Integral

Dosen Pengampu : Prof. Dr. Suhartono, M.Kom

Lembaga : Universitas Islam Negeri Maulana Malik Ibrahim Malang

Fakultas : Sains dan Teknologi

Program Studi : Teknik Informatika

Kelas : B

Pendahuluan

Integral adalah salah satu konsep utama dalam kalkulus, cabang matematika yang mempelajari perubahan dan akumulasi. Integral digunakan untuk menghitung luas di bawah kurva fungsi matematika di dalam suatu interval, dan juga untuk memecahkan masalah yang melibatkan jumlah akumulasi atau total suatu besaran.

Dua jenis utama integral dalam kalkulus adalah integral tak tentu (indefinite integral) dan integral tentu (definite integral).

1. Integral Tak Tentu (Indefinite Integral): Integral tak tentu dari suatu fungsi \(f(x)\) dinotasikan sebagai \(\int f(x) \,dx\). Integral tak tentu tidak memiliki batas atas dan bawah. Hasil dari integral tak tentu disebut antiderivatif dari fungsi \(f(x)\). Misalnya, integral tak tentu dari\(x^2\) adalah \(\frac{1}{3}x^2+C\) dimana \(C\) adalah konstanta integrasi.

2. Integral Tentu (Definite Integral): Integral tentu dari suatu fungsi \(f(x)\) pada interval \([a,b]\) dinotasikan sebagai \(\int_{a}^{b} f(x) \,dx\). Integral tentu memberikan nilai numerik dan diinterpretasikan sebagai luas daerah di bawah kurva \(f(x)\) antara \(x=a\) dan \(x=b\). Contohnya, integral tentu dari \(x^2\) dari 0 hingga 2 dapat dituliskan sebagai \(\int_{0}^{2} x^2 \,dx\).

Contoh

Misalkan fungsi \(f(x) = x^2\) pada interval \([0, 2]\). Kita dapat menghitung integral definit sebagai berikut:

# Tentukan fungsi
f <- function(x) x^2

# Tentukan interval
a <- 0
b <- 2

# Hitung integral definit
hasil_integral <- integrate(f, a, b)

# Cetak hasil
hasil_integral

## 2.666667 with absolute error < 3e-14

Visualisasi Integral

# Muat pustaka yang diperlukan
library(ggplot2)

# Tentukan fungsi untuk plotting
plot_function <- function(f, a, b) {
  x <- seq(a, b, length.out = 100)
  y <- f(x)
  data.frame(x, y)
}

# Plot fungsi
fungsi_plot <- ggplot(plot_function(f, a, b), aes(x, y)) +
  geom_line(color = "blue") +
  geom_ribbon(data = plot_function(f, a, b), aes(x = x, ymin = 0, ymax = y), fill = "skyblue", alpha = 0.3) +
  labs(title = "Visualisasi Integral Definit", x = "x", y = "f(x)")

# Tampilkan plot
print(fungsi_plot)

Wilayah yang diarsir mewakili luas di bawah kurva \(f(x) = x^2\) dari 0 hingga 2