El modelo Cox-Ross-Rubinstein (también conocido como modelo binomal) fue propuesto por Cox, Ross y Rubinstein en 1979 como una discretización del modelo de Black-Scholes basado en árboles multiplicativos, el cual resulta muy útil para valuar opciones americanas y exóticas.
Dado un intervalo de tiempo \(\mathbb{T}=[0,T]\), con \(T>0\) y una partición uniforme de \(\mathbb{T}\), \(0=t_0<\ldots,t_N=T\) donde \(\Delta t=t_k-t_{k-1}=T/N\) para toda \(k=1,\ldots,N\), el modelo parte de modelar el precio subyacente \(S\), el cual en cada tiempo \(t_k\) puede incrementar por un factor \(u\) (up) o disminuir por un factor \(d\) (down), con \(u>d\).
Partiendo del precio spot del subyacente \(S_0\), a tiempo \(t_1\), el valor del subyacente puede pasar a \(S_u\) con probabilidad \(q\) en caso de aumentar o a \(S_d\) con probabilidad \(1-q\) en caso de disminuir. El término multiplicativo se refiere a que \(S_u=uS_0\) y \(S_d=dS_0\). A tiempo \(t_2\), el activo puede tomar las siguientes rutas \(S_{uu}=u^2S_0\) con proba \(q^2\), \(S_{ud}=udS_0=S_{du}\) con proba \(q(1-q)\) o \(S_{dd}=d^2S_0\) con proba \((1-q)^2\), y así sucesivamente para cada \(t_k\) como se muestra en la siguiente Figura.
Una vez modelado la dinámica del subyacente, procedemos a introducir la cuenta de mercado de dinero \(B(t,T)\), el cual corresponde con el valor de una unidad de dinero a tiempo \(t\) en un tiempo futuro \(T\) y el cual está dado por \[\begin{equation} B(t,T)=e^{r(T-t)}, \end{equation}\] donde \(r\) es la tasa libre de riesgo.
La proba \(q\) corresponde a la medida de riesgo neutral, la cual evita que existan oportunidades de arbitraje. Se puede demostrar que \[\begin{equation} q=\frac{B(t_{k-1},t_k)S_0-S_d}{S_u-S_d}=\frac{e^{r\Delta t}S_0-S_d}{S_u-S_d}=\frac{e^{r\Delta t}-d}{u-d}. \end{equation}\]
Considere ahora un derivado europeo \(X\) con payoff \(X_T=h(S_T)\). Por ejemplo, para el caso de un call \(X_T=(S_T-K)_+\) y para el caso de un put \(X_T=(K-X_T)_+\).
Bajo el modelo binomial, el precio del derivado \(X\) con payoff \(h(S_T)\) está dado por \[\begin{equation} V_0 = e^{-rT}\mathbb{E}(h(S_T)) =e^{-rT}\sum_{k=0}^N {N \choose k} q^N(1-q)^{N-k}\ h(u^Nd^{N-k}S_0). \end{equation}\]
La fórmula anterior también se puede calcular de manera recursiva. Definamos \(S_k^m\) el valor del activo a tiempo \(t_k\) en el nodo \(m\) para cada \(k=0,\ldots,N\) y \(m=0,\ldots,k\) y de forma análoga el valor del derivado \(V_k^m\). Bajo esta nueva notación tenemos que a tiempo \(t_0=0\), \(S_0=S_0^0\), a tiempo \(t_1\), \(S_1^0=dS_0\) y \(S_1^1=uS_0\), a tiempo \(t_2\), \(S_2^0=d^2S_0\), \(S_2^1=udS_0\) y \(S_2^2=u^2S_0\), y así sucesivamente. En general, a tiempo \(t_k\), el activo puede tomar uno de los siguiente \(m+1\) valores \(S_k^m=u^kd^{k-m}S_0\), para \(m=0,\ldots,k\). Por lo tanto, el valor del derivado \(V_0^0\) está dado de forma recursiva por \[\begin{align} V_N^m &= h(S_N^m), \quad m=0,\ldots,N \\ V_k^m &= e^{-r\Delta t}\left[ qV_{k+1}^{m+1}+(1-q)V_{k+1}^m\right], \quad k=0,\ldots,N-1, \quad m=0,\ldots,k. \end{align}\]
En la práctica usualmente se toma \(u=\frac{1}{d}\), lo cual implica que la probabilidad de subir es igual a la probabilidad de bajar y con lo cual se obtiene \[\begin{align} u=A+\sqrt{A^2-1} \\ d=A-\sqrt{A^2-1} \\ A=\frac{1}{2}\left(e^{-r\Delta t}+e^{(r+\sigma^2)\Delta t}\right) \\ \end{align}\] donde \(\sigma\) es la volatilidad del subyacente. Para mayor detalle se puede consultar Willmott (1995).
