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Griegas

Carlos Adrián Sandoval Cuenca

1 El modelo de Black-Scholes

El modelo de Black-Scholes (B-S) fue propuesto por el físico y economista Fischer Black y el economista Myron Scholes y posteriormente fue formalizado a través del cálculo estocástico por Robert Merton. El modelo brinda el precio de una opción financiera el cual está dado por la ecuación

\[\begin{align} BS(S,K,\tau,r,q,\sigma,\phi) &= \phi Se^{-q\tau}N(\phi d_1) - \phi Ke^{-r\tau}N(\phi d_2) \\ d_1 &= \frac{1}{\sigma\sqrt{\tau}}\left( \log\left( \frac{S}{K}\right) +\left( r-q+\frac{1}{2}\sigma^2 \right) \tau \right), \\ d_2 &= d_1 - \sigma\sqrt{\tau} \end{align}\] donde

• \(S\): Precio spot del subyacente.
• \(K\): Precio strike pactado.
• \(\tau\): Años por vencer de la opción.
• \(r\): Tasa de descuento doméstica.
• \(q\): Tasa de descuento extranjera (Tasa de dividendos).
• \(\sigma\): Volatilidad anual.
• \(\phi\): Indicadora igual a 1 si es call y a -1 si es put.

Para llegar a esta fórmula, se parte de los siguientes supuestos

• Los participantes del mercado son entes racionales.
• La competencia del mercado es perfecta.
• El subyacente no paga dividendos y su precio sigue un movimiento Browniano geométrico.
• Es posible comprar, vender y pedir prestado (venta en corto) cualquier cantidad (no necesariamente entera) del subyacente en cualquier instante de tiempo, sin costos de transacción.
• La tasa de interés libre de riesgo y la volatilidad son constantes en el tiempo.

Bajo la medida de riesgo neutral \(\mathbb{\widetilde{P}}\) e incluyendo dividendos, se sigue que el subyacente sigue la EDE \[\begin{equation} dS(t)=(r-q)S(t)dt+\sigma d\widetilde{W}(t), \end{equation}\] donde \(\widetilde{W}(t)\) es un movimiento browniano bajo \(\mathbb{\widetilde{P}}\).

El precio de la opción está dado por la fórmula de valuación de riesgo neutral \[\begin{equation} \mathbb{\widetilde{E}}(e^{-r(T-t)}X(T)\mid \mathcal{F}_t) \end{equation}\] donde la esperanza se calcula bajo \(\mathbb{\widetilde{P}}\), \(N(x)\) es la función de distribución de una \(N(0,1)\) y \(X(T)\) es el payoff del derivado.

######## Simulacion Trayectoria ########

# Funcion para browniano estandar
brown_geom <- function(n,s0,mu,sigma){
  z <- rnorm(n)
  z <- 1/sqrt(n)*z
  w <- c(0,cumsum(z))
  t <- seq(0,1,by=1/n)
  s <- s0*exp(mu*t+sigma*w)
  return(s)
}

n <- 1000
t <- seq(0,1,1/n)
s0 <- 100
mu <- -.05
sigma <- .5
k <- 100
set.seed(456789)

Simulacion <- data.frame(Tiempo=t,Subyacente=brown_geom(n,s0,mu,sigma))
S <- Simulacion$Subyacente[nrow(Simulacion)]
ggplot(Simulacion,aes(x=Tiempo,y=Subyacente)) +
  geom_line() +
  labs(title="Simulacion trayectoria") +
  geom_hline(aes(yintercept = k,color="Strike")) +
  geom_hline(aes(yintercept = S,color="S(T)")) +
  theme(legend.title = element_blank(),legend.position = "bottom")

Definimos el Payoff de un derivado como el valor intrinseco del derivado en el momento de ser ejercido y el cual puede ser visto como una función del subyacente \(X(T)=h(S(T))\).

