minutos.
Explique por qué el factor de utilización \(\rho\) del servidor en un sistema de colas de un solo servidor debe igualar a \(1 – P_0\), donde \(P_0\) es la probabilidad de tener cero clientes en el sistema.
A nivel matemático
Sí partimos de:
\[(\lambda_n + \mu_n)p_n = \lambda_{n-1}p_{n-1}+\mu_{n+1}p_{n+1}\;;\;\;\; n\ge1\] \[\lambda_0p_0=\mu_1p_1\;;\;\;\;\;n=0\]
Que es un modelo de nacimiento y muerte (estacionario, dado que todos los modelos estudiados estamos operando bajo este supuesto.), partimos de este dado que es de los modelos mas fundamentales para la teoría de colas, la cola \(M/M/C\), están construidas en torno a este.
Y ademas el enunciado nos dice que es un modelo de un solo servidor así que estamos bajo un \(M/M/1\)
Donde al despejar \(p_1\) de esta ultima expresión
\[p_1 = \frac{\lambda_0p_0}{\mu_1}\]
E iterando la secuencia de \(n=1,2,3,...\)
\[p_1 = \frac{\lambda_0p_0}{\mu_1}\]
\[p_2 = \frac{\lambda_1\lambda_0p_0}{\mu_2\mu_1}\] \[.\] \[.\] \[.\]
\[p_n = \frac{\lambda_{n-1}...\lambda_0p_0}{\mu_n\mu_{n-1}...\mu_1}\]
Así esto es igual a escribir
\[p_n = \frac{\prod_{i=0}^{n-1}\lambda_i }{\prod_{j=1}^{n} \mu_j}p_0\]
Así usando la notación estándar, nombramos a \(c_n\)
\[p_n = \underbrace{\frac{\prod_{i=0}^{n-1}\lambda_i }{\prod_{j=1}^{n} \mu_j}}_{c_n}p_0\]
Así podemos reescribir la iteración como
\[p_1=c_1p_0\] \[.\] \[.\] \[.\] \[p_n = c_n p_0\]
Recordando que una función de masa cumple que
\[p_0+p_1+p_2+...=1\]
Entonces para \(p_n=c_np_0\)
\[p_n=p_0+c_1p_0+c_2p_0+c_3p_3+...=1\] Lo que es igual a \[(1+c_1+c_2+c_3+...)p_0=1\]
Así
\[p_0 = \frac{1}{1+\sum_{n=1}^{\infty}c_n}\]
Donde
\[c_n = \rho = \frac{\prod_{i=0}^{n-1}\lambda_i }{\prod_{j=1}^{n} \mu_j}\]
Pero al ser estacionario todos estos toman el mismo valor esto es
\[c_n = \rho_{ij} = \frac{\prod_{i=0}^{n-1}\lambda }{\prod_{j=1}^{n} \mu} = \left(\frac{\lambda}{\mu} \right)^n=\rho^n\]
Así sustituimos en la expresión de \(p_0\)
\[p_0 = \frac{1}{1+\sum_{n=1}^{\infty}\rho^n}\]
Donde para \(\rho<1\) que es el factor de utilización y lo asumimos menor a uno esta es una serie geométrica de la forma
\[\sum_{n=1}^{\infty} \rho^n =\sum_{n=1}^{\infty} \rho\rho^{n-1}= \frac{\rho}{1-\rho}\]
Así \(p_0\) queda como
\[p_0 = \frac{1}{1+\frac{\rho}{1-\rho}} = 1-\rho \Rightarrow \rho=1-p_0\]
Que es la relación buscada
A nivel conceptual
Una explicación de esa relación es que \(1-p_0\) se puede interpretar como la probabilidad de que el servidor esta siendo usado, y por lo tanto esta debe de ser igual a \(\rho\) que es el factor de utilización o que tanto están siendo usados los servidores.
