Optimization

Nama: Ahmad Bazli Naufal

NIM: 230605110119

Prodi: Teknik Informatika

Matakuliah: Kalkulus

Dosen Pengampu: Prof. Dr. Suhartono, M.Kom

Optimization berarti membuat sesuatu sebaik mungkin dengan sumber daya yang tersedia. Masalah optimasi umum terjadi dalam ilmu pengertahuan, logistik, industri, dan bidang lainnya di mana seseorang mencari solusi terbaik terhadap suatu masalah. Beberapa contoh sehari-hari:

• Kapan memanen pohon yang ditanam untuk kayu. Panen terlalu cepat dan Anda mungkin kehilangan tahun-tahun pertumbuhan terbaik. Di sisi lain, menunggu terlalu lama maka pohon akan menunjukkan pertumbuhan yang lambat atau tidak ada sama sekali.

• Mendaki lereng yang terlalu curam akan melelahkan dan memperlambat Anda; itulah sebabnya jalur pendakian mengalami peralihan. Namun, jika peralihannya terlalu dangkal, dibutuhkan waktu lama untuk menempuh jarak tersebut. Sudut manakah yang paling efisien agar pendaki dapat mendaki bukit dalam waktu sesingkat-singkatnya.

• Berapa banyak garam yang harus ditambahkan ke dalam rebusan. Rebusan bisa jadi terlalu asin, atau mungkin kurang asin. Di suatu tempat di tengah adalah yang optimal.

Struktur masalah

Dalam masalah optimasi, ada satu atau lebih besaran masukan yang nilainya harus Anda pilih. Jumlah garam; tahun-tahun penantian mulai dari menanam hingga memanen pohon; sudut jalan terhadap lereng. Kami akan menyebutnya kuantitas keputusan .

Demikian pula, ada satu atau lebih kuantitas keluaran yang Anda hargai dan ingin Anda hasilkan sebaik mungkin. Rasa rebusannya; jumlah kayu yang dapat digunakan yang ditebang; waktu yang diperlukan untuk berjalan ke atas bukit. Besaran keluaran disebut tujuan .

Bab ini membahas masalah optimasi yang hanya melibatkan satu tujuan. Permasalahan dengan berbagai tujuan merupakan salah satu permasalahan yang paling menarik dan penting dalam pengambilan keputusan di dunia nyata. Teknik pengoptimalan tujuan tunggal adalah komponen pengambilan keputusan yang lebih kompleks, namun merupakan awal yang baik.

Model yang menghubungkan masukan dengan keluaran tujuan adalah fungsi tujuan . Menyelesaikan masalah optimasi—setelah fase pemodelan selesai—sama dengan menemukan nilai kuantitas keputusan (input ke fungsi tujuan) yang menghasilkan output terbaik dari fungsi tujuan.

Terkadang tujuannya adalah sesuatu yang ingin diminimalkan , dibuat sekecil mungkin. Misalnya, dalam masalah jalur pendakian, kami berupaya meminimalkan waktu yang diperlukan untuk berjalan di jalur tersebut. Kadang-kadang Anda ingin memaksimalkan tujuannya, seperti dalam masalah pemanenan kayu dimana tujuannya adalah untuk memanen kayu sebanyak-banyaknya per tahun

ada dua komponen dalam tugas maksimisasi dan minimalisasi. Argmax adalah input fungsi tujuan yang menghasilkan output terbesar. Maksimumnya adalah nilai keluaran itu. Argmin dan minimum adalah kata-kata yang digunakan dalam situasi di mana anda mencari nilai terkecil dari fungsi tujuan.

Setelah anda menemukan argmax, anda dapat memasukkan nilai tersebut ke dalam fungsi tujuan untuk menemukan nilai keluaran. Nilai itu adalah maksimum.

Untuk mengilustrasikan pengaturan masalah pengoptimalan, bayangkan diri Anda berada dalam situasi sebuah kontes untuk melihat siapa yang dapat menembakkan bola tenis paling jauh ke dalam lapangan dengan ketapel. Selama kontes, Anda akan mengatur sudut vertikal peluncuran, menempatkan bola ke dalam dudukan katapel, menariknya sejauh mungkin, dan melepaskannya. Untuk memenangkan kontes, Anda perlu mengoptimalkan cara Anda meluncurkan bola.