######## Payoffs Opciones Vanilla ########

s <- c(k-1:round(k/2),k,k+1:round(k/2))

# Call largo
X <- pmax(s-k,0)
Grafica <- data.frame(Subyacente=s,Payoff=X)
p1 <- ggplot(Grafica,aes(x=Subyacente,y=Payoff)) +
  geom_line() +
  labs(title="Payoff Call",subtitle = "Largo") +
  geom_vline(aes(xintercept = k,color="Strike")) +
  geom_vline(aes(xintercept = S,color="S(T)")) +
  geom_label(aes(x = k, y = mean(X)*2, label = "ATM")) +
  geom_label(aes(x = max(s)-(max(s)-k)/4, y = mean(X)*2, label = "ITM")) +
  geom_label(aes(x = min(s)+(k-min(s))/4, y = mean(X)*2, label = "OTM")) +
  theme(legend.title = element_blank(),legend.position = "bottom")

# Call corto
X <- -pmax(s-k,0)
Grafica <- data.frame(Subyacente=s,Payoff=X)
p2 <- ggplot(Grafica,aes(x=Subyacente,y=Payoff)) +
  geom_line() +
  labs(title="Payoff Call",subtitle = "Corto") +
  geom_vline(aes(xintercept = k,color="Strike")) +
  geom_vline(aes(xintercept = S,color="S(T)")) +
  geom_label(aes(x = k, y = mean(X)*2, label = "ATM")) +
  geom_label(aes(x = max(s)-(max(s)-k)/4, y = mean(X)*2, label = "ITM")) +
  geom_label(aes(x = min(s)+(k-min(s))/4, y = mean(X)*2, label = "OTM")) +
  theme(legend.title = element_blank(),legend.position = "bottom")

# Put largo
X <- pmax(k-s,0)
Grafica <- data.frame(Subyacente=s,Payoff=X)
p3 <- ggplot(Grafica,aes(x=Subyacente,y=Payoff)) +
  geom_line() +
  labs(title="Payoff Put",subtitle = "Largo") +
  geom_vline(aes(xintercept = k,color="Strike")) +
  geom_vline(aes(xintercept = S,color="S(T)")) +
  geom_label(aes(x = k, y = mean(X)*2, label = "ATM")) +
  geom_label(aes(x = max(s)-(max(s)-k)/4, y = mean(X)*2, label = "OTM")) +
  geom_label(aes(x = min(s)+(k-min(s))/4, y = mean(X)*2, label = "ITM")) +
  theme(legend.title = element_blank(),legend.position = "bottom")

# Put corto
X <- -pmax(k-s,0)
Grafica <- data.frame(Subyacente=s,Payoff=X)
p4 <- ggplot(Grafica,aes(x=Subyacente,y=Payoff)) +
  geom_line() +
  labs(title="Payoff Put",subtitle = "Corto") +
  geom_vline(aes(xintercept = k,color="Strike")) +
  geom_vline(aes(xintercept = S,color="S(T)")) +
  geom_label(aes(x = k, y = mean(X)*2, label = "ATM")) +
  geom_label(aes(x = max(s)-(max(s)-k)/4, y = mean(X)*2, label = "OTM")) +
  geom_label(aes(x = min(s)+(k-min(s))/4, y = mean(X)*2, label = "ITM")) +
  theme(legend.title = element_blank(),legend.position = "bottom")

ggarrange(p1,p2,p3,p4,ncol = 2,nrow = 2)

2 Griegas

######## Griegas ########

r <- .05
q <- .0025
sigma <- .15
K <- 20
S <- seq(17,23,.1)
tau <- c(7,30,180,360)/360

tau_aux <- data.frame(Tau=tau,
                      Vencimiento=c("1 dia","1 mes","6 meses","1 año"))

A partir de la fórmula de B-S es posible obtener sensibilidades del derivado con respecto a los parámetros, las cuales se conocen como griegas. A continuación se presentan las fórmulas para opciones largas, las respectivas fórmulas para la opción corta, son las negativas de las largas.

2.1 Delta

La delta corresponde a la sensibilidad del precio del derivado con respecto al precio del subyacente. \[\begin{equation} \Delta = \frac{\partial BS}{\partial S} = \phi e^{-q\tau}N(\phi d_1). \end{equation}\] Este valor tiene un significado especial y representa la cantidad de subyacente que se debe comprar (vender) para cubrir una posición corta (larga) (delta-hedge).

