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1 El modelo de mercado e instrumentos financieros derivados

Definición 1 (Cuenta de Mercado de Dinero) Definimos la cuenta de mercado de dinero (o activo libre de riesgo) a través del proceso \(\left\lbrace B(t)\right\rbrace _{t\in \mathbb{T}}\), el cual satisface \[\begin{equation} dB(t)=r(t)B(t)dt, \qquad B(0)=1, \end{equation}\] o equivalentemente \[\begin{equation} B(t)=e^{\int_0^t{r(s)}ds}, \label{C1:cuenta_mercado} \end{equation}\]

donde \(\{ r(t) \}_{t\in \mathbb{T}}\) es la , la cual puede ser determinista o estocástica pero debe de ser \(\mathcal{F}_t\) medible. Si la tasa libre de riesgo es constante \(r\), obtenemos \(B(t)=e^{rt}\). El proceso \(B(t)\) representa el valor de una unidad monetaria en un tiempo futuro \(t\).

Definición 2 Definimos el precio de un activo (riesgoso) que no paga dividendos como el proceso estocástico \(\{S(t)\}_{t\in \mathbb{T}}\), el cual sigue un movimiento Browniano geométrico con la siguiente ecuación diferencial estocástica (EDE) \[\begin{equation} dS(t)=\mu S(t)dt+\sigma S(t)dW(t), \label{C1:d_S_mu} \end{equation}\] donde \(\{W(t)\}_{t\in\mathbb{T}}\) es un movimiento Browniano definido sobre el espacio de probabilidad filtrado \((\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P}, \{\mathcal{F}_t \}_{t\in\mathbb{T}})\), con \(\{\mathcal{F}_t\}_{t\in\mathbb{T}}\) la filtración natural del movimiento Browniano y la medida de probabilidad \(\mathbb{P}\), la cual llamamos , es con la cual medimos los movimientos del activo de riesgo. A la constante \(\mu\) le llamamos la (drift) y a \(\sigma\) le llamamos la .

Definición 3 (Derivado Financiero) Un instrumento financiero derivado es un contrato entre dos partes (una posición larga y una posición corta) cuyo precio depende del precio de otro activo llamado activo subyacente.

Los derivados pueden clasificarse de diversas maneras, principalmente se clasifican por el momento en el que los contratos pueden ser ejercidos; si la decisión de ser ejercido se da a vencimiento \(T\), se dice que es de tipo europeo, si el contrato puede ejercerse en cualquier instante \(t\in \mathbb{T}\), se dice que es de tipo americano y si el valor del contrato depende de la trayectoria recorrida por el subyacente, diremos que es una opción exótica. En este documento nos enfocaremos en derivados de tipo europeo, en particular en opciones call y put, cuyas definiciones se presentan a continuación.

Definición 4 (Forward) Un forward es un derivado, donde la posición larga se compromete a comprar en una fecha futura \(T\) (vencimiento) una unidad de subyacente a la posición corta a un precio (strike) \(K\) pactado desde el inicio del contrato.

Definición 5 (Call Europeo) Una opción call es un derivado que brinda a la posición larga el derecho, mas no la obligación, de comprar a vencimiento \(T\) una unidad de subyacente a la posición corta a un precio (strike) \(K\) pactado al inicio del contrato.

Definición 6 (Put Europeo) Una opción call es un derivado que brinda a la posición larga el derecho, mas no la obligación, de vender a vencimiento \(T\) una unidad de subyacente a la posición corta a un precio (strike) \(K\) pactado al inicio del contrato.

De las definiciones anteriores podemos pensar en los derivados como un juego de suma cero entre la posición larga y la posición corta, es decir, lo que uno gana, el otro lo pierde. Por lo tanto, siempre analizaremos los flujos de efectivo desde la posición larga, y los correspondientes flujos de efectivo de la posición corta serán los de la posición larga con signo opuesto.

