Limit Aljabar

Pengertian dari Limit Aljabar

Limit dalam aljabar digunakan untuk menggambarkan perilaku suatu fungsi saat variabel masukan mendekati suatu nilai tertentu. Notasi umum untuk limit adalah:

\(lim_{x \rightarrow a}\ f(x)\)

Di sini, \(x\) adalah variabel, dan \(a\) adalah nilai \(x\) yang mendekatinya. \(f(x)\) adalah fungsi yang sedang dianalisis.

Untuk menemukan limit secara aljabar, biasanya kita mencoba untuk menggantikan \(x = a\) ke dalam sebuah fungsi. Jika substitusi langsung menghasilkan bentuk tak tentu (seperti \(\frac{0}{0}\) atau \(\frac{\infty}{\infty}\)), Anda mungkin perlu menyederhanakan ekspresi atau menggunakan teknik lain seperti faktorisasi, rasionalisasi, atau menerapkan Aturan L’Hôpital.

Contoh Program, Tabel, dan Grafik Sederhana dari Penerapan Limit Aljabar

Berikut merupakan program sederhana dari penerapan limit aljabar di R

# Tentukan fungsi yang akan dihitung limitnya
f <- function(x) {
  return((x^2 - 4) / (x - 2))
}

# Tentukan nilai yang x mendekati
a <- 2

# Hitung limit secara numerik dengan pendekatan dari kiri
limit_left <- limit_right <- numeric()
for (i in 1:10) {
  h <- 10^(-i)
  limit_left <- c(limit_left, f(a - h))
  limit_right <- c(limit_right, f(a + h))
}

# Cetak hasil
cat("Limit dari fungsi (x^2 - 4) / (x - 2) saat x mendekati", a, "dari kiri adalah:", tail(limit_left, 1), "\n")

## Limit dari fungsi (x^2 - 4) / (x - 2) saat x mendekati 2 dari kiri adalah: 4

cat("Limit dari fungsi (x^2 - 4) / (x - 2) saat x mendekati", a, "dari kanan adalah:", tail(limit_right, 1), "\n")

## Limit dari fungsi (x^2 - 4) / (x - 2) saat x mendekati 2 dari kanan adalah: 4

Berikut merupakan contoh grafik dari penerapan limit aljabar yang menerapkan persamaan \((x^2 - 4) / (x - 2)\)

library(ggplot2)

# Tentukan fungsi yang akan dihitung limitnya
f <- function(x) {
  return((x^2 - 4) / (x - 2))
}

# Persiapkan data untuk plotting
x_values <- seq(1, 3, length.out = 100)
y_values <- f(x_values)

# Buat data frame untuk titik dan garis pendekatan
point_data <- data.frame(x = c(2, 2),
                         y = c(f(2 - 0.001), f(2 + 0.001)),
                         type = c("Batas Kiri", "Batas Kanan"))

# Buat plot
ggplot(data.frame(x = x_values, y = y_values), aes(x, y)) +
  geom_line() +
  geom_point(data = point_data, aes(x = x, y = y, color = type), size = 3) +
  labs(title = "Penerapan Limit Aljabar",
       subtitle = "Fungsi: (x^2 - 4) / (x - 2)",
       x = "x",
       y = "f(x)") +
  theme_minimal()

Terlihat bahwa terdapat titik berwarna salmon dan hijau yang saling bertindihan di dalam grafik di atas, dikarenakan hasil dari fungsi \((x^2 - 4) / (x - 2)\) dengan variabel \(x = 2\) akan menghasilkan batas kanan dan kiri bernilai \(4\).

Berikut merupakan contoh tabel dari penerapan limit aljabar yang menerapkan persamaan \((x^2 - 4) / (x - 2)\)

f <- function(x) {
  return((x^2 - 4) / (x - 2))
}

# Persiapkan data untuk tabel
x_values <- c(2.1, 4, 6, 8, 10, 12)
y_values <- f(x_values)

# Buat data frame untuk tabel
table_data <- data.frame(x = x_values, f_x = y_values)

# Tampilkan tabel
print(table_data)

##      x  f_x
## 1  2.1  4.1
## 2  4.0  6.0
## 3  6.0  8.0
## 4  8.0 10.0
## 5 10.0 12.0
## 6 12.0 14.0

Limit Aljabar

Muhammad Luqmanul Hakim

12-12-2023

Pengertian dari Limit Aljabar

Contoh Program, Tabel, dan Grafik Sederhana dari Penerapan Limit Aljabar