# Delta
Delta <- function(S,K,tau,r,q,sigma,tipo){
  d1 <- (log(S/K)+(r-q-.5*sigma^2)*tau)/(sigma*sqrt(tau))
  N1 <- tipo*exp(-q*tau)*pnorm(tipo*d1)
  return(N1)
}

tipo <- 1
Grafica <- data.frame(S=rep(S,length(tau)),Tau=rep(tau,each=length(S)))
Grafica[,"Delta"] <- mapply(Delta,Grafica$S,K,Grafica$Tau,r,q,sigma,tipo)
Grafica <- left_join(Grafica,tau_aux,by = "Tau")
Grafica$Tau <- NULL
ggplot(Grafica,aes(x=S,y=Delta,color=Vencimiento)) +
  geom_line() +
  labs(title="Delta Call",subtitle = "Largo",x="Subyacente")

tipo <- -1
Grafica <- data.frame(S=rep(S,length(tau)),Tau=rep(tau,each=length(S)))
Grafica[,"Delta"] <- mapply(Delta,Grafica$S,K,Grafica$Tau,r,q,sigma,tipo)
Grafica <- left_join(Grafica,tau_aux,by = "Tau")
Grafica$Tau <- NULL
ggplot(Grafica,aes(x=S,y=Delta,color=Vencimiento)) +
  geom_line() +
  labs(title="Delta Put",subtitle = "Largo",x="Subyacente")

2.2 Gamma

La gamma corresponde a la sensibilidad de la delta del derivado con respecto al precio del subyacente. \[\begin{equation} \Gamma = \frac{\partial^2 BS}{\partial S^2} = \frac{e^{-q\tau}N'(d_1)}{S\sigma\sqrt{\tau}}. \end{equation}\] Este valor representa que tanto se debe de reajustar la delta para hacer el delta-hedge.

# Gamma
Gamma <- function(S,K,tau,r,q,sigma){
  d1 <- (log(S/K)+(r-q-.5*sigma^2)*tau)/(sigma*sqrt(tau))
  griega <- exp(-q*tau)*dnorm(d1)/(S*sigma*sqrt(tau))
  return(griega)
}

tipo <- 1
Grafica <- data.frame(S=rep(S,length(tau)),Tau=rep(tau,each=length(S)))
Grafica[,"Gamma"] <- mapply(Gamma,Grafica$S,K,Grafica$Tau,r,q,sigma)
Grafica <- left_join(Grafica,tau_aux,by = "Tau")
Grafica$Tau <- NULL
ggplot(Grafica,aes(x=S,y=Gamma,color=Vencimiento)) +
  geom_line() +
  labs(title="Gamma",subtitle = "Largo",x="Subyacente")

2.3 Vega

La vega corresponde a la sensibilidad del derivado con respecto al parámetro de la volatilidad. \[\begin{equation} \nu = \frac{\partial BS}{\partial \sigma} = Se^{-q\tau}N'(d_1)\sqrt{\tau}. \end{equation}\] Este valor representa los cambios en el precio debido a cambios en la volatilidad.

# Vega
Vega <- function(S,K,tau,r,q,sigma){
  d1 <- (log(S/K)+(r-q-.5*sigma^2)*tau)/(sigma*sqrt(tau))
  griega <- S*exp(-q*tau)*dnorm(d1)*sqrt(tau)
  return(griega)
}

tipo <- 1
Grafica <- data.frame(S=rep(S,length(tau)),Tau=rep(tau,each=length(S)))
Grafica[,"Vega"] <- mapply(Vega,Grafica$S,K,Grafica$Tau,r,q,sigma)
Grafica <- left_join(Grafica,tau_aux,by = "Tau")
Grafica$Tau <- NULL
ggplot(Grafica,aes(x=S,y=Vega,color=Vencimiento)) +
  geom_line() +
  labs(title="Vega",subtitle = "Largo",x="Subyacente")

2.4 Theta

La theta corresponde a la sensibilidad del derivado con respecto al vencimiento. \[\begin{equation} \Theta = \frac{\partial BS}{\partial \tau} = -\frac{e^{-q\tau}SN'(d_1)\sigma}{2\sqrt{\tau}}-\phi rKe^{-r\tau}N(\phi d_2)+\phi qSe^{-q\tau}N(\phi d_1). \end{equation}\] Este valor representa los cambios en el precio a medida que la opción se acerca a vencimiento.

