Differentiation adalah salah satu konsep utama dalam kalkulus yang berkaitan dengan pengukuran laju perubahan suatu fungsi terhadap variabelnya. Dalam konteks kalkulus, kita sering menggunakan istilah turunan untuk menyatakan laju perubahan tersebut. Turunan digunakan untuk memahami bagaimana nilai suatu fungsi berubah ketika variabelnya berubah.
Proses Differentiation: 1. Turunan Pertama: Turunan pertama dari suatu fungsi \(f(x)\), dinotasikan sebagai \(f'(x)\) atau \(\frac{df}{dx}\), mengukur laju perubahan instan pada setiap titik \(x\) dalam domain fungsi tersebut.
Notasi Leibniz: Notasi Leibniz \(\frac{df}{dx}\) menunjukkan bahwa kita mengukur perubahan variabel \(x\) terhadap perubahan variabel \(f\).
Interpretasi Grafis: Secara grafis, turunan pertama \(f'(x)\) pada suatu titik dapat diinterpretasikan sebagai gradien (kemiringan) garis tangent pada titik tersebut di kurva fungsi \(f(x)\).
Penggunaan dalam Fisika: Differentiation memiliki banyak aplikasi dalam fisika, seperti mengukur kecepatan (turunan posisi terhadap waktu) dan percepatan (turunan kecepatan terhadap waktu).
Rumus Dasar Differentiation: 1. Aturan Turunan Pangkat: \(\frac{d}{dx}(x^n) = nx^{n-1}\)
Aturan Penjumlahan dan Pengurangan: \(\frac{d}{dx}(f(x) \pm g(x)) = f'(x) \pm g'(x)\)
Aturan Perkalian: \(\frac{d}{dx}(f(x) \cdot g(x)) = f'(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g'(x)\)
Aturan Pembagian: \(\frac{d}{dx}\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right) = \frac{f'(x) \cdot g(x) - f(x) \cdot g'(x)}{(g(x))^2}\)
Contoh Penerapan: Misalkan kita memiliki fungsi \(f(x) = 2x^2 + 3x - 5\), kita dapat menghitung turunan pertamanya sebagai berikut: \[ f'(x) = \frac{d}{dx}(2x^2 + 3x - 5) = 4x + 3 \] Turunan pertama ini memberikan laju perubahan instan dari fungsi \(f(x)\) terhadap \(x\).
Visualisasi dalam RStudio:
# Definisi fungsi
f <- function(x) { 2*x^2 + 3*x - 5 }
f_prime <- function(x) { 4*x + 3 }
# Plot fungsi dan turunannya
x_values <- seq(-5, 5, by = 0.1)
y_values <- f(x_values)
y_prime_values <- f_prime(x_values)
plot(x_values, y_values, type = "l", col = "blue", lwd = 2,
main = "Plot Fungsi dan Turunan Pertama",
xlab = "x", ylab = "f(x)")
lines(x_values, y_prime_values, col = "red", lty = 2, lwd = 2)
legend("topright", legend = c("f(x)", "f'(x)"), col = c("blue", "red"), lty = c(1, 2), lwd = c(2, 2))Dalam visualisasi ini, garis biru mewakili fungsi \(f(x)\), sedangkan garis merah (garis putus-putus) mewakili turunan pertamanya \(f'(x)\).
Differentiation merupakan alat penting dalam pemodelan matematis dan memahami perilaku fungsi dalam berbagai konteks. Dengan memahami laju perubahan suatu fungsi, kita dapat menggali banyak informasi tentang fenomena yang dijelaskan oleh fungsi tersebut.