Nama : Rahmad Hidayat Al Fahrizzi
NIM : 230605110135
Dosen Pengampu : Prof. Dr. Suhartono, M.Kom
Universitas : Universitas Islam Negeri Maulana Malik Ibrahim Malang
Fakultas : Sains dan Teknologi
Program Studi : Teknik Informatika

Materi: Iteration (Iterasi) dalam Konteks Kalkulus

1. Pendahuluan: - Iterasi melibatkan proses berulang untuk mendekati solusi suatu masalah.

2. Metode Iterasi: - Pendekatan Numerik: - Misalnya, metode Newton-Raphson untuk mencari akar fungsi. - Proses: - Hitung nilai iteratif berdasarkan pendekatan sebelumnya.

3. Fungsi Objektif: - Misalnya, \(f(x) = x^2 - 4x - 5\).

4. Implementasi dalam Kode R: - Metode Newton-Raphson: - Iterasi untuk mencari akar fungsi. - Visualisasi Iterasi: - Grafik fungsi dengan titik iterasi.

5. Contoh Kode R:

# Fungsi Objektif
fungsi_objektif <- function(x) {
  return(x^2 - 4*x - 5)
}

# Turunan Pertama
turunan_pertama <- function(x) {
  return(2*x - 4)
}

# Metode Newton-Raphson Iteration
newton_raphson_iterasi <- function(fungsi_objektif, turunan_pertama, x0, iter_max = 10) {
  cat("Iterasi ke-0: x =", x0, "\n")
  
  for (iter in 1:iter_max) {
    x1 <- x0 - fungsi_objektif(x0) / turunan_pertama(x0)
    cat("Iterasi ke-", iter, ": x =", x1, "\n")
    
    if (abs(x1 - x0) < 1e-6) {
      cat("Konvergensi dicapai pada iterasi ke-", iter, "\n")
      break
    }
    
    x0 <- x1
  }
  
  return(x1)
}

# Grafik Fungsi dengan Iterasi
plot_fungsi_iterasi <- function(fungsi_objektif, iterasi, rentang) {
  x <- seq(rentang[1], rentang[2], length.out = 100)
  y <- fungsi_objektif(x)

  plot(x, y, type = 'l', col = 'blue', lwd = 2, main = 'Iteration in Calculus')
  points(iterasi, fungsi_objektif(iterasi), col = 'red', pch = 16)
}

# Rentang
rentang <- c(-4, 6)

# Titik Awal Iterasi
x0 <- 4

# Metode Newton-Raphson Iteration
hasil_iterasi <- newton_raphson_iterasi(fungsi_objektif, turunan_pertama, x0)

## Iterasi ke-0: x = 4 
## Iterasi ke- 1 : x = 5.25 
## Iterasi ke- 2 : x = 5.009615 
## Iterasi ke- 3 : x = 5.000015 
## Iterasi ke- 4 : x = 5 
## Iterasi ke- 5 : x = 5 
## Konvergensi dicapai pada iterasi ke- 5

# Plot Fungsi dengan Iterasi
plot_fungsi_iterasi(fungsi_objektif, c(x0, hasil_iterasi), rentang)

Dalam contoh ini, kita menggunakan metode Newton-Raphson untuk mencari akar fungsi objektif \(f(x) = x^2 - 4x - 5\). Iterasi ditampilkan dengan memplot titik-titik iterasi pada grafik fungsi.

Implementasi ini memberikan pemahaman tentang bagaimana iterasi digunakan dalam konteks kalkulus untuk mendekati solusi numerik suatu masalah.