Contoh Kedua Iterasi

Iterasi dalam kalkulus merujuk pada proses berulang yang digunakan untuk mendekati solusi suatu masalah matematis. Dalam konteks kalkulus, iterasi sering digunakan untuk mendekati akar suatu fungsi atau nilai batas suatu deret. Iterasi memainkan peran penting dalam mencari solusi numerik untuk permasalahan matematika yang sulit atau tidak dapat diselesaikan secara analitis.

Contoh Iterasi untuk Mencari Akar:

Misalkan kita ingin mencari akar dari fungsi \(f(x) = x^2 - 4\), dan kita akan menggunakan metode iterasi sederhana untuk mendekati solusi.

# Definisi fungsi
f <- function(x) { x^2 - 4 }

# Inisialisasi nilai awal
x <- 2

# Iterasi sederhana
for (i in 1:5) {
  x <- sqrt(4 + x)  # Iterasi: x = sqrt(4 + x)
  cat("Iterasi", i, ": x =", x, "\n")
}

Dalam contoh ini, kita memulai dengan nilai awal \(x = 2\) dan melakukan iterasi sebanyak lima kali. Nilai \(x\) pada setiap iterasi diperbarui dengan rumus \(x = \sqrt{4 + x}\).

Contoh Iterasi untuk Mencari Nilai Batas Deret:

Misalkan kita ingin mendekati nilai batas deret tak hingga \(\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n}\). Nilai batas ini dapat diaproksimasi dengan iterasi menggunakan jumlah suku deret yang semakin besar.

# Inisialisasi nilai awal
sum_suku <- 0

# Iterasi untuk mendekati nilai batas deret
for (n in 1:1000) {
  sum_suku <- sum_suku + 1/n
}

cat("Nilai perkiraan batas deret:", sum_suku, "\n")

Dalam contoh ini, kita melakukan iterasi dengan menambahkan suku-suku deret sebanyak 1000 kali. Semakin banyak suku yang ditambahkan, semakin dekat perkiraan nilai batas deret dengan nilai sebenarnya.

Plot Iterasi untuk Mencari Akar:

Mari visualisasikan iterasi untuk mencari akar dengan plot dalam RStudio:

# Inisialisasi nilai awal
x <- 2
iter_values <- c(x)

# Iterasi sederhana
for (i in 1:5) {
  x <- sqrt(4 + x)
  iter_values <- c(iter_values, x)
}

# Plot iterasi
plot(iter_values, type = "o", pch = 16, col = "blue",
     main = "Iterasi Sederhana untuk Mencari Akar",
     xlab = "Iterasi", ylab = "Nilai Akar")

Dalam script ini, kita menyimpan nilai akar pada setiap iterasi dan membuat plot untuk melihat bagaimana nilai akar mendekati solusi seiring dengan iterasi.

Jangan ragu untuk menguji dan menyesuaikan parameter sesuai kebutuhan. Jika ada yang perlu dijelaskan lebih lanjut atau dimodifikasi, beri tahu saya saja!