Nama dan NIM : Nadia Din Salima Al Kamila (230605110140)

Dosen Pengampu : Prof. Dr. Suhartono, M.Kom

Universitas : Universitas Islam Negeri Maulana Malik Ibrahim Malang

Fakultas : Sains dan Teknologi

Program Studi : Teknik Informatika

Integrasi

Integrasi dalam kalkulus merujuk pada proses matematika yang digunakan untuk menghitung luas di bawah kurva fungsi. Proses ini melibatkan penemuan antiturunan dari suatu fungsi, yang disebut integral tak tentu, serta menghitung luas di bawah kurva fungsi di antara dua titik, yang disebut integral tertentu. Integral tak tentu ditulis sebagai ∫f(x) dx, di mana f(x) adalah integrand, sedangkan integral tertentu ditulis sebagai ∫[a to b] f(x) dx, di mana a dan b adalah batas bawah dan batas atas, dan f(x) adalah integrand

Teknik integrasi dalam kalkulus meliputi teknik substitusi dan teknik dobel substitusi. Teknik substitusi melibatkan penggunaan antiturunan untuk menyelesaikan integral, sedangkan teknik dobel substitusi, juga dikenal sebagai integral parsial, melibatkan rumus turunan dari perkalian dua fungsi. Metode ini berguna ketika integral dengan substitusi tidak dapat dilakukan

Dengan demikian, integrasi dalam kalkulus merupakan konsep penting yang memungkinkan untuk menemukan antiturunan dari suatu fungsi dan menghitung luas di bawah kurva fungsi, dengan berbagai teknik yang digunakan untuk menyelesaikan integral

Contoh penerapan integrasi dalam kalkulus:

  1. Menghitung luas di bawah kurva fungsi.
  2. Menghitung volume benda putar.
  3. Menghitung panjang kurva pada bidang dan luas permukaan benda putar.
  4. Menghitung integral tak tentu sebagai antiturunan.
  5. Menghitung integral tertentu untuk menemukan luas di antara dua titik.

Selain itu, integrasi juga digunakan dalam berbagai aplikasi matematika, fisika, teknik, dan ilmu lainnya untuk menyelesaikan masalah yang melibatkan perhitungan luas, volume, dan fungsi-fungsi matematis lainnya.

Misalkan Anda telah menyusun fungsi laju perubahan untuk momentum m() dan mengimplementasikannya sebagai fungsi m()R. Contohnya,m(t) mungkin merupakan jumlah kekuatan pada saat itu juga t dari mobil, dan M(t) adalah akumulasi gaya , yang lebih dikenal dengan momentum. Kita asumsikan masukan to m()dalam satuan detik, dan keluaran dalam satuan kg-meter-per-detik-kuadrat, yang mempunyai dimensi gaya yang tepat.

Meskipun Newton dengan terkenal mendemonstrasikan bahwa tarikan gravitasi adalah fungsi dari jarak antar benda, dia juga mengetahui bahwa pada jarak tertentu—permukaan bumi—percepatan gravitasi adalah konstan. Jadi Galileo dibenarkan oleh Newton. Namun, meskipun percepatan gravitasi konstan dari atas ke bawah Menara Pisa, bola Galileo merupakan bagian dari sistem yang lebih kompleks: sebuah tangan yang menahan bola hingga dilepaskan. Oleh karena itu, percepatan bola terhadap waktu kira-kira merupakan fungsi Heaviside:

library(mosaicCalc)
## Loading required package: mosaic
## Registered S3 method overwritten by 'mosaic':
##   method                           from   
##   fortify.SpatialPolygonsDataFrame ggplot2
## 
## The 'mosaic' package masks several functions from core packages in order to add 
## additional features.  The original behavior of these functions should not be affected by this.
## 
## Attaching package: 'mosaic'
## The following objects are masked from 'package:dplyr':
## 
##     count, do, tally
## The following object is masked from 'package:Matrix':
## 
##     mean
## The following object is masked from 'package:ggplot2':
## 
##     stat
## The following objects are masked from 'package:stats':
## 
##     binom.test, cor, cor.test, cov, fivenum, IQR, median, prop.test,
##     quantile, sd, t.test, var
## The following objects are masked from 'package:base':
## 
##     max, mean, min, prod, range, sample, sum
## Loading required package: mosaicCore
## 
## Attaching package: 'mosaicCore'
## The following objects are masked from 'package:dplyr':
## 
##     count, tally
## The legacy packages maptools, rgdal, and rgeos, underpinning the sp package,
## which was just loaded, will retire in October 2023.
## Please refer to R-spatial evolution reports for details, especially
## https://r-spatial.org/r/2023/05/15/evolution4.html.
## It may be desirable to make the sf package available;
## package maintainers should consider adding sf to Suggests:.
## The sp package is now running under evolution status 2
##      (status 2 uses the sf package in place of rgdal)
## 
## Attaching package: 'mosaicCalc'
## The following object is masked from 'package:stats':
## 
##     D
accel <- makeFun(ifelse(t <= 3, 0, -9.8) ~ t)

