Contoh Iterasi untuk Mencari Akar

Iterasi dalam kalkulus merujuk pada proses berulang yang digunakan untuk mendekati solusi suatu masalah matematis. Dalam konteks kalkulus, iterasi sering digunakan untuk mendekati akar suatu fungsi atau nilai batas suatu deret.

Contoh Iterasi untuk Mencari Akar:

Misalkan kita ingin mencari akar dari fungsi \(f(x) = x^2 - 3\) menggunakan metode Newton-Raphson. Metode ini melibatkan iterasi dengan rumus \(x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}\), di mana \(x_n\) adalah nilai perkiraan akar pada iterasi ke-\(n\), \(f(x_n)\) adalah nilai fungsi pada \(x_n\), dan \(f'(x_n)\) adalah turunan pertama fungsi pada \(x_n\).

# Definisi fungsi
f <- function(x) { x^2 - 3 }
f_prime <- function(x) { 2 * x }

# Inisialisasi nilai awal
x <- 2

# Iterasi metode Newton-Raphson
for (i in 1:5) {
  x <- x - f(x) / f_prime(x)
  cat("Iterasi", i, ": x =", x, "\n")
}

Dalam contoh ini, kita memulai dengan nilai awal \(x = 2\) dan melakukan iterasi sebanyak lima kali. Hasil iterasi tersebut akan mendekati akar dari fungsi \(f(x) = x^2 - 3\).

Contoh Iterasi untuk Mencari Nilai Batas Deret:

Misalkan kita ingin mendekati nilai batas deret tak hingga \(\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n}\). Nilai batas ini dapat diaproksimasi dengan iterasi menggunakan jumlah suku deret yang semakin besar.

# Inisialisasi nilai awal
sum_suku <- 0

# Iterasi untuk mendekati nilai batas deret
for (n in 1:1000) {
  sum_suku <- sum_suku + 1/n
}

cat("Nilai perkiraan batas deret:", sum_suku, "\n")

Dalam contoh ini, kita melakukan iterasi dengan menambahkan suku-suku deret sebanyak 1000 kali. Semakin banyak suku yang ditambahkan, semakin dekat perkiraan nilai batas deret dengan nilai sebenarnya.

Plot Iterasi untuk Mencari Akar:

Mari visualisasikan iterasi untuk mencari akar dengan plot dalam RStudio:

# Inisialisasi nilai awal
x <- 2
iter_values <- c(x)

# Iterasi metode Newton-Raphson
for (i in 1:5) {
  x <- x - f(x) / f_prime(x)
  iter_values <- c(iter_values, x)
}

# Plot iterasi
plot(iter_values, type = "o", pch = 16, col = "blue",
     main = "Iterasi Metode Newton-Raphson",
     xlab = "Iterasi", ylab = "Nilai Akar")

Dalam script ini, kita menyimpan nilai akar pada setiap iterasi dan membuat plot untuk melihat bagaimana nilai akar mendekati solusi seiring dengan iterasi.

Jangan ragu untuk menguji dan menyesuaikan parameter sesuai kebutuhan. Jika ada yang perlu dijelaskan lebih lanjut atau dimodifikasi, beri tahu saya saja!