Penggunaan Diferensiasi Titik Stasioner

Dosen: Prof. Dr. Suhartono, S.Si., M.Kom_196805192003121001

Fakultas: Sains dan Teknologi

Program Studi: Teknik Informatika Kelas C

library(mosaicCalc)

## Loading required package: mosaic

## Registered S3 method overwritten by 'mosaic':
##   method                           from   
##   fortify.SpatialPolygonsDataFrame ggplot2

## 
## The 'mosaic' package masks several functions from core packages in order to add 
## additional features.  The original behavior of these functions should not be affected by this.

## 
## Attaching package: 'mosaic'

## The following objects are masked from 'package:dplyr':
## 
##     count, do, tally

## The following object is masked from 'package:Matrix':
## 
##     mean

## The following object is masked from 'package:ggplot2':
## 
##     stat

## The following objects are masked from 'package:stats':
## 
##     binom.test, cor, cor.test, cov, fivenum, IQR, median, prop.test,
##     quantile, sd, t.test, var

## The following objects are masked from 'package:base':
## 
##     max, mean, min, prod, range, sample, sum

## Loading required package: mosaicCore

## 
## Attaching package: 'mosaicCore'

## The following objects are masked from 'package:dplyr':
## 
##     count, tally

## 
## Attaching package: 'mosaicCalc'

## The following object is masked from 'package:stats':
## 
##     D

Deferensiasi adalah istilah dalam bahasa Indonesia yang setara dengan “differentiation” dalam bahasa Inggris. Dalam konteks kalkulus, diferensiasi merujuk pada proses menghitung turunan suatu fungsi terhadap variabelnya. Turunan mengukur perubahan suatu fungsi terhadap variabel independennya.

Terdapat beberapa konsep dasar dalam diferensiasi kalkulus salah satunya penggunaan diferensiasi titik stasioner dan nilai ekstrem: Turunan nol dari suatu fungsi memberikan titik-titik di mana fungsi tersebut mencapai nilai ekstrem (maksimum atau minimum).

CONTOH:

FUNGSI PENDAPATAN TOTAL

Misalkan memiliki fungsi pendapatan total suatu perusahaan P(x) yang menggambarkan pendapatan yang diperoleh dari penjualan x unit produk. Fungsi ini dapat diwakili oleh persamaan:

P(x)= −2x^3 + 100x^2 − 1000x

1. Langkah pertama adalah menghitung turunan pertama dari fungsi ini, P′(x), untuk menemukan titik-titik stasioner di mana P′(x)= 0

2. P′(x)= −6x^2 + 200x − 1000

3. Sekarang, atur P′(x) sama dengan nol untuk menemukan titik-titik stasioner: x−6x^2 + 200x − 1000 = 0

4. Setelah menyelesaikan persamaan kuadrat ini, dapat menemukan nilai-nilai x yang memberikan P′(x)=0.

5. Setelah menemukan titik-titik stasioner, kita dapat menggunakan turunan kedua untuk menentukan apakah titik-titik tersebut merupakan nilai minimum atau maksimum. Turunan kedua dari P(x) adalah: P′′(x)= −12x + 200

Jika P′′(x)>0, titik stasioner tersebut adalah nilai minimum, dan jika P′′(x)<0, titik stasioner tersebut adalah nilai maksimum.

Dengan informasi ini, dapat dianalisis bagaimana perusahaan dapat mengoptimalkan pendapatan totalnya dengan memilih jumlah produk yang optimal untuk dijual.

library(rootSolve)

# Load paket rootSolve
library(rootSolve)

# Definisikan Fungsi Pendapatan Total
P <- function(x) {
  return(-2*x^3 + 100*x^2 - 1000*x)
}

# Hitung Turunan Pertama
P_prime <- function(x) {
  return(-6*x^2 + 200*x - 1000)
}

# Cari Titik-titik Stasioner
stasioner <- uniroot(P_prime, interval = c(0, 20))
x_stasioner <- stasioner$root
y_stasioner <- P(x_stasioner)

# Hitung Turunan Kedua
P_double_prime <- function(x) {
  return(-12*x + 200)
}

# Analisis Titik-titik Stasioner
if (P_double_prime(x_stasioner) > 0) {
  cat("Titik stasioner pada x =", x_stasioner, "adalah nilai minimum.\n")
} else if (P_double_prime(x_stasioner) < 0) {
  cat("Titik stasioner pada x =", x_stasioner, "adalah nilai maksimum.\n")
} else {
  cat("Tidak dapat memastikan jenis nilai pada titik stasioner.\n")
}

## Titik stasioner pada x = 6.125741 adalah nilai minimum.