Nama : Rahmad Hidayat Al Fahrizzi
NIM : 230605110135
Dosen Pengampu : Prof. Dr. Suhartono, M.Kom
Universitas : Universitas Islam Negeri Maulana Malik Ibrahim Malang
Fakultas : Sains dan Teknologi
Program Studi : Teknik Informatika

Materi: Derivatives and Optimization (Turunan dan Optimisasi) dalam Konteks Kalkulus

1. Pendahuluan: - Turunan Fungsi: - Representasi laju perubahan suatu fungsi. - Optimisasi: - Mencari nilai ekstrim (maksimum atau minimum) fungsi.

2. Fungsi Objektif: - Misalnya, \(f(x) = x^2 - 4x + 4\).

3. Turunan Pertama: - Prosedur: - Hitung turunan pertama \(f'(x)\). - Makna: - Titik stasioner (\(f'(x) = 0\)) mengindikasikan kemungkinan ekstrim.

4. Grafik dan Analisis: - Plot Fungsi dan Turunan: - Visualisasi grafik fungsi dan turunan pertama. - Analisis Titik Stasioner: - Menentukan nilai yang memberikan minimum atau maksimum.

5. Implementasi dalam Kode R: - Fungsi Objektif: - Mendefinisikan fungsi matematis. - Turunan Pertama: - Menghitung turunan pertama. - Optimisasi: - Menemukan nilai \(x\) yang mengoptimalkan fungsi.

6. Contoh Kode R:

# Fungsi Objektif
fungsi_objektif <- function(x) {
  return(x^2 - 4*x + 4)
}

# Turunan Pertama
turunan_pertama <- function(x) {
  return(2*x - 4)
}

# Optimisasi (Mencari nilai minimum)
optimisasi <- function(turunan_pertama) {
  return(2)
}

# Grafik Fungsi dan Turunan Pertama
plot_fungsi_turunan <- function(fungsi_objektif, turunan_pertama, rentang) {
  x <- seq(rentang[1], rentang[2], length.out = 100)
  y_objektif <- fungsi_objektif(x)
  y_turunan <- turunan_pertama(x)

  par(mfrow = c(2, 1))
  
  # Plot Fungsi Objektif
  plot(x, y_objektif, type = 'l', col = 'blue', lwd = 2, main = 'Optimizing the Objective Function')
  abline(h = 0, col = 'black', lty = 2)
  
  # Plot Turunan Pertama
  plot(x, y_turunan, type = 'l', col = 'green', lwd = 2, main = 'First Derivative')
  abline(h = 0, col = 'black', lty = 2)
}

# Rentang
rentang <- c(-2, 6)

# Plot Fungsi dan Turunan Pertama
plot_fungsi_turunan(fungsi_objektif, turunan_pertama, rentang)

Dalam contoh ini, kita memiliki fungsi objektif \(f(x) = x^2 - 4x + 4\). Kita menghitung turunan pertama \(f'(x) = 2x - 4\). Nilai yang mengoptimalkan fungsi ini untuk mencapai minimum ditemukan secara analitis sebagai \(x = 2\). Grafik menunjukkan fungsi objektif (garis biru) dan turunan pertama (garis hijau).

Implementasi ini memberikan pemahaman tentang bagaimana menggunakan turunan pertama untuk analisis optimisasi dalam konteks kalkulus.