Examen Grupal 2: Análisis de Correlación Canónica (CCA)

Instrucciones: Trabjaran con la base de datos “Size of the economy”. Esta base de datos contiene dos grupos de preguntas medidas en 210 países. Estos dos grupos son: Población (2:4) y PIB (5:7)

Primero descargamos nuestra base de datos:

Añadimos cero en los espacios de la base de datos donde no había información.

Podemos calcular las matrices de covarianzas que se necesitan para el desarrollo del problema:

Matriz de covarianza para variables sobre población:

Matriz de covarianza para variables sobre PIB:

Creamos gráficas de correlación:

Creamos gráfica para ver correlación entre ambos grupos de variables:

Calculamos las matrices de covarianzas que se necesitan para el desarrollo del problema:

##                       Population (millions) Surface_area Population_density
## Population (millions)             450827.88      6908998          -31365.23
## Surface_area                     6908997.98    123810013         -712359.99
## Population_density                -31365.23      -712360         2547699.35

##                         Gross_national_income Purchasing_power_parity
## Gross_national_income            7.551659e+07            1.084456e+08
## Purchasing_power_parity          1.084456e+08            1.611503e+08
## Gross_domestic_product           2.695128e+03            4.157179e+03
##                         Gross_domestic_product
## Gross_national_income               2695.12818
## Purchasing_power_parity             4157.17853
## Gross_domestic_product                37.82011

##                       Gross_national_income Purchasing_power_parity
## Population (millions)             4868796.3               7790496.4
## Surface_area                     87827187.6             134251319.2
## Population_density                -435079.5               -641029.8
##                       Gross_domestic_product
## Population (millions)               162.9074
## Surface_area                       2171.9605
## Population_density                 2029.5721

##                         Population (millions) Surface_area Population_density
## Gross_national_income            4868796.2716  87827187.58        -435079.456
## Purchasing_power_parity          7790496.3694 134251319.18        -641029.842
## Gross_domestic_product               162.9074      2171.96           2029.572

Correlaciones canónicas:

Encontramos los valores propios de cualquiera de las matrices cuadradas A y B:

Con los valores propios, podemos ahora calcular las correspondientes correlaciones canónicas, las cuales serán las raíces cuadradas de los valores propios:

## [1] 0.9843404 0.5406380 0.2079000

Para este problema, las correlaciones canónicas son: \(r1=0.9843404\), \(r2=0.5406380\), \(r3=0.2079\).

Vectores canónicos:

Encontramos los vectores propios de cada matriz cuadrada A y B:

##               [,1]          [,2]        [,3]
## [1,]  0.9995440861  0.9980875682 -0.15327976
## [2,]  0.0301925869 -0.0618114289  0.01443926
## [3,] -0.0001660924  0.0007438929  0.98807734

##             [,1]        [,2]          [,3]
## [1,]  0.06959329 -0.09285289  0.0001682144
## [2,] -0.07571138  0.05894005 -0.0001260740
## [3,]  0.99469823  0.99393381  0.9999999779

Para convertirlos en vectores canónicos, debe cumplir la restricción dada: \(a^tS_{xx} a=1\) y \(b^tS_{yy} b=1\)

Calculamos la correlación canónica y los vectores canónicos:

## $xcoef
##                                [,1]          [,2]          [,3]
## Population (millions) -1.009533e-03  3.780962e-03 -9.728749e-05
## Surface_area          -3.049430e-05 -2.341545e-04  9.164679e-06
## Population_density     1.677522e-07  2.818020e-06  6.271380e-04
## 
## $ycoef
##                                  [,1]          [,2]          [,3]
## Gross_national_income    0.0001818379 -0.0006001359  2.736835e-05
## Purchasing_power_parity -0.0001978237  0.0003809471 -2.051215e-05
## Gross_domestic_product   0.0025990131  0.0064240901  1.626992e-01

Estos coeficientes canónicos se interpretan de manera análoga a la interpretación de los coeficientes de regresión. Por ejemplo, el aumento de una unidad de la variable “Population (millions)”, conduce a una disminución de 1.009533e-03 en la primera variable canónica del conjunto 1, cuando todas las demás permanecen constantes. Otro ejemplo, el aumento de una unidad de la variable “Purchasing_power_parity”, conduce en un aumento de 0.0003809471 en la segunda variable canónica del conjunto 2, cuando todas las demás permanecen constantes.

Creamos los vectores canónicos para poder calcular las variables canónicas:

##          [,1]
## [1,] 980309.6

##         [,1]
## [1,] 3262791

Calculamos las variables canónicas:

## [1]  1.009533e-03  3.049430e-05 -1.677522e-07

## [1]  3.852767e-05 -4.191471e-05  5.506767e-04

Finalmente, podemos construir las variables canónicas:

\(U1\) = \(1.009533e-03\) population \(+\) \(3.049430e-05\) Surface area \(-\) \(1.677522e-07\) Population density

\(V1\) = \(3.852767e-05\) Gross national income \(-\) \(4.191471e-05\) Purchasing power parity \(+\) \(5.506767e-04\) Gross domestic product

De igual manera, se debe construir las faltantes dos parejas de variables canónicas:

## Wilks' Lambda, using F-approximation (Rao's F):
##                stat     approx df1     df2      p.value
## 1 to 3:  0.02104081 214.487595   9 496.633 0.000000e+00
## 2 to 3:  0.67712160  22.063422   4 410.000 2.220446e-16
## 3 to 3:  0.95677758   9.306048   1 206.000 2.584218e-03

Aplicando la prueba de Wilk, podemos observar que según los resultados de p-value las 3 dimensiones canónicas son estadísticamente significativas.

Podemos notar que las variables están bastante correlacionadas, la única que se diferencia parcialmente de las demás es la variable “Population (millions)”.