Una vez conocidos los factores \(u\) y \(d\), el primer paso para valuar una opción call es construir el árbol multiplicativo del subyacente. Para esto creamos la función arbol_S la cual utiliza los siguientes parámetros.
arbol_S <- function(tau,N,S,r,sigma){
delta_t <- tau/N
arbol <- matrix(0,nrow = N+1,ncol = N+1)
A = .5*(exp(-r*delta_t)+exp((r+sigma^2)*delta_t))
u = A+sqrt(A^2-1)
d = A-sqrt(A^2-1)
for (i in 1:nrow(arbol)) {
for (j in 1:i) {
arbol[i, j] = S*u^(j-1)*d^((i-1)-(j-1))
}
}
return(arbol)
}
arbol_S(tau=1,N=4,S=100,r=.05,sigma=.2) [,1] [,2] [,3] [,4] [,5]
[1,] 100.00000 0.00000 0.0000 0.0000 0.0000
[2,] 90.33847 110.69482 0.0000 0.0000 0.0000
[3,] 81.61038 100.00000 122.5334 0.0000 0.0000
[4,] 73.72557 90.33847 110.6948 135.6382 0.0000
[5,] 66.60255 81.61038 100.0000 122.5334 150.1444La función arbol_S genera un árbol con \(N+1\) nodos (columnas) y \(N+1\) puntos intermedios (renglones) del intervalo de tiempo \([0,t]\).
Una vez generado el árbol del subyacente, procedemos a generar el árbol del derivado con la función arbol_V, la cual usa los mismos parámetros que la función arbol_S y adicionalmente usa
arbol_V <- function(S,K,tau,N,r,sigma,phi){
delta_t <- tau/N
A = .5*(exp(-r*delta_t)+exp((r+sigma^2)*delta_t))
u = A+sqrt(A^2-1)
d = A-sqrt(A^2-1)
arbol_aux <- arbol_S(tau,N,S,r,sigma)
q <- (exp(r*delta_t)-d)/(u-d)
arbol <- matrix(0,nrow = nrow(arbol_aux),ncol = ncol(arbol_aux))
arbol[nrow(arbol),] <- pmax(phi*arbol_aux[nrow(arbol_aux),]-phi*K,0)
for(i in (nrow(arbol)-1):1){
for(j in 1:i){
arbol[i,j] <- exp(-r*delta_t)*(q*arbol[i+1,j+1]+(1-q)*arbol[i+1,j])
}
}
resultado=list(precio=arbol[1,1],
arbol_activo=arbol_aux,
arbol_opcion=arbol)
return(resultado)
}
arbol_V(S=100,K=100,tau=1,N=4,r=.05,sigma=.2,phi=1)$precio
[1] 10.0839
$arbol_activo
[,1] [,2] [,3] [,4] [,5]
[1,] 100.00000 0.00000 0.0000 0.0000 0.0000
[2,] 90.33847 110.69482 0.0000 0.0000 0.0000
[3,] 81.61038 100.00000 122.5334 0.0000 0.0000
[4,] 73.72557 90.33847 110.6948 135.6382 0.0000
[5,] 66.60255 81.61038 100.0000 122.5334 150.1444
$arbol_opcion
[,1] [,2] [,3] [,4] [,5]
[1,] 10.083899 0.000000 0.00000 0.00000 0.00000
[2,] 3.349926 16.140133 0.00000 0.00000 0.00000
[3,] 0.000000 6.323622 25.00244 0.00000 0.00000
[4,] 0.000000 0.000000 11.93704 36.88037 0.00000
[5,] 0.000000 0.000000 0.00000 22.53343 50.14441La función arbol_V reutiliza la función arbol_S para generar el árbol del subyacente, sin embargo, lo único que necesitamos de aquél árbol es su valor a vencimiento \(S_T=S_N^m\), \(m=0,\ldots,N\), con el cual calculamos el payoff \(X_T\) y de ahí en adelante calculamos el precio del derivado \(V_0^0\) hacia atrás con las ecuaciones anteriores.