Tujuannya adalah untuk memaksimalkan jarak yang ditempuh bola. Fungsi tujuan memodelkan jarak yang ditempuh sebagai fungsi dari besaran yang dapat Anda kendalikan, misalnya sudut vertikal peluncuran atau jumlah penarikan ketapel. Untuk mempermudah, kita bayangkan ketapel ditarik ke belakang dengan jumlah standar, menghasilkan kecepatan bola saat dilepaskan sebesar \(v_0\). Anda akan menang atau kalah berdasarkan sudut peluncuran yang Anda pilih.

Sebelum Anda terjun ke lapangan untuk bereksperimen, mari bersiap dengan membuat fungsi tujuan. Dengan menggunakan beberapa prinsip fisika dan matematika (yang mungkin belum Anda pahami), kami akan memodelkan seberapa jauh bola akan bergerak (secara horizontal) sebagai fungsi dari sudut peluncuran. \(\theta\) dan kecepatan awal \(v_0\).

Matematika untuk permasalahan seperti itu melibatkan bidang yang disebut persamaan diferensial , suatu bagian penting dari kalkulus yang akan kita bahas nanti dalam kursus ini. Karena Anda belum memiliki alatnya, kami hanya akan memberikan model sederhana berapa lama bola berada di udara.

\[\text{duration}(v_0, \theta) = 2 v_0 \sin(\theta)/g\]

\(g\) adalah percepatan gravitasi, yaitu tentang \(9.8 \text{m}\text{s}^{-2}\), dengan asumsi kontes diadakan di Bumi.

Jarak horizontal yang ditempuh bola tenis adalah

\[ \text{hdist}(v_0, \theta) = \cos(\theta) v_0\, \text{duration}(v_0, \theta) = 2 v_0^2 \cos(\theta)\sin(\theta) / g \]

Fungsi tujuan kami adalah hdist(), dan kami mencari argmax. Masukan \(v_0\) (kita asumsikan) tetap, jadi satu-satunya besaran keputusan adalah sudut \(\theta\).

Menafsirkan argmax

Solusi grafis yang diberikan pada masalah ketapel sepenuhnya memuaskan. Apakah solusi tersebut akan memenangkan kontes bergantung pada apakah model yang kita buat untuk fungsi tujuan sudah benar. Kita telah mengabaikan, misalnya, hambatan udara, yang mungkin penting.

Penyelesaian masalah optimasi telah mempersiapkan kami untuk menguji hasilnya di lapangan. Mungkin kita akan menemukan bahwa sudut optimal dunia nyata agak lebih curam atau lebih dangkal dibandingkan \(\theta = 45^\circ\).

Derivatif dan optimasi

Kita sekarang akan menyusun ulang pencarian argmax dan interpretasinya dalam bentuk turunan fungsi tujuan sehubungan dengan kuantitas keputusan ( \(\theta\) dalam soal ketapel). Untuk fungsi dengan satu masukan, ini tidak akan menjadi perbaikan dari teknik melihat grafik untuk mencari argmax. Namun, alasan sebenarnya menggunakaan turunan adalah untuk mempersiapkan kita di masa depan untuk memecahkan masalah dengan lebih dari satu masukan, yang sulit untuk menggambar atau menafsirkan grafik. Selain itu, mendeskripsikan fungsi dalam bahasa turunan dapat membantu kita berpikir lebih jernih tentang aspek masalah, seperti ketepatan argmax.

Mari kita nyatakan argmax dari fungsi tujuan \(f(x)\) oleh \(x^\star\). Mari kita lihat turunannya \(\partial_x f(x)\) di lingkungan \(x^\star\). \(x^\star = 45^\circ\), anda mungkin dapat melihatnya \(\partial_x f(x^\star)\) adalah nol; garis singgung grafik fungsi di \(x^\star\) adalah horisontal.

Dilihat dari sisi lain, kemiringan \(f(x\) di sebelah kiri \(x^\star\) positif. Bergerak sedikit ke kanan (yaitu bertambah \(x\) dengan jumlah yang sangat kecil) meningkatkan output \(f(x)\). Di sisi lain, tepat \(x^\star\), kemiringan \(f(x)\) negatif; saat anda mencapai bukit dan melanjutkan perjalanan, anda akan menuruni bukit. Jadi turunan fungsi tersebut positif pada salah satu sisinya \(x^\star\) dan negatif di sisi lain, menunjukkan bahwa ia melewati nol pada argmax

Akal sehatnya benar: Berjalan menanjak untuk mencapai puncak, berjalan menurun untuk menjauh dari puncak. Di puncak bukit yang mulus, medannya datar. (Karena fungsi pemodelan kita mulus, bukit-bukit yang kita gunakan untuk memvisualisasikan fungsinya juga harus demikian.)