Prueba del Eigenvalor Máximo:

• Estadístico de Prueba: \(\ell_{r+1}^{*}-\ell_{r}^{*}=-\frac{T}{2} \ln \left(1-\widehat{\lambda}_{r+1}\right)\)

Este estadístico compara la verosimilitud entre dos modelos consecutivos con diferentes números de relaciones de cointegración (\(r\) y \(r+1\)). Un valor grande del estadístico sugiere evidencia a favor de \(r+1\) relaciones de cointegración sobre \(r\). Bajo la hipótesis nula de \(r\) relaciones de cointegración, este estadístico sigue aproximadamente una distribución chi-cuadrado con \(r+1\) grados de libertad.

Prueba de la Traza:

• Estadístico de Prueba: \(\ell_{A}^{*}-\ell_{0}^{*}=-\frac{T}{2} \sum_{i=r+1}^{n} \log \left(1-\widehat{\lambda}_{i}\right)\)

Este estadístico compara la verosimilitud entre un modelo con \(r\) relaciones de cointegración y el modelo sin restricciones (\(n\) relaciones de cointegración). Un valor grande sugiere evidencia a favor de al menos \(r+1\) relaciones de cointegración. Bajo la hipótesis nula de \(r\) relaciones de cointegración, este estadístico sigue aproximadamente una distribución chi-cuadrado con \(n-r\) grados de libertad.

Prueba del Eigenvalor Máximo:

1. Hipótesis Nula (\(H_0\)): \(r\) relaciones de cointegración.
2. Decisión:
   • Rechazar \(H_0\): Si el estadístico de prueba \(\ell_{r+1}^{*}-\ell_{r}^{*}\) es significativamente mayor que el valor crítico chi-cuadrado con \(r+1\) grados de libertad.
   • No Rechazar \(H_0\): Si el estadístico de prueba no es significativamente mayor que el valor crítico.

Prueba de la Traza:

1. Hipótesis Nula (\(H_0\)): \(r\) relaciones de cointegración.
2. Decisión:
   • Rechazar \(H_0\): Si el estadístico de prueba \(\ell_{A}^{*}-\ell_{0}^{*}\) es significativamente mayor que el valor crítico chi-cuadrado con \(n-r\) grados de libertad.
   • No Rechazar \(H_0\): Si el estadístico de prueba no es significativamente mayor que el valor crítico.

La hipótesis nula (\(H_0\)) en el contexto de las pruebas de Johansen para cointegración de series temporales se relaciona con el número de relaciones de cointegración en el sistema.La hipótesis nula establece un número específico de relaciones de cointegración (r) entre las series temporales.

Estableciendo una semilla (seed), los resultados del generador de números aleatorios pueden replicarse en otros entornos de R. Esto significa que al fijar la semilla, se garantiza que cualquier generación de números aleatorios posterior será consistente y reproducible, facilitando la comparación de resultados en diferentes instancias de R.

Aquí se crea un vector z de longitud 10,000 para representar el paseo aleatorio subyacente. El bucle for genera cada valor en el vector basándose en el valor anterior más un número aleatorio distribuido normalmente.

Se crean tres series temporales (p, q y r), cada una con una relación lineal con el paseo aleatorio subyacente z y algo de ruido aleatorio adicional.

Se aplica la función ca.jo a un marco de datos que contiene las tres series temporales. El parámetro type=“trace” especifica el uso de la estadística de prueba de rastro en la prueba de Johansen. K=2 establece el número de rezagos en el modelo vectorial autorregresivo. ecdet=“none” especifica que no se utiliza término constante o de deriva, y spec=“longrun” se refiere a la especificación del VECM (Modelo de Corrección de Error Vectorial).

Los resultados revelan que las tres series temporales evaluadas están cointegradas, lo que implica una relación de largo plazo entre ellas. La significativa estadística de prueba de rastro y los eigenvalores respaldan firmemente el rechazo de la hipótesis nula de no cointegración para diferentes valores de \(r\), como \(r = 0, 1, 2\). La estimación del rango (\(r = 3\)) sugiere que se requiere una combinación lineal de las tres series para obtener una serie estacionaria. Específicamente, los componentes del vector propio asociado al eigenvalor más grande (\(0.3, 0.6, 0.2\)) indican la ponderación óptima para esta combinación lineal. En resumen, estos resultados respaldan la presencia de una relación de equilibrio a largo plazo entre las series y proporcionan pautas para formar una serie estacionaria mediante una combinación lineal apropiada.

