Numerical integration adalah metode penghitungan integral secara numerik atau dengan menggunakan pendekatan komputasional, terutama ketika fungsi yang diintegralkan sulit atau tidak dapat diintegralkan secara analitik. Metode ini sering digunakan ketika tidak ada solusi tertutup yang dapat ditemukan atau ketika integralnya rumit.

Beberapa metode numerical integration yang umum digunakan termasuk:

  1. Metode Riemann: Metode ini mengaproksimasi luas di bawah kurva fungsi dengan menggunakan jumlah subinterval yang semakin banyak. Semakin banyak subinterval, semakin akurat hasilnya.

  2. Metode Trapezoidal: Metode ini mengaproksimasi kurva fungsi dengan garis lurus yang menghubungkan titik ujung dua subinterval berturut-turut. Ini membentuk trapesium di bawah kurva, dan luasnya dianggap sebagai perkiraan integral.

  3. Metode Simpson: Metode ini menggunakan polinom orde dua (parabola) untuk mengaproksimasi kurva di setiap subinterval. Hal ini menghasilkan perkiraan yang lebih akurat daripada metode trapesoidal.

  4. Metode Quadrature: Metode ini melibatkan pendekatan menggunakan polinom untuk menghitung integral. Metode ini mencakup metode Gaussian Quadrature yang menggunakan berat khusus untuk titik-titik tertentu dalam interval.

  5. Metode Monte Carlo: Metode ini menggunakan pendekatan statistik dan random sampling untuk menghitung integral. Secara acak, titik-titik dihasilkan dalam domain fungsi, dan integral diaproksimasi dengan membandingkan jumlah titik di bawah kurva dengan total jumlah titik.

Contoh Penerapan:

Mari kita lihat contoh penggunaan metode trapesoidal untuk mengaproksimasi integral dari fungsi \(f(x) = x^2\) dalam rentang \([0, 1]\).

# Definisi fungsi
f <- function(x) { x^2 }

# Metode Trapesoidal
numerical_integration_trapezoidal <- function(f, a, b, n) {
  h <- (b - a) / n
  x <- seq(a, b, by = h)
  y <- f(x)
  result <- h * (sum(y) - 0.5 * (y[1] + y[n]))
  return(result)
}

# Penggunaan metode trapesoidal
result_trapezoidal <- numerical_integration_trapezoidal(f, 0, 1, 1000)
cat("Hasil Numerical Integration (Trapezoidal):", result_trapezoidal, "\n")

Dalam contoh ini, kita menggunakan metode trapesoidal untuk mengaproksimasi integral fungsi \(f(x) = x^2\) dalam rentang \([0, 1]\) dengan menggunakan 1000 subinterval. Hasilnya akan memberikan perkiraan nilai integral.

Visualisasi dalam RStudio:

# Visualisasi fungsi dan area di bawah kurva
x_values <- seq(0, 1, length.out = 100)
y_values <- f(x_values)

plot(x_values, y_values, type = "l", col = "blue", lwd = 2,
     main = "Numerical Integration (Trapezoidal)",
     xlab = "x", ylab = "f(x)")

polygon(c(x_values, 1, 0), c(y_values, 0, 0), col = "gray", border = NA, alpha = 0.3)

Dalam visualisasi ini, garis biru mewakili fungsi \(f(x) = x^2\), dan area abu-abu di bawah kurva diaproksimasi menggunakan metode trapesoidal.

Numerical integration adalah alat penting dalam komputasi ilmiah dan pemodelan matematika, terutama ketika tidak mungkin atau sulit melakukan integrasi secara analitik. Berbagai metode dapat dipilih berdasarkan kebutuhan dan tingkat akurasi yang diinginkan.