Considere los siguientes enunciados sobre el modelo de colas \(M/G/1\), en que \(\sigma^2\) es la varianza de los tiempos de servicio. Califique cada enunciado como cierto o falso, y luego justifique su respuesta.
El incremento de \(\sigma^2\) (con \(\lambda\) y \(\mu\) fijas) incrementará \(L_q\) y \(L\), pero no cambiará \(W_q\) ni \(W\).
Cuando se tiene que elegir entre una tortuga (\(\mu\) y \(\sigma^2\) pequeñas) y una liebre (\(\mu\) y \(\sigma^2\) grandes) como servidores, la tortuga gana siempre porque tiene una \(L_q\) más pequeña.
Con \(\lambda\) y \(\mu\) fijas, el valor de \(L_q\) con una distribución exponencial de tiempo de servicio es dos veces mayor que con tiempos constantes de servicio.
Falso
Dado que como nos dice el texto
“La formula de \(L_q\) tiene un efecto radical en la reducción de \(L_q\). Como esto lo ilustra, la fórmula \(L_q\) para el modelo \(M/G/1\) es esclarecedora, porque revela el efecto que la variación de la distribución del tiempo de servicio tiene sobre esta medida de desempeño. Con valores fijos de \(\lambda\), \(\mu\) y \(\rho\) reducir esta variación (es decir, \(\sigma\)) reduce definitivamente \(L_q\). Lo mismo sucede con \(L\), \(W\) y \(W_q\).”
Lo que en realidad quiere decir es que las formulas de \(L\), \(L_q\), \(W\), y \(W_q\), son dependientes de los cambios de \(\sigma^2\) con \(\lambda\) y \(\mu\) fijas.
Para un modelo \(M/G/1\)
Lo cual es natural al observar las formas funcionales de estos
\[L_q = \frac{\lambda^2\sigma^2+\rho^2}{2(1-\rho)}\]
\[L=L_q+\rho\]
\[W_q = \frac{L_q}{\lambda}\]
\[W = W_q + \frac{1}{\mu}\]
Donde se observa como obviamente
Observamos como estas dependen todas de \(L_q\) de alguna forma dado que estas se pueden escribir como
\[L_q = \frac{\lambda^2\sigma^2+\rho^2}{2(1-\rho)}\]
\[L=\frac{\lambda^2\sigma^2+\rho}{2(1-\rho)}+\rho\]
\[W_q = \frac{\frac{\lambda^2\sigma^2+\rho^2}{2(1-\rho)}}{\lambda} = \frac{\lambda^2\sigma^2+\rho^2}{2\lambda(1-\rho)}\]
\[W = \frac{\lambda^2\sigma^2+\rho^2}{2\lambda(1-\rho)} + \frac{1}{\mu}\]
Con \(\rho = \frac{\lambda}{\mu}\)
Se observa de esta forma que al estar \(\sigma^2\) en el numerador de todas las expresiones y asumiendo que \(\lambda\) y que \(\mu\) son fijas, si incrementa \(\sigma^2\) causara un incremento en todas las expresiones no solamente en \(L_q\) y \(L\).
Falso
Por el hecho que de \(L_q\) es determinado también por \(\lambda\), este funcionalmente es de la forma:
\[L_q = \frac{\lambda^2\sigma^2+\rho^2}{2(1-\rho)}\]
Y a pesar de que la tortuga tenga una variación mas baja al atender, también su tasa media de servicio es mas baja lo que implica que es mas lenta, y en casos limites donde \(\lambda\), la tasa media de llegadas sea muy alta cerca a la de servicios \(\mu\), la liebre a pesar de que varia mas al atender, va a despachar mas rápido.
El contraejemplo se puede presentar de la siguiente manera
| Valor | Tortuga | Liebre |
|---|---|---|
| \(\mu\) | 6 | 9 |
| \(\sigma^2\) | 5 | 8 |
| \(\lambda\) | 5.7 | 5.7 |
Lo cual es decir que la tasa media de llegadas es de \(\lambda = 5.7\) clientes por hora, para ambas dado que son del mismo servidor.