# Theta
Theta <- function(S,K,tau,r,q,sigma,tipo){
  d1 <- (log(S/K)+(r-q-.5*sigma^2)*tau)/(sigma*sqrt(tau))
  d2 <- d1-sigma*sqrt(tau)
  griega <- -.5*exp(-q*tau)*S*dnorm(d1)*sigma/sqrt(tau)
            -tipo*r*K*exp(-r*tau)*pnorm(tipo*d2)
            +tipo*q*S*exp(-q*tau)*pnorm(tipo*d1)
  return(griega)
}

S <- c(17,19,21,23)
tau <- seq(7,360)/360

tipo <- 1
Grafica <- data.frame(S=rep(S,length(tau)),Tau=rep(tau,each=length(S)))
Grafica[,"Theta"] <- mapply(Theta,Grafica$S,K,Grafica$Tau,r,q,sigma,tipo)
Grafica$S <- factor(Grafica$S)
ggplot(Grafica,aes(x=Tau,y=Theta,color=S)) +
  geom_line() +
  labs(title="Theta Call",subtitle = "Largo",color="Subyacente",x="Vencimiento")

tipo <- -1
Grafica <- data.frame(S=rep(S,length(tau)),Tau=rep(tau,each=length(S)))
Grafica[,"Theta"] <- mapply(Theta,Grafica$S,K,Grafica$Tau,r,q,sigma,tipo)
Grafica$S <- factor(Grafica$S)
ggplot(Grafica,aes(x=Tau,y=Theta,color=S)) +
  geom_line() +
  labs(title="Theta Put",subtitle = "Largo",color="Subyacente",x="Vencimiento")

3 Aproximaciones

Otro uso de las griegas es realizar aproximaciones del precio o del PnL (Profit & Loss).

Aplicando series de Taylor al precio de una opción \(V(t)\) obtenemos \[\begin{equation} V(S+\delta S,t+ \delta t) = V(S,t)+\Delta\delta S+\frac{1}{2}\Gamma\delta S^2+\Theta\delta t+o(\delta S,\delta t) \end{equation}\]

Ahora tomemos un portafolio el cual consta del derivado \(V(t)\) y \(M\) unidades del subyacente \(S\), i.e. \[\begin{equation} P(S,t) = V(S,t) + M\cdot S, \end{equation}\] de modo que \[\begin{equation} P(S+\delta S,t+ \delta t) = P(S,t)+(M+\Delta)\delta S+\frac{1}{2}\Gamma\delta S^2+\Theta\delta t+o(\delta S,\delta t). \end{equation}\]

El PnL a tiempo \(t+\delta t\) puede ser calculado como \[\begin{equation} PnL_{t+\delta t}=P(S+\delta S,t+ \delta t)-P(S,t) = (M+\Delta)\delta S+\frac{1}{2}\Gamma\delta S^2+\Theta\delta t+o(\delta S,\delta t). \end{equation}\] En el caso de un portafolio delta hedged se tendría \(M=-\Delta\), con lo cual se tendría \[\begin{equation} PnL_{t+\delta t}=\frac{1}{2}\Gamma\delta S^2+\Theta\delta t+o(\delta S,\delta t). \end{equation}\]

El razonamiento anterior se puede extender para incluir más griegas y hacer vega-hedge.

4 Ejercicios

Ejercicio Exprese la \(\Delta_{\text{Call}}\) en términos de \(\Delta_{\text{Put}}\).

Ejercicio Demuestre que la \(\Gamma_{\text{Call}}=\Gamma_{\text{Put}}\) y que \(\nu_{\text{Call}}=\nu_{\text{Put}}\).

Ejercicio Encuentre el strike \(K\) que maximice la \(\nu\).

Ejercicio (Forward Delta) Demuestre que el número de forwards largos para cubrir una opción corta es \(\phi N(\phi d_1)\).

Ejercicio (Simetría Put-Call) Definimos el precio forward \(F(\tau)\) como el strike \(K\) tal que el precio del forward es igual a cero. Demuestre que \(BS(S,K,\tau,r,q,\sigma,1)=\frac{K}{F(\tau)}BS\left(S,\frac{F^2(\tau)}{K},\tau,r,q,\sigma,-1\right)\).

Ejercicio (Delta ATM) Encuentre el strike \(K\) tal que \(\Delta_{\text{Call}}+\Delta_{\text{Put}}=0\)

Ejercicio (Strike en términos de Delta) Exprese el strike \(K\) en términos de delta \(\Delta=\phi N(\phi d_1)\)

Ejercicio Grafique la delta, gamma y vega con respecto al tiempo y la theta con respecto al subyacente e interprete las gráficas.

5 Bibliografía

• Hull, J. (2018) Options, Futures and other Derivative Securities, 10th edition, Pearson, New York.
• Shreve, S. (2004) Stochastic Calculus for Finance II: Continuous-Time Models, Springer-Verlag, New York.
• Wystup, U. (2017) FX Options and Structure Products, Wiley, United Kingdom.