2 El modelo de Black-Scholes

El modelo de Black-Scholes (B-S) fue propuesto por el físico y economista Fischer Black y el economista Myron Scholes y posteriormente fue formalizado a través del cálculo estocástico por Robert Merton. El modelo brinda el precio de una opción financiera el cual está dado por la ecuación

\[\begin{align} BS(S,K,\tau,r,q,\sigma,\phi) &= \phi Se^{-q\tau}N(\phi d_1) - \phi Ke^{-r\tau}N(\phi d_2) \\ d_1 &= \frac{1}{\sigma\sqrt{\tau}}\left( \log\left( \frac{S}{K}\right) +\left( r-q+\frac{1}{2}\sigma^2 \right) \tau \right), \\ d_2 &= d_1 - \sigma\sqrt{\tau} \end{align}\] donde

  • \(S\): Precio spot del subyacente.
  • \(K\): Precio strike pactado.
  • \(\tau\): Años por vencer de la opción.
  • \(r\): Tasa de descuento doméstica.
  • \(q\): Tasa de descuento extranjera (Tasa de dividendos).
  • \(\sigma\): Volatilidad anual.
  • \(\phi\): Indicadora igual a 1 si es call y a -1 si es put.

Para llegar a esta fórmula, se parte de los siguientes supuestos

  • Los participantes del mercado son entes racionales.
  • La competencia del mercado es perfecta.
  • El subyacente no paga dividendos y su precio sigue un movimiento Browniano geométrico.
  • Es posible comprar, vender y pedir prestado (venta en corto) cualquier cantidad (no necesariamente entera) del subyacente en cualquier instante de tiempo, sin costos de transacción.
  • La tasa de interés libre de riesgo y la volatilidad son constantes en el tiempo.

Bajo la medida de riesgo neutral \(\mathbb{\widetilde{P}}\) e incluyendo dividendos, se sigue que el subyacente sigue la EDE \[\begin{equation} dS(t)=(r-q)S(t)dt+\sigma d\widetilde{W}(t), \end{equation}\] donde \(\widetilde{W}(t)\) es un movimiento browniano bajo \(\mathbb{\widetilde{P}}\).

El precio de la opción está dado por la fórmula de valuación de riesgo neutral \[\begin{equation} \mathbb{\widetilde{E}}(e^{-r(T-t)}X(T)\mid \mathcal{F}_t) \end{equation}\] donde la esperanza se calcula bajo \(\mathbb{\widetilde{P}}\), \(N(x)\) es la función de distribución de una \(N(0,1)\) y \(X(T)\) es el payoff del derivado.

Definimos el Payoff de un derivado como el valor intrinseco del derivado en el momento de ser ejercido y el cual puede ser visto como una función del subyacente \(X(T)=h(S(T))\).

3 Ejercicios

Ejercicio 1 Demuestre que la solución a la EDE \[dS(t)=\mu S(t)dt+\sigma S(t)dW(t)\] está dada por \[S(t)=S(0)\exp\left\lbrace \left( \mu - \frac{1}{2}\sigma^2\right)t + \sigma W(t) \right\rbrace\]. (Hint: Aplique fórmula de Ito a la función \(\log(x)\), integre y despeje \(S(t)\)).

Ejercicio 2 Sea \[dS(t)=rS(t)dt+\sigma S(t)dW(t)\] donde \(r\) es la tasa de interés y \(\sigma>0\) es la volatilidad. Demuestre que \[\mathbb{E}(e^{-rt}(S(t)-K)_+)=S(0)N(d_1)-Ke^{-rt}N(d_2)\] donde \[\begin{align*} d_1 &= \frac{1}{\sigma\sqrt{t}}\left( \log\left( \frac{S}{K}\right) +\left( r-q+\frac{1}{2}\sigma^2 \right)t \right), \\ d_2 &= d_1 - \sigma\sqrt{t} \end{align*}\] y \(N(x)\) es la función de densidad de una distribución normal \(N(0,1)\).

4 Bibliografía

  • Karatzas, I. and Shreve, S. (1991) Brownian Motion and Stochastic Calculus, Springer-Verlag, New York.
  • Kloeden, P. and Platen, E. (1995) Numerical solution of stochastic differential equations, Springer-Verlag, New York.
  • Hull, J. (2018) Options, Futures and other Derivative Securities, 10th edition, Pearson, New York.
  • Shreve, S. (2004) Stochastic Calculus for Finance II: Continuous-Time Models, Springer-Verlag, New York.
  • Wystup, U. (2017) FX Options and Structure Products, Wiley, United Kingdom.