A parte de eso cumplimos con las suposiciones del enunciado, la tasa media de servicio y la variación de esta es menor que la de la liebre.
Así que al calcular el \(L_q\) de ambas tenemos, con \(\rho=\frac{\lambda}{\mu}\)
Tortuga
## [1] 8131.525\[L_q = \frac{(5.7)^25^2+\left(\frac{5.7}{6} \right)^2}{2(1-\frac{5.7}{6})} = 8131.5\]
Liebre
## [1] 2836.038\[L_q = \frac{(5.7)^28^2+\left(\frac{5.7}{9} \right)^2}{2(1-\frac{5.7}{9})} = 2836.03\]
Así observamos como en casos extremos a pesar de que la liebre tenga mas variación de servicio, al tener una tasa media mas alta logra despachar mas rápido a los clientes cuando la tasa media de llegadas de los clientes, \(\lambda\) es alta.
Con este contra ejemplo se muestra que el enunciado del ejercicio es falso.
Verdadero
Dado que supongamos que la distribución de tiempos de servicio es la distribución exponencial con media \(\frac{1}{\mu}\)
Se cumple que
\[\sigma=\text{media}=\frac{1}{\mu}\; \text{para la distribución exponencial}\]
Y usando que
\[L_q = \frac{\lambda^2\sigma^2+\rho^2}{2(1-\rho)}\]
Sustituyendo
\[L_q = \frac{\lambda^2\frac{1}{\mu^2}+\rho^2}{2(1-\rho)} = \frac{\rho^2+\rho^2}{2(1-\rho)} = \frac{\rho^2}{(1-\rho)}\]
Pero sí se supone que la distribución de tiempo de servicio es la distribución degenerativa (tiempos de servicio constantes) es decir
\[\sigma = 0\; \text{Para la distribución generativa}\]
La formula \(L_q\) es
\[L_q = \frac{\lambda^2 (0)+\rho^2}{2(1-\rho)} = \frac{1}{2}\frac{\rho^2}{(1-\rho)}\]
Que es la mitad para \(\lambda\) y \(\mu\) fijas con una distribución exponencial para modelar los tiempos de servicios, por lo tanto es cierto que con \(\lambda\) y \(\mu\) fijas, el valor de \(L_q\) con una distribución exponencial de tiempo de servicio es dos veces mayor que con tiempos constantes de servicio.
El Security & Trust Bank tiene cuatro empleados para atender a sus clientes en ventanilla. Los clientes llegan de manera aleatoria a una tasa media de dos por minuto. Sin embargo, las operaciones se están incrementando y la administración proyecta que la tasa media de llegadas será de tres por minuto dentro de un año. El tiempo de la transacción entre el empleado y el cliente tiene una distribución exponencial con una media de un minuto.
La administración ha establecido los siguientes lineamientos para un nivel de servicio satisfactorio para el cliente. El número promedio de clientes esperando en la cola para ser atendidos, no debe exceder de uno. Por lo menos en 95 por ciento de los casos, el tiempo pasado en la cola en espera de ser atendido, no debe exceder cinco minutos.
Use el modelo M/M/s para determinar qué tan bien se satisfacen actualmente estos lineamientos.
Determine qué tan bien se satisfarán estos lineamientos dentro de un año, si no cambia el número de empleados en las ventanillas.
Determine cuántos cajeros se necesitarán en un año para satisfacer estos lineamientos por completo.
