Nama : Rahmad Hidayat Al Fahrizzi
NIM : 230605110135
Dosen Pengampu : Prof. Dr. Suhartono, M.Kom
Universitas : Universitas Islam Negeri Maulana Malik Ibrahim Malang
Fakultas : Sains dan Teknologi
Program Studi : Teknik Informatika

Materi: Numerical Iteration (Iterasi Numerik) dalam Konteks Kalkulus

1. Pendahuluan: - Iterasi numerik adalah pendekatan matematika untuk mendapatkan solusi suatu masalah melalui proses berulang.

2. Metode Numerik: - Pendekatan Hitungan: - Menerapkan aturan iterasi untuk mendekati solusi. - Proses: - Menggunakan nilai iteratif untuk memperbarui solusi.

3. Fungsi Objektif: - Misalnya, \(f(x) = x^2 - 4x + 4\).

4. Implementasi dalam Kode R: - Metode Iterasi Numerik: - Menerapkan aturan iterasi untuk mendekati akar fungsi. - Grafik dan Analisis: - Visualisasi perubahan titik iterasi pada grafik fungsi.

5. Contoh Kode R:

# Fungsi Objektif
fungsi_objektif <- function(x) {
  return(x^2 - 4*x + 4)
}

# Metode Numerik Iterasi
numerik_iterasi <- function(fungsi_objektif, x0, iter_max = 5) {
  cat("Iterasi ke-0: x =", x0, "\n")
  
  for (iter in 1:iter_max) {
    x1 <- x0 - 0.5 * (2*x0 - 4)  # Contoh aturan iterasi sederhana
    cat("Iterasi ke-", iter, ": x =", x1, "\n")
    
    if (abs(x1 - x0) < 0.1) {
      cat("Konvergensi dicapai pada iterasi ke-", iter, "\n")
      break
    }
    
    x0 <- x1
  }
  
  return(x1)
}

# Grafik Fungsi dengan Iterasi Numerik
grafis_numerik_iterasi <- function(fungsi_objektif, x0, iter_max = 5) {
  x <- seq(-1, 5, length.out = 100)
  y <- fungsi_objektif(x)

  plot(x, y, type = 'l', col = 'blue', lwd = 2, main = 'Numerical Iteration')
  points(x0, fungsi_objektif(x0), col = 'red', pch = 16)

  cat("\nMetode Numerik Iterasi:\n")
  
  for (iter in 1:iter_max) {
    x1 <- x0 - 0.5 * (2*x0 - 4)
    cat("Iterasi ke-", iter, ": x =", x1, "\n")

    lines(c(x0, x1), c(fungsi_objektif(x0), fungsi_objektif(x1)), col = 'red', lty = 2)
    
    if (abs(x1 - x0) < 0.1) {
      cat("Konvergensi dicapai pada iterasi ke-", iter, "\n")
      break
    }

    x0 <- x1
  }
}

# Titik Awal Iterasi Numerik
x0 <- 3

# Iterasi Numerik
hasil_numerik_iterasi <- numerik_iterasi(fungsi_objektif, x0)

## Iterasi ke-0: x = 3 
## Iterasi ke- 1 : x = 2 
## Iterasi ke- 2 : x = 2 
## Konvergensi dicapai pada iterasi ke- 2

# Grafik Fungsi dengan Iterasi Numerik
grafis_numerik_iterasi(fungsi_objektif, x0)

## 
## Metode Numerik Iterasi:
## Iterasi ke- 1 : x = 2 
## Iterasi ke- 2 : x = 2 
## Konvergensi dicapai pada iterasi ke- 2

Dalam contoh ini, kita menggunakan metode iterasi numerik untuk mendekati akar fungsi objektif \(f(x) = x^2 - 4x + 4\). Setiap iterasi ditampilkan pada grafik bersama dengan nilai iteratif.

Implementasi ini memberikan pemahaman tentang bagaimana iterasi numerik dapat digunakan untuk mendekati solusi numerik suatu masalah matematis.