Propósito de la prueba

Hipótesis de la prueba.

Existen 3 versiones de esta prueba dada las características de ella, a fin de considerar múltiples posibilidades:

Y_t es una caminata aleatoria (no contiene termino constante):

\[\Delta Y = [(\delta Y)]_{(t-1)}+u_t\]

Y_t es una caminata aleatoria con deriva (hay termino constante):

\[\Delta Y = [(\beta_1+\delta Y)]_{(t-1)}+u_t\]

Y_t es una caminata aleatoria con deriva alrededor de una tendencia determinística (termino constante y de tendencia):

\[\Delta Y = [(\beta_1+\beta_2 \delta Y)]_{(t-1)}+u_t\]

Hipótesis nula y Hipótesis Alternativa:

H_o: δ=0 es decir, contiene raíz unitaria, la serie temporal es no estacionaria.

H₁: δ<0 es decir, la serie temporal es estacionaria.

Sintaxis de implementación en R

La implementación en R se realiza mediante la librería urca() y la función ur.df(), y se realiza de la siguiente manera:

library(urca)
 ur.df(y,
       type=  c("drift"),
       lags=0)

Donde:

-y: es un vector númerico o serie de tiempo

-type: Se refiere al tipo de prueba,(“none” ni una intersección ni una tendencia, “drift” una intersección, “trend” una intersección y una tendencia).

-lags: Número de rezagos de la variable endógena

Estadístico de prueba

Criterio de Decision

Interpretación del rechazo, o no rechazo de la Hipótesis Nula de la prueba

-Al ser rechazada la hipótesis Nula, no se rechaza la hipótesis alternativa y por tanto se concluye que no existe raíz unitaria.

-Al no ser rechazada la hipótesis nula, se concluye que existe raíz unitaria.

Ejemplo de aplicación

Analizaremos la serie de tiempo para el desarrollo de los precios del Bitcoin, y lo haremos para cada una de las versiones y concluiremos los resultados para cada una.(vamos a considerar un intervalo de confianza al 95% y con datos mayores a 500)

carga de datos

library(quantmod)
library(tseries)
library(fImport)
library(httr)
library(RCurl)
library(rjson)
library(parsedate)
require(tseries)
library(urca)
getSymbols("BTC-USD",quote="Close",from ="2016-01-01",periodicity = "daily")

## [1] "BTC-USD"

plot(`BTC-USD`[,4],type="l")

Sin tendencia y sin constante

precio_BTC<- na.omit(`BTC-USD`[,4])
y_nada=ur.df(precio_BTC, type="none",lags=0)
summary(y_nada)

## 
## ############################################### 
## # Augmented Dickey-Fuller Test Unit Root Test # 
## ############################################### 
## 
## Test regression none 
## 
## 
## Call:
## lm(formula = z.diff ~ z.lag.1 - 1)
## 
## Residuals:
##     Min      1Q  Median      3Q     Max 
## -7551.8  -129.6     2.9   161.8  7294.6 
## 
## Coefficients:
##           Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
## z.lag.1 -4.035e-05  6.630e-04  -0.061    0.951
## 
## Residual standard error: 843.4 on 2925 degrees of freedom
## Multiple R-squared:  1.266e-06,  Adjusted R-squared:  -0.0003406 
## F-statistic: 0.003704 on 1 and 2925 DF,  p-value: 0.9515
## 
## 
## Value of test-statistic is: -0.0609 
## 
## Critical values for test statistics: 
##       1pct  5pct 10pct
## tau1 -2.58 -1.95 -1.62

R/ ya que el estadistico tau calculado (-0.0577) es mayor que el estadistico tau de la tabla (-1.941), no se rechaza la hipotesis nula, por lo que hay suficiente evidencia para concluir que la serie temporal de los precios del BTC no es estacionaria.

Con constante

y_intercept=ur.df(precio_BTC, type="drift",lags=0)
summary(y_intercept)

## 
## ############################################### 
## # Augmented Dickey-Fuller Test Unit Root Test # 
## ############################################### 
## 
## Test regression drift 
## 
## 
## Call:
## lm(formula = z.diff ~ z.lag.1 + 1)
## 
## Residuals:
##     Min      1Q  Median      3Q     Max 
## -7527.9  -146.6   -27.1   141.7  7300.8 
## 
## Coefficients:
##               Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
## (Intercept) 32.4123013 22.4510926   1.444    0.149
## z.lag.1     -0.0010321  0.0009547  -1.081    0.280
## 
## Residual standard error: 843.3 on 2924 degrees of freedom
## Multiple R-squared:  0.0003996,  Adjusted R-squared:  5.775e-05 
## F-statistic: 1.169 on 1 and 2924 DF,  p-value: 0.2797
## 
## 
## Value of test-statistic is: -1.0812 1.044 
## 
## Critical values for test statistics: 
##       1pct  5pct 10pct
## tau2 -3.43 -2.86 -2.57
## phi1  6.43  4.59  3.78

R/ ya que el estadistico tau calculado (-1.077) es mayor que el estadistico tau de la tabla (-2.863), no se rechaza la hipotesis nula, por lo que hay suficiente evidencia para concluir que la serie temporal de los precios del BTC no es estacionaria.

Con tendencia y constante

y=ur.df(precio_BTC,type="trend",lags=0)
summary(y)

## 
## ############################################### 
## # Augmented Dickey-Fuller Test Unit Root Test # 
## ############################################### 
## 
## Test regression trend 
## 
## 
## Call:
## lm(formula = z.diff ~ z.lag.1 + 1 + tt)
## 
## Residuals:
##     Min      1Q  Median      3Q     Max 
## -7477.4  -160.6    -3.7   136.1  7322.4 
## 
## Coefficients:
##              Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)  
## (Intercept) -7.726856  31.687156  -0.244   0.8074  
## z.lag.1     -0.002914   0.001418  -2.055   0.0400 *
## tt           0.049185   0.027411   1.794   0.0729 .
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## Residual standard error: 842.9 on 2923 degrees of freedom
## Multiple R-squared:  0.001499,   Adjusted R-squared:  0.0008163 
## F-statistic: 2.195 on 2 and 2923 DF,  p-value: 0.1116
## 
## 
## Value of test-statistic is: -2.055 1.7697 2.1947 
## 
## Critical values for test statistics: 
##       1pct  5pct 10pct
## tau3 -3.96 -3.41 -3.12
## phi2  6.09  4.68  4.03
## phi3  8.27  6.25  5.34

R/ ya que el estadistico tau calculado (-2.049) es mayor que el estadistico tau de la tabla (-3.413), no se rechaza la hipotesis nula, por lo que hay suficiente evidencia para concluir que la serie temporal de los precios del BTC no es estacionaria.

Propósito de la prueba

Hipótesis de la prueba.

Las hipótesis para la prueba de cointegración en el enfoque de Johansen son:

Hipótesis nula (\(H_0\)): No hay cointegración (ningún vector de cointegración).