Los lineamientos del modelo basados en el enunciado son:
Donde la tasa media de llegadas es de \(\lambda = 2\), el tiempo esperado en servicio es \(\frac{1}{\mu} = \text{1 minuto}\)y la tasa media de servicio \(\mu = 1\) minutos, y con cuatro empleados.
library(queueing)
# Tasa media de llegada
lambda_11.22 <- 2
# Tasa media de servicio
mu_11.22 <- 1
# Número de servidores
s_11.22 <- 4
# Función de los datos del modelo
mmcinput_11.22a <- NewInput.MMC(lambda_11.22, mu_11.22, s_11.22)
# Modelo
mmcqueue_11.22 <- QueueingModel(mmcinput_11.22a)De la formula
\[L_q = \frac{\lambda^{s+1}p_0}{(s-1)!\mu^{s-1}(s\mu-\lambda^2)}\]
## [1] 0.173913En donde
\[L_q = 0.173913 < 1\]
Así que si se cumple el primer lineamiento
Usando
\[P(W_q<t)=W_q(t)=1-\frac{\lambda^sp_0}{(s-1)!\mu^{s-1}(s\mu-\lambda)}e^{-(s\mu-\lambda)t}\]
## [1] 0.9999921Así
\[P(W_q < \text{5 Minutos})\ge 0.95 \Rightarrow 0.9999921 \ge 0.95\]
Por lo cual si se cumple el segundo lineamiento.
Por lo tanto \(M/M/4\), con \(\lambda=2\), \(\mu=1\), y \(s=4\) si cumple con los lineamientos.
Dentro de un año, el enunciado nos indica que la tasa media de clientes sera de \(\lambda = \text{3 minutos}\)
Así
# Tasa media de llegada
lambda_11.22.b <- 3
# Tasa media de servicio
mu_11.22 <- 1
# Número de servidores
s_11.22 <- 4
# Función de los datos del modelo
mmcinput_11.22b <- NewInput.MMC(lambda_11.22.b, mu_11.22, s_11.22)
# Modelo
mmcqueue_11.22b <- QueueingModel(mmcinput_11.22b)Ahora verificamos
De la formula
\[L_q = \frac{\lambda^{s+1}p_0}{(s-1)!\mu^{s-1}(s\mu-\lambda^2)}\]
## [1] 1.528302En donde
\[L_q = 1.528302 > 1\]
Así que no se cumple el primer lineamiento, osea el número esperado de clientes en esta cola excede uno.
Usando
\[P(W_q<t)=W_q(t)=1-\frac{\lambda^sp_0}{(s-1)!\mu^{s-1}(s\mu-\lambda)}e^{-(s\mu-\lambda)t}\]
## [1] 0.9965675Así
\[P(W_q < \text{5 Minutos})\ge 0.95 \Rightarrow 0.9965675 \ge 0.95\]
El segundo lineamiento si se esta cumpliendo.
Sabemos que para el primer caso con \(\lambda=2\), \(\mu=1\), y \(s=4\) si cumple con los lineamientos.
Para el segundo con \(\lambda = \text{3 minutos}\), y con \(\mu=1\) y \(s=4\), no se cumple el primero.
Ahora si probamos aumentando un servidor, esto es \(\lambda = \text{3 minutos}\), y con \(\mu=1\) y \(s=5\)
# Tasa media de llegada
lambda_11.22.b <- 3
# Tasa media de servicio
mu_11.22 <- 1
# Número de servidores
s_11.22c <- 5
# Función de los datos del modelo
mmcinput_11.22c <- NewInput.MMC(lambda_11.22.b, mu_11.22, s_11.22c)
# Modelo
mmcqueue_11.22c <- QueueingModel(mmcinput_11.22c)Ahora verificamos
De la formula
\[L_q = \frac{\lambda^{s+1}p_0}{(s-1)!\mu^{s-1}(s\mu-\lambda^2)}\]
## [1] 0.3542274\[L_q = 0.3542274 < 1\]
Sí cumple el primer lineamiento esto es que el número promedio de clientes esperando en la cola para ser atendidos, no debe exceder de uno.
