Numerical Iteration

Nama dan NIM : Muhammad Syaifullah (230605110129)

Dosen Pengampu : Prof. Dr. Suhartono, M.Kom

Universitas : Universitas Islam Negeri Maulana Malik Ibrahim Malang

Fakultas : Sains dan Teknologi

Program Studi : Teknik Informatika

---

Numerical Iteration

Numerical Iteration adalah proses pengulangan perhitungan atau pembaruan nilai-nilai numerik untuk mendekati solusi suatu masalah matematis. Metode ini digunakan untuk menyelesaikan persamaan, optimisasi, atau masalah numerik lainnya dengan pendekatan bertahap menuju solusi yang akurat. Iterasi numerik memainkan peran penting dalam pemecahan masalah yang sulit atau kompleks, di mana solusi analitik mungkin sulit atau bahkan tidak mungkin ditemukan.

Salah satu contoh penerapan Numerical Iteration adalah dalam metode Newton-Raphson untuk mencari akar suatu fungsi. Dalam iterasi ini, nilai-nilai yang diperbarui secara berulang dihitung berdasarkan pendekatan turunan fungsi dan nilai-nilai sebelumnya. Proses ini terus diulang hingga konvergensi, di mana solusi numerik mendekati solusi yang sebenarnya.Berikut adalah contoh penggunaan Numerical Iteration dalam R untuk mencari akar fungsi f(x)=x²−4.

# Install paket ggplot2 jika belum terinstal
# install.packages("ggplot2")

library(ggplot2)

# Fungsi Objektif
f <- function(x) {
  return(x^2 - 4)
}

# Turunan Parsial
df_dx <- function(x) {
  return(2*x)
}

# Metode Newton-Raphson dengan Numerical Iteration
newton_raphson_iteration <- function(x0, max_iter) {
  x_values <- numeric(max_iter + 1)
  x_values[1] <- x0
  
  for (i in 1:max_iter) {
    x_values[i + 1] <- x_values[i] - f(x_values[i]) / df_dx(x_values[i])
  }
  
  return(x_values)
}

# Plot Fungsi dan Konvergensi melalui Numerical Iteration
plot_numerical_iteration <- function(x0, max_iter) {
  x_values <- newton_raphson_iteration(x0, max_iter)
  iter <- seq(0, max_iter)
  
  df <- data.frame(iteration = iter, x_value = x_values, f_value = f(x_values))
  
  ggplot(df, aes(x = iteration, y = f_value)) +
    geom_line(color = "blue") +
    geom_point(color = "red") +
    geom_hline(yintercept = 0, linetype = "dashed", color = "green") +
    labs(title = "Convergence through Numerical Iteration (Newton-Raphson)",
         x = "Iteration", y = "f(x)")
}

# Contoh Penggunaan
x0 <- 2
max_iter <- 5

plot_numerical_iteration(x0, max_iter)

Kode ini menghasilkan grafik yang menunjukkan konvergensi fungsi f(x) menuju akar fungsi melalui Numerical Iteration menggunakan metode Newton-Raphson. Anda dapat mengubah nilai awal dan jumlah iterasi sesuai kebutuhan.