Diferensiasi fungsi polinomial adalah proses menghitung turunan suatu fungsi polinomial terhadap variabelnya. Fungsi polinomial memiliki bentuk umum \(f(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \ldots + a_1x + a_0\), di mana \(a_n, a_{n-1}, \ldots, a_1, a_0\) adalah koefisien konstan, dan \(n\) adalah derajat polinomial.

Rumus Dasar Diferensiasi Fungsi Polinomial:

  1. Aturan Turunan Pangkat: \[ \frac{d}{dx}(x^n) = nx^{n-1} \]

  2. Aturan Penjumlahan dan Pengurangan: \[ \frac{d}{dx}(f(x) + g(x)) = \frac{d}{dx}f(x) + \frac{d}{dx}g(x) \]

  3. Aturan Konstanta: \[ \frac{d}{dx}(c) = 0, \text{ di mana } c \text{ adalah konstanta} \]

  4. Aturan Perkalian: \[ \frac{d}{dx}(cf(x)) = c \frac{d}{dx}f(x) \]

Contoh Diferensiasi Fungsi Polinomial:

Misalkan kita memiliki fungsi polinomial \(f(x) = 3x^2 - 2x + 1\), kita dapat menghitung turunannya \(f'(x)\) menggunakan aturan turunan pangkat dan aturan penjumlahan:

\[ f'(x) = \frac{d}{dx}(3x^2) - \frac{d}{dx}(2x) + \frac{d}{dx}(1) \]

Menerapkan aturan turunan pangkat:

\[ f'(x) = 2 \cdot 3x^{2-1} - 1 \cdot 2x^{1-1} + 0 \]

\[ f'(x) = 6x - 2 \]

Visualisasi dalam RStudio:

# Definisi fungsi polinomial
f <- function(x) { 3*x^2 - 2*x + 1 }

# Turunan fungsi polinomial
f_prime <- function(x) { 6*x - 2 }

# Visualisasi fungsi

```R
# Visualisasi fungsi polinomial dan turunannya
x_values <- seq(-2, 2, by = 0.1)
y_values <- f(x_values)
y_prime_values <- f_prime(x_values)

plot(x_values, y_values, type = "l", col = "blue", lwd = 2,
     main = "Diferensiasi Fungsi Polinomial",
     xlab = "x", ylab = "f(x)")

lines(x_values, y_prime_values, col = "red", lty = 2, lwd = 2)
legend("topright", legend = c("f(x)", "f'(x)"), col = c("blue", "red"), lty = c(1, 2), lwd = c(2, 2))

Dalam visualisasi ini, garis biru mewakili fungsi polinomial \(f(x)\), sedangkan garis merah (garis putus-putus) mewakili turunan pertamanya \(f'(x)\). Turunan pertama adalah fungsi yang menggambarkan laju perubahan nilai fungsi polinomial terhadap variabel \(x\).

Dengan menggunakan aturan turunan yang sesuai, kita dapat dengan mudah menghitung turunan fungsi polinomial. Turunan memainkan peran penting dalam memahami sifat-sifat fungsi dan banyak aplikasi dalam ilmu matematika dan ilmu terapan.