Usando
\[P(W_q<t)=W_q(t)=1-\frac{\lambda^sp_0}{(s-1)!\mu^{s-1}(s\mu-\lambda)}e^{-(s\mu-\lambda)t}\]
## [1] 0.9999893Así
\[P(W_q < \text{5 Minutos})\ge 0.95 \Rightarrow 0.9999893 \ge 0.95\]
El segundo lineamiento si se esta cumpliendo, esto es que por lo menos en 95 por ciento de los casos, el tiempo pasado en la cola en espera de ser atendido, no debe exceder cinco minutos.
De esta forma concluimos que para
\(\lambda=2\), \(\mu=1\), con cuatro servidores \(s=4\) se cumplen con los lineamientos.
Y para
\(\lambda=3\), \(\mu=1\), con cinco servidores \(s=5\) se cumplen con los lineamientos.
Vea otra vez el modelo \(M/M/s\). En cada uno de los siguientes dos casos, genere una tabla de datos que dé los valores de \(L\), \(L_q\), \(W\), \(W_q\) y \(P\{^º\mathcal{W} > 5 \}\) para las siguientes tasas medias de llegadas: \(0.5, 0.9\) y \(0.99\) clientes por minuto.
Supongamos que hay un servidor y que el tiempo esperado de servicio es un minuto. Compare L con los casos en que la tasa media de llegadas es \(0.5, 0.9\) y \(0.99\) clientes por minuto, respectivamente. Haga lo mismo para \(L\), \(L_q\), \(W\), \(W_q\) y \(P\{^º\mathcal{W} > 5\}\) . ¿Qué conclusiones se obtiene del impacto de incrementar el factor de utilización \(\rho\) de valores pequeños (por ejemplo, \(\rho = 0.5)\) hasta valores bastante grandes (por ejemplo, \(\rho = 0.9)\) y luego a valores todavía mayores muy cerca de 1 (por ejemplo, \(\rho =0.99\))?
Suponga ahora que hay dos servidores y que el tiempo esperado de servicio es dos minutos. Siga las instrucciones de la parte a.
Sí asumimos un servidor y el tiempo esperado de servicio es de un minuto para las siguientes tasas de llegadas.
\[\lambda = \begin{cases} 0.5\\ 0.9\\ 0.99 \end{cases}\]
Sí
\[\frac{1}{\mu} = 1\;\text{minuto tiempo esperado de servicio}\] Entonces
\[\mu = \text{1 minuto, es la tasa media de servicio}\]
# Modelos
Queues <- c("Lambda = 0.5",
"Lambda = 0.9",
"Lambda = 0.99")
# Número esperado de clientes en el sistema
L <- c(mmcqueue_1a$L,mmcqueue_2a$L,mmcqueue_3a$L)
# Número esperado de clientes en cola
Lq <- c(mmcqueue_1a$Lq,mmcqueue_2a$Lq,mmcqueue_3a$Lq)
# Tiempo de espera esperado en el sistema
W <- c(mmcqueue_1a$W,mmcqueue_2a$W,mmcqueue_3a$W)
# Tiempo de espera esperado en la cola.
Wq <- c(mmcqueue_1a$Wq,mmcqueue_2a$Wq,mmcqueue_3a$Wq)
# Probabilidad de que el tiempo de espera sea mayor a cinco minutos
P.oW <- c(1-mmcqueue_1a$FW(5), 1-mmcqueue_2a$FW(5), 1-mmcqueue_3a$FW(5))
# Factor de utilización
rho <- c(mmcqueue_1a$RO, mmcqueue_2a$RO, mmcqueue_3a$RO)
# Formación de data frame de la tabla
tabla.1 <- data.frame(Queues, L, Lq, W, Wq, P.oW, rho)
library(dplyr)
# Redondeando los valores
#(Uso dplyr porque me gusta mucho el framework tidyverse)
a <- tabla.1 %>% mutate_at(vars(L, Lq, W, Wq, P.oW, rho), funs(round(., 5)))
# Presentación con paquete Data.Table (me gusta mas que R base)
DT::datatable(a, caption = "Tabla de Resultados, M/M/1",
colnames = c("Queues", "L", "Lq", "W", "Wq", "P(o^W > 5)", "rho"))Donde al comparar las medidas de desempeño si empezamos con \(L\) el número esperado de clientes en el sistema, observamos como aumenta rápidamente conforme aumenta la tasa media de llegadas en el sistema, lo cual es bastante razonable teniendo en cuenta que si en promedio la tasa de llegadas medias aumenta, también es natural que el número esperado de clientes también aumente.