Percepatan merupakan turunan dari kecepatan. Kita dapat membangun suatu fungsi V(t) sebagai antiturunan percepatan, namun fungsi kecepatan di dunia nyata adalah

V <- makeFun(V0 + (V_from_antiD(t) - V_from_antiD(0)) ~ t, V0 = 0)

Kecepatan adalah turunan dari posisi, namun fungsi kecepatan di dunia nyata adalah akumulasi kecepatan dari waktu ke waktu.

x <- makeFun(x0 + (x_from_antiD(t) - x_from_antiD(0)) ~ t, x0 = 53)
P <- makeFun( n*8.314*T/V ~ V + T, n=1)
antiP <- makeFun(n*8.314*T*log(V) ~ V + T, n=1)
library(mosaicCalc)
DF <- antiD((x) ~ x)
DF(1)
## [1] 0.5
library(mosaicCalc)
dh <- antiD((x) ~ x)
dh(1)
## [1] 0.5
f1 <- makeFun(sin(x ^ 2) ~ x)
f2 <- makeFun(sin(x ^ 2)  +  3 ~ x)
f3 <- makeFun(sin(x ^ 2)  -  100 ~ x)
f1(1)
## [1] 0.841471
f2(1)
## [1] 3.841471
f3(1)
## [1] -99.15853
antiD(f(x) ~ x)
## function (x, C = 0) 
## {
##     F <- makeF(f(x))
##     evalFun(F, x = x, .const = C)
## }
## <environment: 0x000001fc99d77b20>
antiD(df(x) ~ x)
## function (x, C = 0) 
## {
##     F <- makeF(df(x))
##     evalFun(F, x = x, .const = C)
## }
## <environment: 0x000001fc9a01d3b8>
library(mosaicCore)
df1 = D(f1(x) ~ x)
df2 = D(f2(x) ~ x)
df3 = D(f3(x) ~ x)
df1(1)
## [1] 1.080605
df2(1)
## [1] 1.080605
df3(1)
## [1] 1.080605

Integral

Bahwa turunan dari f itu sendiri adalah fungsi, dan fungsi itu memiliki argumen yang sama dengan f. Jadi, sejak itu didefinisikan untuk memiliki argumen bernama, fungsi yang dibuat juga memiliki argumen bernama (dan parameter lain yang terlibat): f(x) x D(f(x) ~ x)

df
## function (x, df1, df2, ncp, log = FALSE) 
## {
##     if (missing(ncp)) 
##         .Call(C_df, x, df1, df2, log)
##     else .Call(C_dnf, x, df1, df2, ncp, log)
## }
## <bytecode: 0x000001fc99fb55f8>
## <environment: namespace:stats>

Perhitungan integral tertentu/pasti melibatkan 2 aplikasi anti-turunan. Interval tertentu adalah perbedaan antara anti-derivatif yang dievaluasi dan anti-derivatif yang dievaluasi.

Di dalam perangkat memilih untuk menggunakan nilai default C = 0

fun = antiD( x^2 ~ x )
fun
## function (x, C = 0) 
## x^3/3 + C

Mengevaluasi fungsi pada nilai numerik tertentu untuk argumen tersebut, berakhir dengan “integral pasti”

fun(x = 4) - fun(x = -2)
## [1] 24

Hal-hal penting yang perlu diingat:

1.Fungsi akan menghitung anti-turunan. antiD(x^2 ~ x) x X.

2.Anti-turunan selalu diambil sehubungan dengan variabel. Integral sehubungan dengan antiD(x^2 ~ x) x X.

3.Integral pasti adalah fungsi dari variabel integrasi. Variabel integrasi muncul sebagai argumen dalam 2 guises karena integral melibatkan 2 evaluasi: (1) X = to dan X = from. Batas-batas yang didefinisikan disebut “wilayah integrasi”.

Integralnya adalah tentang sifat “global” atau “terdistribusi” dari suatu fungsi, “keseluruhan”. Turunannya adalah tentang properti “lokal”.

Menggunakan fungsi dalam statistik dan fisika adalah Gaussian, yang memiliki grafik berbentuk lonceng:

gaussian <- 
  makeFun((1/sqrt(2*pi*sigma^2)) * 
            exp( -(x-mean)^2/(2*sigma^2)) ~ x,
          mean=2, sigma=2.5)
slice_plot(gaussian(x) ~ x, domain(x = -5:10)) %>%
  slice_plot(gaussian(x, mean=0, sigma=1) ~ x, color="red")

erf <- antiD(gaussian(x, mean=m, sigma=s) ~ x)
erf
## function (x, C = 0, m, s) 
## {
##     F <- makeF(gaussian(x, mean = m, sigma = s))
##     evalFun(F, x = x, m = m, s = s, .const = C)
## }
## <environment: 0x000001fc984cdbe0>