Differentiation Aplikasi sesuai Mosaic Calc

Nama: Ahmad Bazli Naufal

NIM: 230605110119

Prodi: Teknik Informatika

Matakuliah: Kalkulus

Dosen Pengampu: Prof. Dr. Suhartono, M.Kom

Di artikel ini kita akan membahas Aplikasi Differentiation. Sebelum membahas pengaplikasian Diferensiasi, kita tau bahwa Diferensiasi adalah konsep yang memungkinkan kita untuk memahami bagaimana suatu fungsi berubah saat variabel independennya berubah. Jadi, Aplikasi diferensiasi adalah cara kita mengaplikasikan konsep ini dalam berbagai situasi dunia nyata. Dalam Mosaic Calculus, fokusnya adalah pada pemahaman praktis dan aplikasi matematika dalam konteks kehidupan sehari-hari. Berikut adalah beberapa cara pengaplikasian diferensiasi:

Mencari Titik Maksimum dan Minimum: Salah satu aplikasi utama diferensiasi adalah untuk menemukan titik maksimum (puncak) dan minimum (lembah) dalam suatu fungsi. Ini dapat diterapkan dalam berbagai bidang, seperti ekonomi untuk mengidentifikasi laba maksimal, atau dalam ilmu fisika untuk memahami gerakan benda.

Analisis Perubahan Tingkat: Diferensiasi membantu kita memahami perubahan tingkat atau tingkat pertumbuhan dalam suatu proses. Ini berguna dalam ilmu biologi untuk memahami laju pertumbuhan populasi atau dalam analisis saham untuk melihat bagaimana harga saham berubah dari waktu ke waktu.

Optimisasi:Optimisasi: Diferensiasi digunakan untuk mencari nilai yang optimal dalam berbagai masalah. Ini bisa menjadi nilai yang memaksimalkan keuntungan perusahaan atau nilai yang meminimalkan biaya produksi.

Analisis Grafik:Analisis Grafik: Diferensiasi membantu kita memahami bagaimana garis singgung suatu kurva pada grafik dapat memberikan informasi tentang perubahan fungsi. Garis singgung ini menunjukkan gradien atau tingkat perubahan pada titik tertentu.

library(ggplot2)

# Langkah pertama - mendefinisikan fungsi
f <- function(x) {
  return(x^3 - 3*x^2 + 2*x + 1)
}

# Langkah kedua - Buat plot fungsi
x <- seq(-2, 4, by = 0.1)
y <- f(x)
data <- data.frame(x, y)

# Langkah ketiga - Hitung turunan fungsi
f_prime <- function(x) {
  return(3*x^2 - 6*x + 2)
}

# Langkah keempat - Cari titik ekstremum (maksimum)
extremum_x <- optimize(f_prime, interval = c(-2, 4), maximum = TRUE)$maximum
extremum_y <- f(extremum_x)

# Langkah kelima - Plot grafik fungsi dengan titik ekstremum
p <- ggplot(data, aes(x, y)) +
  geom_line() +
  geom_point(data = data.frame(x = extremum_x, y = extremum_y), aes(x, y), color = "deeppink", size = 3) +
  geom_text(data = data.frame(x = extremum_x, y = extremum_y), aes(x, y, label = paste("(", round(extremum_x, 2), ",", round(extremum_y, 2), ")")), vjust = -0.5, hjust = 1) +
  labs(title = "Grafik Fungsi dengan Titik Ekstremum")
print(p)

Dari banyaknya contoh pengaplikasian, kita akan memilih salah satu untuk diimplementasikan menggunakan RStudio. Jadi, kita akan menerapkan konsep aplikasi turunan untuk melihat bagaimana turunan dapat digunakan untuk mengidentifikasi titik ekstremum pada fungsi. Kita juga akan menggunakan paket ggplot2 untuk visualisasi.

Berikut ini adalah penjelasan dari setiap langkah kode diatas:

Langkah pertama: Pada langkah ini, kita mendefinisikan sebuah fungsi. Fungsi ini adalah x^3 - 3x^2 + 2x + 1.

Langkah kedua: Di sini Kita membuat kumpulan titik (x, y) yang merepresentasikan grafik fungsi yang telah didefinisikan pada langkah pertama. Nilai x berkisar dari -2 hingga 4 dengan interval 0.1. Hasilnya disimpan dalam objek data.

Langkah ketiga: Pada langkah ini, kita menghitung turunan dari fungsi yang telah didefinisikan sebelumnya. Turunan adalah 3x^2 - 6x + 2.

Langkah keempat: Kita mencari titik ekstremum (maksimum) dari fungsi dengan bantuan turunan. Fungsi optimize digunakan untuk mencari nilai maksimum dari turunan dalam interval [-2, 4]. Hasilnya disimpan dalam extremum_x dan extremum_y.

Langkah kelima: Pada langkah terakhir, kita membuat grafik dari fungsi yang telah didefinisikan dan menambahkan titik ekstremum pada grafik tersebut. Grafik ini memvisualisasikan fungsi beserta titik maksimumnya.