Para \(L_q\) el número esperado de clientes en cola, le pasa lo mismo que al número de clientes en el sistema, aumenta conforme la tasa media de llegadas \(\lambda\), lo cual también es de esperarse, con una tasa media de llegadas mas altas, también habrá un número esperado de clientes alto en cola.
Para \(W\), el tiempo de espera esperado en el sistema, como \(W_q\) que es el tiempo de espera esperado en la cola, aumentan conforme a que la tasa media de llegadas \(\lambda\) también aumente, como también es de esperarse que \(W_q\) también aumente.
Para el caso de \(P\{^º\mathcal{W} > 5 \}\), que representa la probabilidad de que el tiempo de espera sea mayor a cinco minutos, de igual forma que los casos anteriores, observamos que cada que la tasa media de llegada aumenta, también la probabilidad de que el tiempo de espera sea mayor a cinco minutos también aumente, lo cual también es del todo plausible.
También para el caso del factor de utilización, observamos como este va aumentando de \(\rho = 0.5\), a \(\rho = 0.9\) a \(\rho = 0.99\), lo que implica que por cada que aumente la tasa media de llegadas el factor de utilización estará mas próximo a uno, lo cual es obvio a nivel matemático, dado que \(\rho = \frac{\lambda}{\mu}\), y también a un nivel conceptual dado que implica que el la tasa media de llegadas supera a la tasa media de servicio, lo que significa que por cada que aumente la tasa media de llegadas al servidor le costara mas mantenerse al paso de estas, y se pone en peligro la condición de estado constante.
Partiendo de los datos que nos da el enunciado:
\[\lambda = \begin{cases} 0.5\\ 0.9\\ 0.99 \end{cases}\]
Sí
\[\frac{1}{\mu} = 2\;\text{minutos tiempo esperado de servicio}\] Entonces
\[\mu = \frac{1}{2}\;\;\text{minutos, es la tasa media de servicio}\]
# Número esperado de clientes en el sistema
L.b <- c(mmcqueue_1b$L,mmcqueue_2b$L,mmcqueue_3b$L)
# Número esperado de clientes en cola
Lq.b <- c(mmcqueue_1b$Lq,mmcqueue_2b$Lq,mmcqueue_3b$Lq)
# Tiempo de espera esperado en el sistema
W.b <- c(mmcqueue_1b$W,mmcqueue_2b$W,mmcqueue_3b$W)
# Tiempo de espera esperado en la cola.
Wq.b <- c(mmcqueue_1b$Wq,mmcqueue_2b$Wq,mmcqueue_3b$Wq)
# Probabilidad de que el tiempo de espera sea mayor a cinco minutos
P.oW.b <- c(1-mmcqueue_1b$FW(5), 1-mmcqueue_2b$FW(5), 1-mmcqueue_3b$FW(5))
# Factor de utilización
rho.b <- c(mmcqueue_1b$RO, mmcqueue_2b$RO, mmcqueue_3b$RO)
# Formación de data frame de la tabla
tabla.2 <- data.frame(Queues, L.b, Lq.b, W.b, Wq.b, P.oW.b, rho.b)
# Redondeando los valores
b <- tabla.2 %>% mutate_at(vars(L.b, Lq.b, W.b, Wq.b, P.oW.b, rho.b), funs(round(., 5)))
# Presentación con paquete Data.Table (me gusta mas que R base)
DT::datatable(b, caption = "Tabla de Resultados M/M/2",
colnames = c("Queues", "L", "Lq", "W", "Wq", "P(o^W > 5)", "rho"))Donde para \(L\), y \(L_q\), se observa como también aumentan, al aumentar \(\lambda\), como en el caso de un servidor, el número de esperado de clientes en el sistema o en la cola se espera que aumente si la tasa media de llegadas aumenta.
