Turunan Aljabar

Pengertian dari Turunan Aljabar

Turunan aljabar adalah konsep dalam matematika yang berkaitan dengan mengukur perubahan suatu fungsi terhadap perubahan variabelnya. Secara sederhana, turunan mengukur sejauh mana suatu fungsi berubah pada suatu titik tertentu.

Jika kita punya suatu fungsi \(f(x)\), turunan fungsi ini dinyatakan sebagai \(f'(x)\) atau \(\frac{df}{dx}\). Turunan memberikan informasi tentang kemiringan atau gradien fungsi pada suatu titik. Contohnya, jika \(f(x) = x^2\), maka turunan \(f'(x) = 2x\). Ini berarti setiap nilai \(x\) berubah, nilai fungsi \(f(x)\) berubah dua kali lipat dari perubahan \(x\).

Beberapa aturan dasar dalam menghitung turunan antara lain:

Aturan Kekuasaan

\(\frac{d}{dx}x^n = nx^{n-1}\)
Aturan Penjumlahan

\(\frac{d}{dx}[f(x) + g(x)] = \frac{df}{dx} + \frac{dg}{dx}\)
Aturan Perkalian

\(\frac{d}{dx}[f(x) \cdot g(x)] = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)\)
Aturan Pembagian

\(\frac{d}{dx}\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right) = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{[g(x)]^2}\)

Contoh Program, Grafik, dan Tabel Sederhana dari Penerapan Turunan Aljabar dalam Bahasa R

Berikut merupakan contoh dari Program Sederhana yang menerapkan turunan aljabar dalam bahasa R

# Fungsi untuk menghitung turunan fungsi kuadrat
turunan_kuadrat <- function(x) {
  return(2 * x)
}

# Fungsi untuk menghitung turunan fungsi umum (gunakan aturan kekuasaan)
turunan_umum <- function(x, n) {
  return(n * x^(n-1))
}

# Contoh penggunaan fungsi turunan kuadrat
x_value <- 3
hasil_turunan_kuadrat <- turunan_kuadrat(x_value)
cat("Turunan dari fungsi kuadrat f(x) = x^2 pada x =", x_value, "adalah:", hasil_turunan_kuadrat, "\n")

## Turunan dari fungsi kuadrat f(x) = x^2 pada x = 3 adalah: 6

# Contoh penggunaan fungsi turunan umum
x_value_umum <- 4
n_value_umum <- 3
hasil_turunan_umum <- turunan_umum(x_value_umum, n_value_umum)
cat("Turunan dari fungsi umum f(x) =", x_value_umum, "^", n_value_umum, "adalah:", hasil_turunan_umum, "\n")

## Turunan dari fungsi umum f(x) = 4 ^ 3 adalah: 48

Berikut merupakan contoh Grafik yang menerapkan limit aljabar dari fungsi kuadrat \(f(x) = x^2\) maupun fungsi umum \(f(x) = n * x^{(n-1)}\)

library(ggplot2)

# Fungsi kuadrat
f_kuadrat <- function(x) {
  return(x^2)
}

# Fungsi umum dengan turunan n * x^(n-1)
f_umum <- function(x, n) {
  return(n * x^(n-1))
}

# Nilai-nilai x untuk grafik
x_values <- seq(-10, 10, by = 0.1)

# Hasil fungsi kuadrat pada setiap nilai x
y_values_kuadrat <- f_kuadrat(x_values)

# Hasil turunan fungsi umum pada setiap nilai x (dengan n = 3)
y_values_umum <- f_umum(x_values, 3)

# Membuat dataframe untuk ggplot
df <- data.frame(x = x_values, y_kuadrat = y_values_kuadrat, y_umum = y_values_umum)

# Membuat plot
p <- ggplot(df, aes(x = x)) +
  geom_line(aes(y = y_kuadrat), color = "blue", linetype = "solid", size = 1) +
  geom_line(aes(y = y_umum), color = "red", linetype = "dashed", size = 1) +
  labs(title = "Grafik Fungsi Kuadrat dan Umum beserta Turunannya",
       x = "Nilai x",
       y = "Nilai f(x)") +
  annotate("text", x = 5, y = 80, label = "f(x) = x^2", color = "blue") +
  annotate("text", x = -5, y = 150, label = "f(x) = 3*x^2", color = "red") +
  theme_minimal()

## Warning: Using `size` aesthetic for lines was deprecated in ggplot2 3.4.0.
## ℹ Please use `linewidth` instead.
## This warning is displayed once every 8 hours.
## Call `lifecycle::last_lifecycle_warnings()` to see where this warning was
## generated.

# Menampilkan plot
print(p)

Selanjutnya Tabel dari penerapan turunan aljabar fungsi kuadrat \(f(x) = x^2\) dan fungsi umum \(f(x) = n * x^{(n-1)}\) dengan 17 data:

# Fungsi kuadrat
f_kuadrat <- function(x) {
  return(x^2)
}

# Fungsi umum dengan turunan n * x^(n-1)
f_umum <- function(x, n) {
  return(n * x^(n-1))
}

# Nilai-nilai x untuk tabel
x_values_tabel <- seq(-12, 12, by = 1)

# Menghitung nilai f(x) dan turunan untuk fungsi kuadrat dan umum
data_tabel <- data.frame(x = x_values_tabel, 
                         f_kuadrat = f_kuadrat(x_values_tabel), 
                         f_umum = f_umum(x_values_tabel, 3))

# Menampilkan tabel
print("Tabel Fungsi Kuadrat dan Umum beserta Turunannya:")

## [1] "Tabel Fungsi Kuadrat dan Umum beserta Turunannya:"

print(data_tabel)

##      x f_kuadrat f_umum
## 1  -12       144    432
## 2  -11       121    363
## 3  -10       100    300
## 4   -9        81    243
## 5   -8        64    192
## 6   -7        49    147
## 7   -6        36    108
## 8   -5        25     75
## 9   -4        16     48
## 10  -3         9     27
## 11  -2         4     12
## 12  -1         1      3
## 13   0         0      0
## 14   1         1      3
## 15   2         4     12
## 16   3         9     27
## 17   4        16     48
## 18   5        25     75
## 19   6        36    108
## 20   7        49    147
## 21   8        64    192
## 22   9        81    243
## 23  10       100    300
## 24  11       121    363
## 25  12       144    432

Turunan Aljabar

Muhammad Luqmanul Hakim

13-12-2023

Pengertian dari Turunan Aljabar

Contoh Program, Grafik, dan Tabel Sederhana dari Penerapan Turunan Aljabar dalam Bahasa R