Relasi dan Fungsi

Dosen Pengampu : Prof . Dr. Suhartono, M.Kom

Lembaga : Universitas Islam Negeri Maulana Malik Ibrahim Malang

Fakultas : Sains dan Teknologi

Jurusan : Teknik Informatika

Kelas : (C) Kalkulus

NIM : 230605110078

Relasi:

Definisi: Sebuah relasi adalah hubungan antara dua himpunan, di mana setiap elemen dari himpunan pertama terkait dengan satu atau lebih elemen dari himpunan kedua.

Contoh: Misalnya, jika kita memiliki himpunan A = {1, 2, 3} dan himpunan B = {a, b, c}, maka relasi R dari A ke B dapat didefinisikan sebagai himpunan pasangan terurut seperti {(1, a), (2, b), (3, c)}.

Tipe Relasi:

• Relasi Fungsional: Setiap elemen himpunan pertama terhubung dengan tepat satu elemen himpunan kedua.

• Relasi Refleksif: Setiap elemen himpunan terhubung dengan dirinya sendiri.

• Relasi Simetris: Jika \((a, b)\) adalah bagian dari relasi, maka \((b,a)\) juga harus menjadi bagian dari relasi.

• Relasi Transitif: Jika \((a, b)\) dan \((b, c)\) adalah bagian dari relasi, maka \((a,c)\) juga harus menjadi bagian dari relasi.

Fungsi:

Definisi: Sebuah fungsi adalah jenis khusus relasi di mana setiap elemen himpunan pertama terhubung dengan tepat satu elemen himpunan kedua.

Contoh:

Jika \(f : A ->B\) adalah fungsi, maka setiap elemen \(a\) dalam \(A\) terhubung dengan tepat satu elemen \(b\) dalam \(B.\)

Sifat-sifat Fungsi:

• Fungsi Satu Ke Satu (Injektif): Setiap elemen dari himpunan pertama terhubung dengan paling banyak satu elemen di himpunan kedua.

• Fungsi Pada (Surjektif): Setiap elemen di himpunan kedua memiliki setidaknya satu elemen di himpunan pertama yang terhubung dengannya.

• Fungsi Bijektif: Fungsi yang bersifat satu ke satu dan pada.

Fungsi sangat penting dalam matematika dan ilmu komputer karena banyak fenomena dalam dunia nyata dapat dijelaskan atau dimodelkan menggunakan fungsi. Misalnya, fungsi dapat mewakili hubungan antara waktu dan posisi benda, atau antara input dan output dalam program komputer.

Contoh Program Sederhana dari Relasi dan Fungsi di bahasa R

Berikut merupakan contoh progam dan grafik dari relasi dan fungsi:

# Import library
library(ggplot2)

# Definisi Relasi
relasi <- data.frame(
  himpunan1 = c(1, 2, 3),
  himpunan2 = c("a", "b", "c")
)

cat("Relasi:\n")

## Relasi:

print(relasi)

##   himpunan1 himpunan2
## 1         1         a
## 2         2         b
## 3         3         c

# Definisi Fungsi
fungsi <- function(x) {
  if (x == 1) {
    return("a")
  } else if (x == 2) {
    return("b")
  } else if (x == 3) {
    return("c")
  } else {
    return("Elemen tidak terdefinisi dalam fungsi")
  }
}

# Pengujian Fungsi
cat("\nHasil Fungsi:\n")

## 
## Hasil Fungsi:

for (i in 1:3) {
  cat("f(", i, ") =", fungsi(i), "\n")
}

## f( 1 ) = a 
## f( 2 ) = b 
## f( 3 ) = c

# Install paket ggplot2 jika belum terinstal
# install.packages("ggplot2")

# Memuat paket yang diperlukan
library(ggplot2)

# Definisi Relasi
relasi <- data.frame(
  himpunan1 = c(1, 2, 3),
  himpunan2 = c("a", "b", "c")
)

# Membuat grafik untuk relasi dengan garis
plot_relasi <- ggplot(relasi, aes(x = himpunan1, y = himpunan2)) +
  geom_point(size = 3) +
  geom_line(aes(group = 1), linetype = "dashed", color = "blue") +
  labs(title = "Grafik Relasi dengan Garis",
       x = "Himpunan 1",
       y = "Himpunan 2")

print(plot_relasi)

# Definisi Fungsi
fungsi <- function(x) {
  if (x == 1) {
    return("a")
  } else if (x == 2) {
    return("b")
  } else if (x == 3) {
    return("c")
  } else {
    return(NA)
  }
}

# Membuat grafik untuk fungsi dengan garis
himpunan1 <- c(1, 2, 3)
himpunan2 <- sapply(himpunan1, fungsi)

plot_fungsi <- ggplot() +
  geom_point(aes(x = himpunan1, y = himpunan2), size = 3) +
  geom_line(aes(x = himpunan1, y = himpunan2, group = 1), linetype = "dotted", color = "red") +
  labs(title = "Grafik Fungsi dengan Garis",
       x = "Himpunan 1",
       y = "Himpunan 2")

print(plot_fungsi)