Se puede decir lo mismo para \(W\) y \(W_q\) el tiempo esperado en el sistema como en la cola también aumentara teniendo en cuenta que también esta aumentando la tasa media de llegadas.
Para \(P\{^º\mathcal{W} > 5 \}\) que representa que la probabilidad de que el tiempo de espera sea mayor a cinco minutos aumenta también conforme a que la tasa media de llegadas aumenta.
Como también el factor de utilización aumenta mas lentamente, y cambia dramáticamente de cuando se tenia un solo servidor.
Se puede decir que repite el patrón del caso anterior, pero, observamos como el efecto de añadir un servidor hace que el crecimiento de estas medidas de desempeño sea mas bajo. Con lo que podemos concluir que con dos servidores y una tasa media de servicio de 0.5 minutos es un sistema mas eficiente que tener un solo servidor, a una tasa media de 1 minuto, dado que es mas fácil que la tasa media de llegadas puede abrumar a un solo servidor y no sea capaz de manejar efectivamente la demanda de llegadas, a pesar de que el factor de utilización es mas bajo, lo que deja a los servidores con mucho tiempo libre dependiendo de la tasa media de llegadas, así que dependiendo de la situación, y la exigencia del servicio, se decidiría entre tener uno o dos servidores.
Considere otra vez el modelo \(M/M/s\) con una tasa media de llegadas de \(10\) clientes por hora y un tiempo esperado de servicio de cinco minutos. Use la plantilla de Excel para este modelo para hallar las diversas medidas de desempeño (con \(t = 10\) y \(t = 0\), respectivamente, para las dos probabilidades de tiempo de espera) cuando el número de servidores es uno, dos, tres, cuatro y cinco. Luego, para cada uno de los siguientes criterios posibles de un nivel de servicio satisfactorio (en que la unidad de tiempo es un minuto), use los resultados impresos y determine cuántos servidores se requieren para satisfacer este criterio.
\(L_q \le 0.25\)
\(L \le 0.9\)
\(W_q \le 0.1\)
\(W \le 6\)
\(P\{^o\mathcal{W}_q > 0 \} \le 0.01\)
\(P\{^o\mathcal{W} > 10 \} \le 0.2\)
\(\sum_{n=0}^{s} P_n \ge 0.95\)
Sí
\[\lambda=\text{10 clientes por hora}=\frac{1}{6}\; \text{clientes por minuto}\]
\[\frac{1}{\mu} = \text{5 minutos, tiempo esperado de servicio}\]
Esto es
\[\mu =\frac{1}{5}\; \text{minutos}\]
Para \(t=10\) y \(t=0\)
con \(s=1,2,3,4,5\)
# Tasa media de llegadas
lambda.11.24 <- (1/6)
# Tasa media de servicio
mu.11.24 <- (1/5)
# Servidores
s.11.24.1 <- 1
#n-esimas probabilidades
n <- 1
# Función de datos
mmcinput_11.24.1 <- NewInput.MMC(lambda.11.24,mu.11.24,s.11.24.1,n)
# Modelo/Cola/Queue
mmcqueue_11.24.1 <- QueueingModel(mmcinput_11.24.1)Modelos <- c("s=1", "s=2", "s=3", "s=4", "s=5")
