Dosen Pengampu : Prof . Dr. Suhartono, M.Kom

Lembaga : Universitas Islam Negeri Maulana Malik Ibrahim Malang

Fakultas : Sains dan Teknologi

Jurusan : Teknik Informatika

Kelas : (C) Kalkulus

NIM : 230605110078


Pengertian Integral

Dalam kalkulus, integral adalah operasi matematika yang merupakan kebalikan dari diferensiasi. Integrasi digunakan untuk menghitung luas daerah di bawah kurva fungsi, menemukan nilai fungsi kumulatif, dan memecahkan berbagai masalah matematika dan ilmu terapan.

Terdapat dua jenis integrasi utama: integral tak tentu (indefinite integral) dan integral tentu (definite integral).


Integral Tak Tentu (Indefinite Integral)

Integral tak tentu, atau sering disebut antiderivatif, adalah proses mencari fungsi yang merupakan turunan dari fungsi yang diberikan. Notasi integral tak tentu umumnya ditulis sebagai berikut:

\(\smallint f(x) \ dx\)

Dengan kata lain, jika \(F'(x) = f(x)\) , maka \(F(x)\) adalah integral tak tentu dari

\(f(x)\) dan kita menulis \(\smallint f(x) dx = F(x) + C,\) di mana \(C\) adalah konstansta integral.


Integral Tentu (Definite Integral):

Integral tentu digunakan untuk menghitung luas daerah di bawah kurva fungsi dalam suatu interval tertentu. Notasi integral tentu ditulis sebagai berikut:

\(\smallint f(x) \ d(x)\)

Ini menyatakan bahwa kita menghitung integral fungsi \(f(x)\) dari \(a\) hingga \(b\). Hasilnya adalah suatu nilai, bukan fungsi. Geometrisnya, integral tentu mewakili luas daerah di bawah kurva antara \(a\) dan \(b\) pada sumbu \(x\).

Formula integral tentu dapat dihitung menggunakan aturan fundamental kalkulus:

\(\smallint_b^a f(x) dx = F(b) - F(a)\) dimana \(F(x)\) adalah integral tak tentu dari \(f(x).\)

Integral memiliki banyak aplikasi dalam berbagai bidang, termasuk fisika, ekonomi, dan statistika. Ini adalah konsep sentral dalam kalkulus dan menjadi dasar untuk pemahaman yang lebih dalam tentang perubahan dan akumulasi.


Contoh Program Sederhana dari Integral dalam Bahasa R

Berikut merupakan contoh program sederhana dari integral tentu dan integral tak tentu :

#library needed
library(stats)
library(ggplot2)

# Definisi sebuah fungsi x^2
fun <- "x^2"
f <- function(x) x^2

# Integral Tak Tentu
integral_indefinite <- integrate(f, lower = 0, upper = 1)
cat("Integral Tak Tentu dari x^2:", integral_indefinite$value, "\n")
## Integral Tak Tentu dari x^2: 0.3333333
# Integral Tentu dengan Konstanta Integrasi yang Berbeda
constant_c <- 10
integral_definite <- integrate(f, lower = 0, upper = 1)  # Integral tentu dari 0 hingga 1
result_with_constant_c <- integral_definite$value + constant_c
cat("Integral Tentu dari x^2 dari 0 hingga 1 dengan Konstanta Integrasi yang Berbeda:", result_with_constant_c, "\n")
## Integral Tentu dari x^2 dari 0 hingga 1 dengan Konstanta Integrasi yang Berbeda: 10.33333


Contoh Grafik dari Integral x^2

# Data untuk plot
x_values <- seq(0, 5, by = 0.1)  # Ganti sesuai kebutuhan
y_values <- sapply(x_values, f)

# Plot fungsi x^2
plot_data <- data.frame(x = x_values, y = y_values)
ggplot(plot_data, aes(x, y)) +
  geom_line(color = "blue") +
  ggtitle("Grafik Fungsi x^2") +
  xlab("x") +
  ylab("f(x)")

# Plot area di bawah kurva (integral tentu dari 0 hingga x)
integral_values <- sapply(x_values, function(x) integrate(f, lower = 0, upper = x)$value)
integral_data <- data.frame(x = x_values, y = integral_values)

ggplot(integral_data, aes(x, y)) +
  geom_ribbon(aes(ymin = 0, ymax = y), fill = "lightgreen", alpha = 0.5) +
  geom_line(color = "blue") +
  ggtitle("Integral Tentu dari 0 hingga x untuk x^2") +
  xlab("x") +
  ylab("Integral Tentu")

DAFTAR PUSTAKA

[1] Daniel Kaplan, Kalkulus Mozaik,(Online) https://dtkaplan.github.io/MC2/Accumulation/30-euler.html diakses pada 7 Desember 2023 Pukul 13:03 WIB