El modelo de Black-Scholes (B-S) fue propuesto por el físico y economista Fischer Black y el economista Myron Scholes y posteriormente fue formalizado a través del cálculo esticástico por Robert Merton. El modelo brinda el precio de una opción financiera el cual esta dado por la ecuación
\[\begin{align} BS(S,K,\tau,r,q,\sigma,\phi) &= \phi Se^{-q\tau}N(\phi d_1) - \phi Ke^{-r\tau}N(\phi d_2) \\ d_1 &= \frac{1}{\sigma\sqrt{\tau}}\left( \log\left( \frac{S}{K}\right) +\left( r-q+\frac{1}{2}\sigma^2 \right) \tau \right), \\ d_2 &= d_1 - \sigma\sqrt{\tau} \end{align}\] donde
BS <- function(S,K,tau,r,sigma,phi){
d1 <- (log(S/K)+(r+.5*sigma^2)*tau)/(sigma*sqrt(tau))
d2 <- d1 - sigma*sqrt(tau)
precio <- phi*S*pnorm(phi*d1)-phi*K*exp(-r*tau)*pnorm(phi*d2)
return(precio)
}
BS(S=100,K=100,tau=1,r=.05,sigma=.2,phi=1)[1] 10.45058Con el fin de corroborar nuestras cuentas, comparamos el precio de la opción call con spot \(S=100\), strike \(K=100\), tasa libre de riesgo \(r=5\%\), volatilidad \(\sigma=20\%\) y vencimiento \(T\) de un año, el cual bajo el modelo binomial con \(N=4\) particiones es igual a 10.0838989, mientras que bajo el modelo de Black-Scholes obtenemos 10.4505836. En la medida que se tomen más particiones, i.e. \(N\rightarrow \infty\), el modelo binomial converge al modelo de B-S.
Ejercicio Considere el modelo binomial a un periodo \(\{0,T\}\) con precio spot del activo \(S_0\) y cuenta de mercado de dinero \(B(0,T)\). Demuestre que si \(S_d<B(0,T)S_0<S_u\), entonces no existen oportunidades de arbitraje y \(0<q<1\).
Ejercicio Otra convención usual es escoger \(q=\frac{1}{2}\), lo cual a su vez implica que \[\begin{align*} u &= e^{r\Delta t}(1+\sqrt{e^{\sigma^2\Delta t}-1}), \\ d &= e^{r\Delta t}(1-\sqrt{e^{\sigma^2\Delta t}-1}). \end{align*}\] Modifique la función arbol_V para incorporar los nuevos valores de \(u\), \(d\) y \(q\) y compare los resultados de ambas implementaciones.
Ejercicio Elabore una gráfica donde el eje de las \(x\) sea el número de particiones \(N\) del intervalo \(\mathbb{T}\) y en el eje \(y\) sea la diferencia entre el precio de una opción put bajo el modelo binomial y bajo el modelo de B-S (Use los mismos parámetros en cada modelo).
Ejercicio Una opción americana permite a la parte larga ejercer el contrato en cualquier instante \(t\in\mathbb{T}\). Para valuar está opción se debe modificar la función recursiva por \[\begin{equation} V_k^m = \max\{h(S_k^m),e^{-r\Delta t}\left[ qV_{k+1}^{m+1}+(1-q)V_{k+1}^m\right]\}, \quad k=0,\ldots,N-1, \quad m=0,\ldots,k. \end{equation}\] Modifique la función arbol_V para valuar opciones americanas y corrobore sus resultados con alguna paquetería existente para valuar opciones americanas.