L <- c(mmcqueue_11.24.1$L, mmcqueue_11.24.2$L, mmcqueue_11.24.3$L, mmcqueue_11.24.4$L, mmcqueue_11.24.5$L)
Lq <- c(mmcqueue_11.24.1$Lq, mmcqueue_11.24.2$Lq, mmcqueue_11.24.3$Lq, mmcqueue_11.24.4$Lq, mmcqueue_11.24.5$Lq)
W <- c(mmcqueue_11.24.1$W, mmcqueue_11.24.2$W, mmcqueue_11.24.3$W, mmcqueue_11.24.4$W, mmcqueue_11.24.5$W)
Wq <- c(mmcqueue_11.24.1$Wq, mmcqueue_11.24.2$Wq, mmcqueue_11.24.3$Wq, mmcqueue_11.24.4$Wq, mmcqueue_11.24.5$Wq)
PWq0 <- c(1-mmcqueue_11.24.1$FWq(0), 1-mmcqueue_11.24.2$FWq(0), 1-mmcqueue_11.24.3$FWq(0), 1-mmcqueue_11.24.4$FWq(0), 1-mmcqueue_11.24.5$FWq(0))
PW10 <- c(1-mmcqueue_11.24.1$FW(10), 1-mmcqueue_11.24.2$FW(10), 1-mmcqueue_11.24.3$FW(10), 1-mmcqueue_11.24.4$FW(10), 1-mmcqueue_11.24.5$FW(10))
sm <- c(sum(mmcqueue_11.24.1$Pn), sum(mmcqueue_11.24.2$Pn), sum(mmcqueue_11.24.3$Pn), sum(mmcqueue_11.24.4$Pn), sum(mmcqueue_11.24.5$Pn))
tabla.3 <- data.frame(Modelos, L, Lq, W, Wq, PWq0, PW10, sm)
c <- tabla.3 %>% mutate_at(vars(L, Lq, W, Wq, PWq0, PW10, sm),
funs(round(., 5)))
DT::datatable(c, caption = "Tabla Resultados M/M/s, s=1,2,3,4,5",
colnames = c("Modelos","L", "Lq","W","Wq","P{Wq>0)","P{W>10}","Sum Pn"))Ahora podemos responder desde la tabla.
\(L_q \le 0.25\)
La cual se cumple para \(s=2,3,4,5\), esto es dos o mas servidores.
Esto es el número esperado de clientes en la cola sera menor a 0.25 para dos o mas servidores.
\(L \le 0.9\)
Se cumple para \(s=3,4,5\), esto es para 3 o mas servidores.
Esto es el número esperado de clientes en el sistema sera menor a 0.9 para tres o mas servidores.
\(W_q \le 0.1\)
Se cumple para \(s=4, 5\), esto es para 4 o mas servidores.
El tiempo de espera esperado en la cola sera menor a 0.1 para 4 o mas servidores.
\(W \le 6\)
Se cumple para \(s=3,4,5\), esto es para 3 o mas servidores.
El tiempo de espera esperado en el sistema sera menor a 6 para 3 o mas servidores.
\(P\{^o\mathcal{W}_q > 0 \} \le 0.01\)
Se cumple para \(s=5\), esto es para cinco o mas servidores.
Para que el tiempo de espera en la cola no exceda cero minutos por lo menos para 1 por ciento de los clientes, se requieren desde cinco o mas servidores.
\(P\{^o\mathcal{W} > 10 \} \le 0.2\)
Se cumple para \(s=2,3,4,5\), esto es para 2 o mas servidores.
Para que el tiempo de espera en el sistema no exceda diez minutos por lo menos para 20 por ciento de los clientes, se requieren desde dos o mas servidores.
\(\sum_{n=0}^{s} P_n \ge 0.95\)
Se cumple para \(s=3,4,5\), esto es para 3 o mas servidores.
Si se desea no más de \(s\) clientes en el sistema por lo menos 95 por ciento del tiempo, esto se lograra con 3 o mas servidores.
De esta forma se finalizan los ejercicios asignados del material “Modelos de Cola”, en el cual se estudiaron conceptos, teoría y aplicación de estos.