Resolución:

a) Calcular los parámetros de la distribución posterior.

y1 <- 600
y2 <- 800
y3 <- 200
alpha.1 <- 4
alpha.2 <- 3
alpha.3 <- 2

alpha.post.1 <- alpha.1 + y1
alpha.post.2 <- alpha.2 + y2
alpha.post.3 <- alpha.3 + y3

alpha.post.1

## [1] 604

alpha.post.2

## [1] 803

alpha.post.3

## [1] 202

Entonces, la distribución posterior será:

\[θ|y \sim D(\alpha_{1}^{1600} =604,\alpha _{2}^{1600} = 803,\alpha _{3}^{1600} = 202)\]

b) Usar el proceso de simulación para estimar la diferencia entre las proporciones de los que prefieren Samsung y Apple θ1- θ2 considerando 1500 números pseudoaleatorios y set.seed(2024).

library(mixAK)
set.seed(2024)
theta <- rDirichlet(1500, alpha = c(alpha.post.1, alpha.post.2, alpha.post.3))
head(theta)

##        [,1]      [,2]      [,3]
## 1 0.3819899 0.4963491 0.1216610
## 2 0.3603992 0.5120326 0.1275683
## 3 0.3687540 0.5121278 0.1191181
## 4 0.3734507 0.5016674 0.1248819
## 5 0.3457322 0.5174862 0.1367816
## 6 0.3531595 0.5086112 0.1382293

# Estimación de preferencia para las marcas
colMeans(theta)

## [1] 0.3750016 0.4994016 0.1255967

Observando la diferencia entre las proporciones:

hist(theta[, 1] - theta[, 2], freq = FALSE)

De acuerdo a la respuesta de los encuestados, se podría afirmar que la marca Apple (𝜃2) tiene ventaja sobre la marca Samsung (𝜃1).

# Ventaja de preferencia para la marca Samsung sobre Apple
mean(theta[, 1] - theta[, 2])

## [1] -0.1244

# Intervalo de credibilidad para la diferencia al 95%
alfa = 1 - 95/100
quantile(theta[, 1] - theta[, 2], c(alfa/2, 1 - alfa/2))

##        2.5%       97.5% 
## -0.17139453 -0.07836468