La correlación entre dos variables no necesariamente implica que una de ellas sea la causa de las alteraciones en los valores de la otra, ya que podría existir un tercer factor que influya en ambas variables, dando lugar a una correlación aparente. Para establecer las causas y consecuencias de un fenómeno generalmente se requiere de un análisis más profundo que parte del rigor científico, la razón y la documentación teórica del fenómeno de estudio. En este sentido, la prueba de causalidad de Granger es una herramienta que únicamente identifica si una variable antecede a otra en una serie temporal.

En otras palabras, la causalidad de Granger es un test estadístico que le permite al investigador verificar si una serie temporal X_t causa otra serie temporal Y_t al determinar si los valores pasados X_t-1 ayudan a predecir los valores futuros Y_t+1 .Es decir, Y_t no solo depende de sus valores pasados Y_t-1 , sino que que también depende de los valores pasados X_t-1.

La causalidad de Granger se puede definir matemáticamente como una ecuación una ecuación de regresión lineal múltiple, donde Y_t se expresa como una combinación lineal de sus valores pasados (retardos) y los valores pasados de otra serie temporal X_t:

donde:

• Y_t: Es la serie temporal Y en el tiempo t

• X_t-i: Son los valores pasados de la serie temporal X, donde i es el índice de retraso

• α_i: Son los coeficientes asociados con los valores pasados de la serie temporal X.

• Y_t−j: Son los valores pasados de la serie temporal Y, donde j es el índice de retraso.

• β_j: Son los coeficientes asociados con los valores pasados de la serie temporal Y.

• \(u_{t}\) : Es el término de error en el tiempo t

Finalmente, para realizar la prueba de causalidad de Granger, se deben de tener en cuenta los siguientes aspectos:

• Ambas variables deben ser estacionarias, es decir, su media y varianza no varían con el tiempo.

• La dirección de la causalidad puede depender de manera critica del número de términos rezagados incluidos.

• Los términos de error en la prueba de causalidad no están correlacionados.

Las hipótesis de la prueba de Granger se obtienen mediante la suma de los cuadrados residuales restrigida y no restringida de las series temporales que se desean verificar:

• Regresión restringida: Se realiza una regresión de Y actual sobre todos los términos rezagados de la serie temporal Y pero no incluyendo a las variables rezagadas de la serie temporal X. Obteniendo la suma de los cuadrados residuales restringida, SCR_R.

• Regresión no restringida: Se realiza una regresión de Y actual sobre todos los términos rezagados de la serie temporal Y e X. Obteniendo la suma de los cuadrados residuales no registringida SCR_RN.

En este caso, la hipótesis nula sería:

Esta hipótesis nula sugiere que los coeficientes asociados con los términos rezagados de la variable X son iguales a cero. En otras palabras, la hipótesis nula postula que los valores pasados de X no pertenecen a la regresión. El rechazo de la hipótesis nula podría indicar que al menos algunos de los términos rezagados de X son diferentes de cero y, por lo tanto, pertenecen a la regresión. Para probar esta hipótesis, se utiliza la prueba F.

Se utiliza la función grangertest del paquete lmtest para realizar la prueba de caualidad de Granger basada en regresiones lineales, permitiendo evaluar si una serie temporal puede predecir otras.

\(grangertest(X, Y, order=n, test= "F", data = Z )\)

Esta sigue la distribución F con m y (n − k) gl, donde:

• m: Es igual al número de términos rezagados de X}
• k Es el número de parámetros estimados en la regresión no restringida.
  
• n: Representa el número total de observaciones

Si el valor de F calculado excede al valor crítico en el nivel seleccionado de significacia, se rechaza H₀, por tanto, X causa Y:

• \(Rechazar\ H_0\ \ si:\ \alpha>F\)

• \(No\ Rechazar\ H_0\ \ si:\ \alpha>F\)

la hipótesis nula postula que los rezagos de la serie temporal X no tienen un poder predictivo significativo sobre la serie temporal Y. Específicamente, la hipótesis nula sugiere que los coeficientes asociados con los términos rezagados de la variable X en un modelo de regresión de Y no son diferentes de cero.

Utilizando la función “grangertest”, se ejecutará la prueba de causalidad de Granger para examinar si los valores de SMI predicen los valores de DAX usando tres retardos diferentes.

El estadístico de prueba F se denota en la salida de R con la letra F, en este caso, es igual a 8.4968. El valor p que corresponde a F se denota como Pr(>F) en la salida de R, en este caso, es igual 1.322e-05. En base a estos resultado podemos rechazar la hipótesis nula de la prueba porque el valor p es menor que 0.05. Por tanto, se concluye que conocer los valores de SMI ayuda a pronosticar los valores futuros de DAX.