Optimization1

Dosen: “Prof. Dr. SUHARTONO, M.Kom”

Universitas: Universitas Islam Maulana Malik Ibrahim Malang

Fakultas: Sains dan Teknologi

Prodi: Teknik Informatika

Mata Kuliah: Kalkulus

library(mosaicCalc)

## Loading required package: mosaic

## Registered S3 method overwritten by 'mosaic':
##   method                           from   
##   fortify.SpatialPolygonsDataFrame ggplot2

## 
## The 'mosaic' package masks several functions from core packages in order to add 
## additional features.  The original behavior of these functions should not be affected by this.

## 
## Attaching package: 'mosaic'

## The following objects are masked from 'package:dplyr':
## 
##     count, do, tally

## The following object is masked from 'package:Matrix':
## 
##     mean

## The following object is masked from 'package:ggplot2':
## 
##     stat

## The following objects are masked from 'package:stats':
## 
##     binom.test, cor, cor.test, cov, fivenum, IQR, median, prop.test,
##     quantile, sd, t.test, var

## The following objects are masked from 'package:base':
## 
##     max, mean, min, prod, range, sample, sum

## Loading required package: mosaicCore

## 
## Attaching package: 'mosaicCore'

## The following objects are masked from 'package:dplyr':
## 
##     count, tally

## The legacy packages maptools, rgdal, and rgeos, underpinning the sp package,
## which was just loaded, will retire in October 2023.
## Please refer to R-spatial evolution reports for details, especially
## https://r-spatial.org/r/2023/05/15/evolution4.html.
## It may be desirable to make the sf package available;
## package maintainers should consider adding sf to Suggests:.
## The sp package is now running under evolution status 2
##      (status 2 uses the sf package in place of rgdal)

## 
## Attaching package: 'mosaicCalc'

## The following object is masked from 'package:stats':
## 
##     D

Optimasi dalam kalkulus adalah cabang yang berfokus pada pencarian nilai maksimum atau minimum suatu fungsi. Dalam konteks ini, kita seringkali menggunakan turunan fungsi untuk menentukan di mana fungsi tersebut mencapai nilai maksimum atau minimum.

Contoh sederhana adalah fungsi kuadrat \(f(x) = ax^2 + bx + c\), di mana \(a\), \(b\), dan \(c\) adalah konstanta. Kita ingin mencari nilai \(x\) yang membuat \(f(x)\) minimum atau maksimum.

1. Mencari Turunan Pertama: Pertama, kita mencari turunan pertama dari fungsi \(f(x)\): \(f'(x) = 2ax +b\)

2. Menyelesaikan Persamaan Turunan Pertama: Setelah mendapatkan turunan pertama, kita cari \(x\) yang membuat \(f'(x) = 0\). Inilah titik stasioner (maksimum atau minimum lokal). \(2ax + b = 0\) \(x = -\frac{b}{2a}\)

3. Menggunakan Turunan Kedua untuk Konfirmasi: Kita bisa menggunakan turunan kedua untuk menentukan apakah nilai \(x\) yang kita temukan adalah maksimum atau minimum lokal. Jika \(f''(x) > 0\), itu adalah minimum lokal. jika \(f''(x) < 0\), itu adalah maksimum. \(f''(x) = 2a\) jika \(a > 0\), maka \(x\) adalah minimum lokal. Jika \(a < 0\), maka \(x\) adalah maksimum lokal.

Contoh:

Misalkan \(f(x) = 2x^2 -8x + 6\). 1. Mencari Turunan Pertama: $f’(x) = 4x - 8 $ 2. Menyelesaikan Persamaan Turunan Pertama: \(4x - 8 = 0\) \(x = 2\) 3. Menggunakan Turunan kedua Untuk Konfirmasi: \(f''(x) = 4\) (positif), sehingga x = 2 adalah minimum lokal.

Untuk mempuat plot sebagai berikut.

#Definisi Fungsi

f <- function(x) { 2*x^2 - 8*x + 6 }

#Mencari minimum lokal

minimum_lokal <- optimize(f, interval = c(-2, 4))

#Plot fungsi dan minimal lokal

curve(f, from = -2, to = 4, main = "Plot Fungsi f(x) = 2x^2 - 8x + 6")
points(minimum_lokal$minimum, f(minimum_lokal$minimum), col = "red", pch = 16, cex = 2)